Problem mit Gauß-Verfahren < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
also ich habe ein grundsätzliches Problem, das jedes mal auftritt wenn ich ein LGS mit dem Gauß-verfahren lösen möchte. ich versuche euch das mal zu erklären (anhand eines beispiels)
also ich habe folgendes LGS:
3x-2y+5z=13
-x+3y+4z=-1
5x+6y-z=3
dann habe ich die 2. Zeile mit 3 multipliziert, damit ich das x eliminieren kann.
dann steht ja da:
3x-2y+5z=13
-3x+3y+4z=-1
5x+6y-z=3
so..jetzt kann ich ja die 2. zur 1. addieren..oder die 1. zur 2. aber mein problem ist jetzt, dass ich nie weiß, welches x wegfällt, und dass ich nie weiß, welche Zeile ich so stehenlassen soll..und wo die neue zeile hinkommt..
versteht ihr was ich meine? könnt ihr mir das vll bitte mal einfach erklären? Ich würd mich freuen, wenn ich das dann mal hinbekomme =)
viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Fr 10.11.2006 | | Autor: | matze2 |
wie du schon ganz richtig festgestellt hast, ist hier das additionsverfahren hilfreich.
mit 3 multipliziert hast du nicht korrekt. [mm] (3y*3\not=3y; 4z*3\not=4z; -1*3\not=-1)
[/mm]
"welches x wegfällt"
beide
"welche Zeile ich so stehenlassen soll"
am anfang zB die dritte. du kannst es dir aussuchen. letztendlich wirst du normalerweiße alle 3 gleichungen brauchen/umformen.
"und wo die neue zeile hinkommt"
zB einfach unter die vorigen "zeilen". finde ich persönlich übersichtlicher, als wenn man anfängt durchzustreichen und drüber zu schreiben. (es kann sein das ich deine frage missverstanden habe, wenn die eintrifft bitte ich um verzeihung.)
dein beispiel:
3x-2y+5z=13
-x+3y+4z=-1
5x+6y-z=3
3x-2y+5z=13
-3x+9y+12z=-3
7y+17z=10
15x-10y+25z=65
-15x-18y+3z=-9
-28y+28z=56
7y+17z=10
-28y+28z=56
7y+17z=10
-7y+7z=14
24z=24
z=1
[mm] y=\bruch{10-17*1}{7}=-1
[/mm]
[mm] x=\bruch{65+10*(-1)-25*1}{15}=2
[/mm]
[mm] \IL={(2| -1| 1)}
[/mm]
ich hoffe, ich konnte dir helfen
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häää?? ich hab jetzt garnichts verstanden..??ß ich brauch das mal einfacher..
und sorry, ich hatte vergessen das ergebnis der zeile hinzuschreiben, die ich mit 3 multiplziert habe ..schon klar, dass das falsch ist, wenns so wie oben da steht 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Fr 10.11.2006 | | Autor: | matze2 |
ich kann ja mal versuchen mit mehr zwischenschritten und kommentaren zu rechnen:
3x-2y+5z=13
-x+3y+4z=-1 //*3 damit sich die die x aus der 1. und 2. gleichung aufheben
5x+6y-z=3
3x-2y+5z=13 //1. und 2. gleichung zusammaddieren
-3x+9y+12z=-3
5x+6y-z=3
7y+17z=10 //das ist das Ergebnis aus der addition von der 1. und 2. gleichung
3x-2y+5z=13 //*5 damit bei addition von der 1. und 3. gleichung das x wegfällt
-x+3y+4z=-1
5x+6y-z=3 //*(-3) damit bei addition von der 1. und 3. gleichung das y wegfällt
15x-10y+25z=65 //beide gleichungen zusammenaddieren
-15x-18y+3z=-9
-28y+28z=56 //das ist das Ergebnis aus der addition von der 1. und 3. gleichung
7y+17z=10
-28y+28z=56 //:4 damit bei addition von dem ergebnis der addition von der 1. und 2. gleichung mit dem ergebnis der addition von der 1. und 3. gleichgung y wegfällt
7y+17z=10 //zusamenaddieren
-7y+7z=14
24z=24 //:4
z=1
//der rest ist lösbar durch das einstzungsverfahren und einfache äquivalenzumformungen
bis bald :)
matze
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Hi,
ich glaube, du hast mein Problem nicht wirklich verstanden :-( !
Ich habe kein Problem damit mir zu überlegen, was ich jetzt machen muss, damit wo was wegfällt. Das ist kein Problem. Ich habe doch das Problem, was immer wieder bei mir auftritt beschrieben in meinem ersten Post, oder??
Das ist doch was anderes.
Viele Grüße
Informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Sa 11.11.2006 | | Autor: | w.bars |
Dann solltest du dich vielleicht noch einmal klarer ausdrücken..??
Lesen können wir hier alle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Informacao |
WAS ist denn unklar??
Was soll ich anders ausdrücken? Ich überlege gerade wie ich das anders ausdrücken soll, aber mir scheint gerade so, als ob ich mein problem nicht anders ausdrücken kann,
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Sa 11.11.2006 | | Autor: | w.bars |
jetzt werd mal bitte nicht nervös - eine sauber gestellte frage ist aber extrem nützlich für diejenigen, die diese beantworten wollen.
Eine kleine Auswahl:
hast du probleme mit dem allgemeinen sinn des Gauß-verfahrens?
mit der art und weise, wie du zu der lösung kommst? mit dem vorausschauen und entscheiden, was du als nächstes in welcher gleichung machst?
eine gute Antwort braucht eine gut gestellte frage.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Sa 11.11.2006 | | Autor: | jerry |
Hallo Informacao,
also wenn ich dein Problem richtig verstehe ist dein Problem nicht das erkennen wie du ein zeile umformst, sondern wo dann das ergebnis hinkommt, also welche zeile damit ersetzt wird?
letztlich geht es im gauss-verfahren ja auf eine stufenform zu kommen.
erste gleichung noch alle drei variablen, zweite gleichung noch zwei und in der letzten dann nur noch eine. (vorrausgesetzt es sind drei gleichungen mit drei unbekannten)
standardmäßig geht man nun so vor dass man zunächst mit der ersten gleichung (1) versucht jeweils das x in der (2) und (3) gleichung zu eliminieren.
also wie in deinem beispiel hast du die zweite zeile mit 3 multipliziert.
die zweite zeile wird dann mit dem ergebnis der addition von zeile 1 und 2 ersetzt. häufig schreibt man auch eine gleichung für die neue zweite zeile auf: (2a) = (1) + 3*(2)
also ergebe sich dann (die erste gleichung bleibt stehen, denn dein ziel war in der zweiten gleichung das x zu eliminieren, du arbeitest also pro schritt immer nur an einer gleichung, die andere bleibt stehen):
3x-2y+5z=13
(0*x)+7y+17z=10
5x+6y-z=3
nun musst du noch in der dritten gleichung das x rauskriegen.
die notwendige umformung läßt sich schreiben als:
(3a) = 3*(3)-5*(1)
daraus ergibt sich:
3x-2y+5z=13
7y+17z=10
28y-28z=-56
die dritte zeile läßt sich nun kürzen mit 28 (nicht notwendig, aber vereinfacht das ganze enorm), ich nenn diese jetzt mal (3b): 1y-1z=-2
nun müssen noch die (2a) und (3b) zu einer neuen (3c) verarbeitet werden:
(3c)=7*(3b)-(2a)
es ergibt sich:
3x-2y+5z=13
7y+17z=10
-24z=-24
nun haben wir die stufenform erreicht und können nun rückwärts die variablen ausrechnen (aber das weißt du ja sicher)
daraus ergibt sich z=1 und so weiter.
Zusammenfassend:
ganz allgemein gehst du so vor:
- x in zeile 2 eliminieren mit hilfe von zeile 1 => ergibt neue Zeile 2
- x in zeile 3 eliminieren mit hilfe von zeile 1 => ergibt neue Zeile 3
- y in zeile 3 eliminieren mit hilfe von zeile 2 => ergibt neue Zeile 3
und dann bist du normalerweise auf einer stufenform.
es kann natürlich geschicktere wege geben, aber dieser standardweg sollte eigenltich so gut wie immer funktionieren (auch wenn vlt mit etwas mehr arbeit, aber mit mehr übung, kriegst du auch nen blick für einfachere wege)
ich hoffe dass meine antwort ansatzweise in richtung deiner frage zielt.
wenn nich frag einfach nochmal, oder versuch deine ursprüngliche frage neu zu formulieren, vlt wird es dann bereits klarer worauf du hinauswillst)
viele grüße
benni
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Hallo,
vielen dank an alle für die antworten. ich weiß jetzt mehr, und ich habs auch verstanden. doch jetzt ist noch ein problem aufgetaucht:
irgendwann in der aufgabe komme ich zu folgenem LGS:
3x-2y+5z=13
28y+68z=40
z=1
ich will hier noch nicht aufhören, sondern das gauß-verfahren bis zum schluss durchrechnen. (ich war gerade dabei mit der 2. gleichung die y in allen anderen zu eliminieren) . also habe ich die erste gleichung mit 14 multipliziert:
42x-28y+70z=128
28y+68z=40
z=1
soo..jetzt mein problem: ich will ja die 2. gleichung zur 1. addieren, sodass in der 1. gleichung mein y wegfällt. ich hatte eben in den schritten davor immer den fall, dass die gleichung mit dem "minus" unten stand. dann konnte ich die problemlos dazuaddieren. aber wie ist es jetzt? fällt jetzt das y in der 2. gleichung weg? oder denk ich falsch??
welche muss ich zu welcher addieren? und waren meine gedanken falsch oder richtig?
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir nochmal helfen könnt.
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Sa 11.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Informaco
Du willst was, was nicht geht!
Das Gauss- Verfahren ist zu ende, wenn in der letzten Zeile ein Ergebnis für eine der Variablen. darüber ne Gl. mit 2, darüber mit 3 usw. steht.
Genau das war das Ziel des Verfahrens.
Also setzt man jetz die letzte Zeile in die vorletzte usw.
Was du vielleicht meinst, was aber unnötig und damit dumm wäre:
Du kannst ganz von vorn an fangen und statt zuerst x zu eliminieren machst du das mit z, dann landest du in der letzten Zeile mit x=Zahl.
Und dann wieder von vorn, x,z raus und du landest bei y=Zahl
Sowas macht man aber nicht, du kannst es natürlich zum Üben tun.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Informacao |
wir haben das so gelernt, dass das ziel ist, dass am ende diese form auf dem blatt steht:
x = ...
y = ...
z = ....
also das ist doch das ziel, eine dreiecksgestalt machen..aber wenn ich das zum üben mache?? wie sieht das dann aus..mit meiner frage..also was ich zu was addieren mus..ich meinte jetzt bei meinem konkreten schritt da..nicht noch mal von anfang an, so wie informix es gemacht hat
viele grüße
informacao
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Hallo Informacao,
> Hallo,
>
> also ich habe ein grundsätzliches Problem, das jedes mal
> auftritt wenn ich ein LGS mit dem Gauß-verfahren lösen
> möchte. ich versuche euch das mal zu erklären (anhand eines
> beispiels)
>
> also ich habe folgendes LGS:
>
> 3x-2y+5z=13
> -x+3y+4z=-1
> 5x+6y-z=3
>
> dann habe ich die 2. Zeile mit 3 multipliziert, damit ich
> das x eliminieren kann.
> dann steht ja da:
>
(I) 3x-2y+5z=13 [mm] \rightarrow [/mm] stehen lassen
(II) -3x+9y+12z=-3 [mm] \rightarrow [/mm] das Ergebnis von (I) +(II) in diese Zeile schreiben:
(I) 3x-2y+5z=13 [mm] \rightarrow [/mm] stehen lassen
(II) 0 +7y+17z=10 [mm] \rightarrow [/mm] neue 2. Zeile
(I) 3x-2y+5z=13 [mm] \rightarrow [/mm] stehen lassen, aber zwischendurch mit -5 multiplizieren:
(III)5x+6y-z=3 [mm] \rightarrow, [/mm] mit 3 multiplizieren:
(I) -15x+10y-25z=-15
(III)15x+18y-3z=9
(III) 0 + 28y-28z=-6
ergibt neues LGS, bei dem in der 2. und 3. Zeile x nicht mehr vorkommt:
(I) 3x-2y+5z=13
(II) 0 +7y+17z=10
(III) 0 + 28y-28z=-6 | :2
Rechne bitte nach, ich verrechne mich manchmal...
Jetzt kombinierst du entsprechend die beiden Gleichungen (II) und (III) so, dass y nicht mehr vorkommt.
Das machst du jetzt...
Also gut, machen wir also weiter:
(II) 0 +7y+17z=10 | *(-2)
(III) 0 + 14y-14z=-3
(II) -14y-34z=-20
(III) 14y+14z=-3 |addieren
(I) 3x-2y+5z=13
(II) 0 +7y+17z=10
(III)0 + 0 + -20z = -23
jetzt arbeitest du dich von unten (!) nach oben:
(III) in (II) einsetzen: ergibt y=... als neue (II)
(III) und die neue (II) in (I) einsetzen: ergibt x= ....
schlussendlich also:
x=...
y=...
z=...
Das nennen manche Lehrer Gauß rückwärts einsetzen.
Wenn ich mir die Zahlen so betrachte, befürchte ich, ich habe mich tatsächlich verrechnet.
Aber das kannst du jetzt durch Nachvollziehen, nicht Abschreiben(!) herausfinden.
Wir haben das Verfahren mal hier:  Gauß-Verfahren aufgeschrieben, außerdem findest du dort noch einen weiteren Link zur ![[]](/images/popup.gif) Fern-Uni Hagen, der dir vielleicht auf noch weiter helfen kann.
Wenn das auch nicht hilft: bitte wirklich noch konkreter fragen.
Gruß informix
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