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Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Wie erhalte ich die Stammfunktion von
[mm] f(x)=\wurzel[]{a²b²-x²}
[/mm]
In meinem Lehrbuch steht lediglich die Integrationsregel für Verkettungen mit linearen Funktion. Meine Idee wäre eventuell binomische Formel, aber dann hab ich ja noch ein Produkt und ich weiß nicht, ob das zweckmäßig ist. Außerdem ist mir keine Produktregel bekannt, also mit Funktionen.
MfG, David
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Sorry,
[mm] f(x)=\wurzel[]{a^2b^2-x^2}
[/mm]
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Hallo David,
> Hallo,
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> ich habe folgendes Problem:
> Wie erhalte ich die Stammfunktion von
>
> [mm]f(x)=\wurzel[]{a²b²-x²}[/mm]
Mache die Exponenten besser mit dem Dach links neben der 1
Also [mm]\int{\sqrt{a^2b^2-x^2} \ dx}[/mm] ist gesucht.
Klammere erstmal unter der Wurzel [mm]a^2b^2[/mm] aus, das gibt: [mm]\int{\sqrt{a^2b^2\cdot{}\left[1-\left(\frac{x}{ab}\right)^2\right] \ dx}[/mm]
[mm]=|ab|\cdot{}\int{\sqrt{1-\left(\frac{x}{ab}\right)^2} \ dx}[/mm]
Nun hilft eine Substitution weiter:
[mm]\sin(u):=\frac{x}{ab}[/mm], also [mm]x=ab\cdot{}\sin(u)[/mm]
Damit [mm]\frac{dx}{du}=ab\cdot{}\cos(u)[/mm], also [mm]dx=ab\cdot{}\cos(u) \ du[/mm]
Das ersetzte mal alles im Integral und denke an den trigonometr. Pythagoras: [mm]sin^2(z)+\cos^2(z)=1[/mm]
Schlussendlich kannst du partiell integrieren.
Das ist also alles in allem ein relativ schwieriges Biest, das du nicht einfach mit einer linearen Substitution erschlagen kannst ...
>
> In meinem Lehrbuch steht lediglich die Integrationsregel
> für Verkettungen mit linearen Funktion. Meine Idee wäre
> eventuell binomische Formel, aber dann hab ich ja noch ein
> Produkt und ich weiß nicht, ob das zweckmäßig ist.
> Außerdem ist mir keine Produktregel bekannt, also mit
> Funktionen.
>
> MfG, David
Gruß
schachuzipus
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