Probleme mit Induktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n}2^{n}*3^{k} [/mm] = [mm] 2^{n-1}*(3^{n+1}-1) [/mm] |
Hallo,
ich hab so meine Probleme mit dieser Induktion. Anfangs habe ich versucht, den Teil vor dem =-Zeichen zu vereinfachen. Mein erster Gedanke war:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}2^{n+1}*3^{k+1}
[/mm]
Wenn ich den Index k um eins erhöhe, dann muss ich doch n auch um n+1 erhöhen. Und das füg ich dann in [mm] 2^{n} [/mm] und [mm] 3^{k} [/mm] ein.
Ich kam aber drauf, dass beim Einsetzen von n=1 sowieso kein richtiges Ergebnis rauskommt. Meines Wissens heißt es aber bei Induktionen, dass die Induktionsvoraussetzung n=1 erfüllt sein soll.
Weiters hab ich nach irgendwelchen Formeln gesucht, die Ähnlichkeit mit der Gleichung haben. Leider fand ich nichts.
Habe dann trotzdem versucht, eine Induktion zu starten, aber das Ergebnis war verwirrend und sowieso falsch.
Daher würde ich mich um ein paar Tipps und Anregungen sehr freuen. Ich komm nämlich bei dieser Rechnung "vorn und hinten" nicht weiter.
Gruß, hannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 So 15.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Braunstein,
Du musst bei der vollständigen Induktion immer drauf achten, was denn eigentlich die Induktionsvariable ist, d.h. welche Variable im Induktionsschritt um 1 erhöht werden muss.
Die einzige frei wählbare Variable in der Aufgabe ist aber n, denn k ist ja nur ein Summationsindex. Also darfst Du an k nichts drehen.
Für n=1 ist die Aussage wahr:
[mm]\sum_{k=0}^{1}2^n*3^k = 2^1 * 3^0 + 2^1*3^1 = 8[/mm] und
[mm]2^{1-1}*(3^{1+1}-1) = 8[/mm]
Für den Induktionsschritt schreibst Du am besten einmal die linke und rechte Seite der Behauptung mit n+1 statt n auf. Dann startest Du mit der linken Seite und versuchst, diese so umzuformen, bis irgendwo die Behauptung mit n steht. Der Anfang sähe dann so aus:
[mm]\sum_{k=0}^{n+1}2^{n+1}*3^k = \sum_{k=0}^n 2^{n+1}*3^k + 2^{n+1} * 3^{n+1} = 2 * \sum_{k=0}^n 2^n * 3^k + 2^{n+1}*3^{n+1}[/mm]
Dabei habe ich erst den (n+1)ten Summanden aus dem Summenzeichen gezogen, dann noch 2 aus der Summe ausgeklammert.
Hier kann man jetzt die Induktionsannahme verwenden und dann muss man diesen Ausdruck noch weiter umformen, bis man die rechte Seite der Behauptung mit n+1 erhält.
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=0}^{n}2^{n}*3^{k} [/mm] = [mm] 2^{n-1}*(3^{n+1}-1) [/mm] |
Herzlichen Dank für die rasche Antwort. Solch eine Variante hab ich auch schon versucht, aber als ich dann für n=1 eingesetzt habe und die linke mit der rechten Seite verglichen habe, gab es keine Übereinstimmung. Die Übereinstimmung sollte es ja auch schon geben, wenn ich noch kein n+1 habe, sondern n=1 in die Formel
[mm] \summe_{k=0}^{n}2^{n}*3^{k} [/mm] = [mm] 2^{n-1}*(3^{n+1}-1)
[/mm]
einsetze. Dies ist aber hier nicht der Fall ... Entweder bin ich begriffstützig oder ich hab das Rechnen verlernt. Traurig aber wahr.
Gruß, hannes
|
|
|
| |
|
Hallo Brauni,
die Aussage stimmt für n=1, allerdings stimmt sie auch schon für n=0, insofern ist es egal, was zu zeigst:
Für n=1:
[mm]\summe_{k=0}^{1}2^{1}*3^{k} = 2^{1-1}*(3^{1+1}-1)[/mm]
[mm]2^1*3^0 + 2^1*3^1 = 2^0(3^2 - 1) [/mm]
[mm]2 + 6 = 1*(9-1) [/mm]
[mm]8 = 8[/mm]
Klappt also 
Nun noch eben für n=0:
[mm]\summe_{k=0}^{0}2^{1}*3^{k} = 2^{0-1}*(3^{0+1}-1)[/mm]
[mm]2^0*3^0 = 2^(-1) * (3^1 - 1) [/mm]
[mm] 1*1 = \bruch{1}{2} * 2 [/mm]
[mm] 1 = 1 [/mm]
Klappt auch
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
