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Problem mit Quotientenkriteriu: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Fr 23.11.2012
Autor: AlbertHerum

Aufgabe
[mm] a_{n}:=\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!} [/mm]
Zeigen Sie durch das Quotientenkriterium, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent ist.

Hallo,

das QK ist so definert:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm]

Wenn ich das entsprechende [mm] a_{n} [/mm] einsetze sieht das so aus:
(Da [mm] a_{n} [/mm] immer positiv ist lasse ich den Betrag weg)

[mm] \bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)!}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}} [/mm]

[mm] =\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{n!(n+1)}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}} [/mm]

[mm] =\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)*\wurzel[n]{n}} [/mm]

Wie mache ich jetzt am besten weiter...

Kann mir jemand ein Tipp geben :)


        
Bezug
Problem mit Quotientenkriteriu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Fr 23.11.2012
Autor: reverend

Hallo Herumalberer, ;-)

Du bist doch fast fertig.

> [mm]a_{n}:=\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}[/mm]
>  Zeigen Sie durch das Quotientenkriterium, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent ist.
>  Hallo,
>  
> das QK ist so definert:
>  [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]

Na, da gehört noch ein bisschen mehr dazu. Z.B. eine Grenzwertbildung für [mm] n\to\infty [/mm] (genauer: eine Aussage für "fast alle" n) sowie ein Wertebereich, für den mit dem Kriterium überhaupt eine Entscheidung zu treffen ist.

> Wenn ich das entsprechende [mm]a_{n}[/mm] einsetze sieht das so
> aus:
>  (Da [mm]a_{n}[/mm] immer positiv ist lasse ich den Betrag weg)
>  
> [mm]\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)!}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{n!(n+1)}*\bruch{(n)!}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)*\wurzel[n]{n}}[/mm]
>  
> Wie mache ich jetzt am besten weiter...
>  
> Kann mir jemand ein Tipp geben :)

Akkusativ: einen!

Wenn Du Spaß dran hast, kannst Du noch zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{n}>\wurzel[n+1]{n+1} [/mm] ist. Nötig ist das hier aber nicht.

Für [mm] n\to\infty [/mm] gehen beide Wurzeln gegen 1 und damit der gesamte Bruch gegen 0.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Problem mit Quotientenkriteriu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 Fr 23.11.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]a_{n}:=\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}[/mm]
>  Zeigen Sie durch das Quotientenkriterium, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergent ist.
>  Hallo,
>  
> das QK ist so definert:
>  [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]

Quatsch. Seit wann ist ein Kriterium ein Term, der zudem keine Aussage
beinhaltet?

Für das QK ist es sinnvoll, sich die obigen Quotienten anzugucken. Zudem:
Ein Kriterium ist KEINE Definition. Achte bitte auf Deine Ausdrucksweise,
sie könnte Dir irgendwann zum Verhängnis werden. Sauberer arbeiten,
bitte!!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Problem mit Quotientenkriteriu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Fr 23.11.2012
Autor: AlbertHerum

Ja sorry, dass ich mich nicht formal korrekt ausgedrückt habe.
Was QK ist weiß ich, genauso wie ihr.
QK:
Wenn [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] <1 ist die Reihe konvergent
ISt [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] >1 ist die Reihe divergent
für =1 ist keine Aussage möglich.

@reverend: Habe gerade keine Ahnung was mit mir da los war. Ist ja eigentlich echt trivial :D

Bezug
                        
Bezug
Problem mit Quotientenkriteriu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:08 Sa 24.11.2012
Autor: fred97


> Ja sorry, dass ich mich nicht formal korrekt ausgedrückt
> habe.
>  Was QK ist weiß ich, genauso wie ihr.
>  QK:
>  Wenn [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] <1 ist die Reihe konvergent


Auch das ist Unsinn. Für wieviele n soll das gelten ? Für eins ? Für 23 n ? Für alle n ? .......


Nimm [mm] a_n=1/n. [/mm]


Formuliere das Kriterium bitte korrekt.

FRED

>  ISt [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] >1 ist die Reihe divergent
>  für =1 ist keine Aussage möglich.
>  
> @reverend: Habe gerade keine Ahnung was mit mir da los war.
> Ist ja eigentlich echt trivial :D


Bezug
                        
Bezug
Problem mit Quotientenkriteriu: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 Sa 24.11.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Ja sorry, dass ich mich nicht formal korrekt ausgedrückt
> habe.
>  Was QK ist weiß ich, genauso wie ihr.
>  QK:
>  Wenn [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] <1 ist die Reihe konvergent
>  ISt [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] >1 ist die Reihe divergent
>  für =1 ist keine Aussage möglich.

wie Fred schon sagte: Anscheinend weißt Du's nicht. Es gibt eine
Formulierung mit [mm] $\limsup$ [/mm] (oder eingeschränkter: mit [mm] $\lim$), [/mm] an der
wärst Du schon nahe dran, aber liefest immer noch vorbei.

Wenn es aber eine "für fast alle [mm] $n\,$" [/mm] Formulierung werden sollte, dann
müßte da irgendwie noch, neben der Tatsache, dass das zu erwähnen
wäre, die Existenz einer Zahl [mm] $\ge 0\,$ [/mm] und echt kleiner als [mm] $1\,$ [/mm] gefordert
werden.

Und ja: Ich weiß, was das QK ist und was es besagt. Dass Deine
Formulierung falsch ist, hat Fred ja schon mit [mm] $\sum_n [/mm] 1/n$ begründet.

Gruß,
  Marcel

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