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| Aufgabe | | Gegeben ist ein Kreiskegel mit dem Radius r=8 cm und der Höhe=20 cm. Es soll ein kleinerer Kegel in den großen Kreiskegel eingefügt werden. Wie muss der Radius und die Höhe gewählt werden, dass das Volumen maximal wird? |
Wir haben im Moment Extremwertaufgaben nach dem folgenden Schema:
1.Zielfunktion mit Variablen
2. Nebenbedingungen(nach den Variablen auflösen)
3.Zielfunktion mit Hilfe der Nebenbedingungen mit nur einer Variablen darstellen
4.Definitionsmenge angeben
5.Extremstellen bestimmen
6.Randvergleich und Antwort
Ich habe bei der oben genannten Aufgabe und dem Thema überhapt extreme Probleme und es wäre total nett, wenn mir jemand die Schitte mit Erklärungen schreiben könnte, weil ich es wirklich brauche.Ich hatte bis zur 11 überhaupt keine Probleme in Mathe, aber mit unserem jetzigen Lehrer ist der komplette Kurs abgesunken in ein total schlechtes Niveau. Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo schuladen
Der erste Schritt ist immer ne Zeichnung, hier ne Querscnittszeichnung: also ein Dreieck für den äußeren Kegel, darin ein kleineres Dreieck mit der Spitze auf der Grundseite und in irgendner Höhe die Grundseite des inneren Kegels.
Dann Namen, Höhe des kleinen Kegels h, Radius der Grundseite r.
Dann das Volumen hinschreiben.
V=....
Das ist die hauptbedingung.
die nebenbedingung ist , dass da in dem grossen Kegel edrin liegt.
Daraus kannst du mit Strahlensatz einen Zusammenhang zwischen r und h finden, wenn wobei du die 2 bekannten Größen Radius R und Höhe H des äußeren Kegels verwenden musst.
Diesen Zusammenhang nach r oder h auflösen und in V einsetzten.
Dann hängt V nur noch von r oder h ab, und du kannst das Max. finden.
Def. Bereich: h muss kleiner sein als H, r kleiner R
und beide größer 0.
Jetzt versuchs mal und frag nach, wenns nicht klappt, zeig aber dabei, was du bis dahin hast.
Gruss leduart
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Die anderen beiden Größen sind übrigens s und k
Mein Ansatz ist
1) V(s,k)=1:3*pi-s°2*k
2) h:k=h-k:s
k=2,5s-20
s=8-0,4 k
3) v(s)=1:3*pi-s°2*(2,5s-20)
4) D= k<h
s<r
k<0
s<0
Ich brauche doch eine Ableitung, um jetzt einen Extremwert zu bekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die anderen beiden Größen sind übrigens s und k
> Mein Ansatz ist
> 1) V(s,k)=1:3*pi-s°2*k
Du meinst wohl [mm] V=1/3*\pi*s^2*k
[/mm]
> 2) h:k=h-k:s
Dies ist falsch, ich schätze dun hast dich verschrieben:
h/r=(h-k)/s
20/8=(20-k)/s
2,5s=20-k
k=20-2,5s
> k=2,5s-20
also hast du hier das Vorzeichen falsch!
> s=8-0,4 k
das ist richtig.
> 3) v(s)=1:3*pi-s°2*(2,5s-20)
[mm] V(s)=1/3*\pi*s^2*(20-2,5s)
[/mm]
> 4) D= k<h
> s<r
> k<0
> s<0
Hier falsch rum k>0; s>0
> Ich brauche doch eine Ableitung, um jetzt einen Extremwert
> zu bekommen.
Ja, du musst jetzt V(s) nach s ableiten. Dazu am besten die Klammer auflösen differenzieren und aus V'=0 s bestimmen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Sa 03.05.2008 | | Autor: | schuladen |
Ja du hast recht, mir sind auch gerade einige Fehler aufgefallen, einige Tippfehler sind dabei.
Aber wenn ich ausmultipliziere und die Ableitung=0 setze, dann bekomme ich -5,3333... raus und das kann nicht sein, da der Wert ja >0 sein muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du noch Fragen hast, schreib die nicht als Mitteilung sondern Frage, sonst liest man das nicht so leicht!
Du musst in V oder der Ableitung nen Fehler haben. ich hab +16/3 für s raus!
Hast du mein korrigiertes V genommen oder deins?
Gruss leduart
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Aber der Radius des kleineren Kegels kann doch nicht doppelt so groß sein wie der des großen Kegels.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh nicht ganz:s=16/3=5,333<8 also s kleiner r.
Hast du deinen Fehler gefunden?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Sa 03.05.2008 | | Autor: | schuladen |
Ich bin so dumm, sorry, ich habe 16,3 gelesen.
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Kannst du mir vielleicht dein V' geben? Ich weiß nicht was ich falsch gemacht habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo schuladen
Bitte schreib dein V und dein V' auf, sieh auch nochmal mein erstes post für V nach!
Dann versuch ich deinen Fehler zu finden.
Gruss leduart
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Also mein V ist 20,94395102 s°2+2,617993878 s°3
und mein V' ist 41,88790204 s+7,853981634 s°2
und als s bekomme ich immer- 16/3 raus.
Und was macht man dann beim Randvergleich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 So 04.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo schuladen!
Bitte, bitte immer mit den korrekten Werten bzw. Brüchen arbeiten. Und dann gehört da in Deine Volumenformel ein Minuszeichen hin:
$$V(s) \ = \ [mm] \bruch{20\pi}{3}*s^2 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{5\pi}{6}*s^3$$
[/mm]
> Und was macht man dann beim Randvergleich?
Wenn Du aus deiner vorigen Berechnung [mm] $V_{\max}$ [/mm] ermittelt hast, betrachtest Du mal, welche Volumenwerte für [mm] $s\rightarrow [/mm] 0$ und [mm] $s\rightarrow [/mm] (R=8)$ bzw. [mm] $k\rightarrow [/mm] 0$ und [mm] $k\rightarrow [/mm] (H=20)$ geschieht.
Gruß
Loddar
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