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Ich habe folgende Aufgabe:
Berechnen Sie
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|sin x| dx}.
[/mm]
Bin da jetzt wie folgt rangegangen, komme aber zu keiner sinnvollen Lösung:
[mm] f(x)=\begin{cases} sin x, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ -sinx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}=\begin{cases} -cosx, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ cosx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}
[/mm]
Setze ich jetzt [mm] 2\pi [/mm] und 0 ein, bekommte ich jeweils 0 für die Fläche. Das kann doch aber gar nicht sein. Was mache ich falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Ich habe folgende Aufgabe:
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> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|sin x| dx}.[/mm]
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> Bin da jetzt wie folgt rangegangen, komme aber zu keiner
> sinnvollen Lösung:
> [mm]f(x)=\begin{cases} sin x, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ -sinx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
Hast du dir den Sinus mal angeschaut? Im Grunde ist die Idee ja gut, aber du solltest bei dieser Fallunterscheidung mal überlegen, für welche x er >0 bzw. <0 ist.
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}=\begin{cases} -cosx, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ cosx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
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> Setze ich jetzt [mm]2\pi[/mm] und 0 ein, bekommte ich jeweils 0 für
> die Fläche. Das kann doch aber gar nicht sein. Was mache
> ich falsch?
Diese Schreibweise ist falsch, weil du den Bereich von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] aufteilst (auch bei den Integralen), wo sin(x)>0 und sin(x)<0 ist. Und du weißt bestimmt, dass man ein "Gesamtintegral" bekommen kann, indem man die "Teilintegrale" addiert. Die Regel dazu heißt zum Beispiel:
[mm]\integral_{0}^{10}{f(x) dx}=\integral_{0}^{5}{f(x) dx} + \integral_{5}^{10}{f(x) dx}[/mm]
Also: unterteile richtig und dann passt es auch mit dem Integral.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Do 18.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
> Hallo,
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> > Ich habe folgende Aufgabe:
> >
> > Berechnen Sie
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|sin x| dx}.[/mm]
> >
> > Bin da jetzt wie folgt rangegangen, komme aber zu keiner
> > sinnvollen Lösung:
> > [mm]f(x)=\begin{cases} sin x, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ -sinx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
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> Hast du dir den Sinus mal angeschaut? Im Grunde ist die
> Idee ja gut, aber du solltest bei dieser Fallunterscheidung
> mal überlegen, für welche x er >0 bzw. <0 ist.
>
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> >
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}=\begin{cases} -cosx, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ cosx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
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> > Setze ich jetzt [mm]2\pi[/mm] und 0 ein, bekommte ich jeweils 0 für
> > die Fläche. Das kann doch aber gar nicht sein. Was mache
> > ich falsch?
> Diese Schreibweise ist falsch, weil du den Bereich von 0
> bis [mm]2\pi[/mm] aufteilst (auch bei den Integralen), wo sin(x)>0
> und sin(x)<0 ist. Und du weißt bestimmt, dass man ein
> "Gesamtintegral" bekommen kann, indem man die
> "Teilintegrale" addiert. Die Regel dazu heißt zum Beispiel:
> [mm]\integral_{0}^{10}{f(x) dx}=\integral_{0}^{5}{f(x) dx} + \integral_{5}^{10}{f(x) dx}[/mm]
>
> Also: unterteile richtig und dann passt es auch mit dem
> Integral.
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank! :)
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> Hallo,
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> > Ich habe folgende Aufgabe:
> >
> > Berechnen Sie
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|sin x| dx}.[/mm]
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> > Bin da jetzt wie folgt rangegangen, komme aber zu keiner
> > sinnvollen Lösung:
> > [mm]f(x)=\begin{cases} sin x, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ -sinx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
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> Hast du dir den Sinus mal angeschaut? Im Grunde ist die
> Idee ja gut, aber du solltest bei dieser Fallunterscheidung
> mal überlegen, für welche x er >0 bzw. <0 ist.
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> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}=\begin{cases} -cosx, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ cosx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
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> >
> > Setze ich jetzt [mm]2\pi[/mm] und 0 ein, bekommte ich jeweils 0 für
> > die Fläche. Das kann doch aber gar nicht sein. Was mache
> > ich falsch?
> Diese Schreibweise ist falsch, weil du den Bereich von 0
> bis [mm]2\pi[/mm] aufteilst (auch bei den Integralen), wo sin(x)>0
> und sin(x)<0 ist. Und du weißt bestimmt, dass man ein
> "Gesamtintegral" bekommen kann, indem man die
> "Teilintegrale" addiert. Die Regel dazu heißt zum Beispiel:
> [mm]\integral_{0}^{10}{f(x) dx}=\integral_{0}^{5}{f(x) dx} + \integral_{5}^{10}{f(x) dx}[/mm]
>
> Also: unterteile richtig und dann passt es auch mit dem
> Integral.
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
Bin nach Deinen Hinweisen jetzt wie folgt rangegangen:
Ich erhalte für sin x die Nullstellen [mm] x_{n}=0+k*\pi. [/mm] Die Funktion soll ja im Intervall 0 bis 2 [mm] \pi [/mm] betrachtet werden. Es gibt innerhalb dieses Intervalls also 3 Nullstellen: 0; [mm] \pi [/mm] und [mm] 2\pi. [/mm] Im Intervall [mm] [0;\pi] [/mm] ist sin x positiv im Intervall [mm] ]\pi;2\pi[ [/mm] negativ.
Also erhalte ich für die Funktion f(x) = |sinx|:
[mm] f(x)=\begin{cases} sinx, & \mbox{für } x\in [0;\pi] \\ -sin x, & \mbox{für }x \in ]\pi;2\pi[ \end{cases}
[/mm]
Ist der Ansatz so richtig?
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Hallo Morpheus87,
> > Hallo,
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> > > Ich habe folgende Aufgabe:
> > >
> > > Berechnen Sie
> > > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|sin x| dx}.[/mm]
> > >
> > > Bin da jetzt wie folgt rangegangen, komme aber zu keiner
> > > sinnvollen Lösung:
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} sin x, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ -sinx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
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> > Hast du dir den Sinus mal angeschaut? Im Grunde ist die
> > Idee ja gut, aber du solltest bei dieser Fallunterscheidung
> > mal überlegen, für welche x er >0 bzw. <0 ist.
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> >
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}=\begin{cases} -cosx, & \mbox{für } sinx \ge 0 \\ cosx, & \mbox{für } sinx \le 0\end{cases}[/mm]
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> > >
> > > Setze ich jetzt [mm]2\pi[/mm] und 0 ein, bekommte ich jeweils 0 für
> > > die Fläche. Das kann doch aber gar nicht sein. Was mache
> > > ich falsch?
> > Diese Schreibweise ist falsch, weil du den Bereich von
> 0
> > bis [mm]2\pi[/mm] aufteilst (auch bei den Integralen), wo sin(x)>0
> > und sin(x)<0 ist. Und du weißt bestimmt, dass man ein
> > "Gesamtintegral" bekommen kann, indem man die
> > "Teilintegrale" addiert. Die Regel dazu heißt zum Beispiel:
> > [mm]\integral_{0}^{10}{f(x) dx}=\integral_{0}^{5}{f(x) dx} + \integral_{5}^{10}{f(x) dx}[/mm]
>
> >
> > Also: unterteile richtig und dann passt es auch mit dem
> > Integral.
> > >
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> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
> Bin nach Deinen Hinweisen jetzt wie folgt rangegangen:
> Ich erhalte für sin x die Nullstellen [mm]x_{n}=0+k*\pi.[/mm] Die
> Funktion soll ja im Intervall 0 bis 2 [mm]\pi[/mm] betrachtet
> werden. Es gibt innerhalb dieses Intervalls also 3
> Nullstellen: 0; [mm]\pi[/mm] und [mm]2\pi.[/mm] Im Intervall [mm][0;\pi][/mm] ist sin
> x positiv im Intervall [mm]]\pi;2\pi[[/mm] negativ.
> Also erhalte ich für die Funktion f(x) = |sinx|:
> [mm]f(x)=\begin{cases} sinx, & \mbox{für } x\in [0;\pi] \\ -sin x, & \mbox{für }x \in ]\pi;2\pi[ \end{cases}[/mm]
>
> Ist der Ansatz so richtig?
Ja.
Gruß
MathePower
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Ok! Habe dann wie folgt weiter gemacht:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}=\begin{cases} -cos x, & \mbox{für } x \in [0;\pi] \\ cos x, & \mbox{für } x\in ]\pi;2\pi[ \end{cases}.
[/mm]
Also [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin x dx}+ \integral_{\pi}^{2\pi}{-sin x dx}=-cos(\pi)+cos(0)+cos(2\pi)-cos(\pi)=4.
[/mm]
richtig so?
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Hallo,
> Ok! Habe dann wie folgt weiter gemacht:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}=\begin{cases} -cos x, & \mbox{für } x \in [0;\pi] \\ cos x, & \mbox{für } x\in ]\pi;2\pi[ \end{cases}.[/mm]
>
> Also [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin x dx}+ \integral_{\pi}^{2\pi}{-sin x dx}=-cos(\pi)+cos(0)+cos(2\pi)-cos(\pi)=4.[/mm]
>
> richtig so?
Sieht richtig aus.
LG, Martinius
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Hallo, sicherlich kann man die Aufgabe wesentlich eleganter löse, ohne Fallunterscheidung
[mm] 2*\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}
[/mm]
Steffi
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Um von der Aufgabenstellung zu deiner Rechnung zu kommen, muss er aber die Fallunterscheidung trotzdem machen.
Er schreibt es ja auch nicht so ganz sauber auf mit dem Integral und der Fallunterscheidung.
Bei deiner eleganten Lösung muss man noch das Wissen um die Symmetrie hineinstecken (wie so oft bei schönen Lösungen).
Straight forward wäre es also:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{|sin(x)| dx}=\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx} + \integral_{\pi}^{2\pi}{-sin(x) dx} = [-cos(x)]_0^{\pi} + [cos(x)]_{\pi}^{2\pi}=1-(-1)+1-(-1)=4[/mm]
Der erste Schritt ist meiner Ansicht nach zwingend notwendig (auch wenn man ihn anders aufschreiben könnte), von daher "spart" deine Lösung jetzt nicht so viel.
Aber die Eleganz bleibt 
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