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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Di 28.08.2007 | | Autor: | fritte |
| Aufgabe | Ein Punkt Pt (u/v) mit u > 0 liegt im ersten Quadranten auf dem Graphen von von ft (t ist Tiefgestellt). Pt ist ein Eckpunkt eines achsenparalleln Rechtecks, dass der Fläche zwischen dem Graphen von ft und der x-Achse einbeschriebn ist.
Wie müssen die Koordinaten von Pt gewählt werden, damit der Inhalt des Rechteckes extremal wird. Bergünden sie, dass es sich um ein Maximum handelt. Bestimen sie den Wert t, für den dieses Rechteck mit maximalem Inhalt ein Quadrat ist.
Zwischenergebnis für At(u)= [mm] ((2t^4)u)/u^2+3t^2
[/mm]
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Halle Zusammen ich sitze nun seit einiger Zeit vor der Aufgabe und verstehe sie nicht. Dies ist eine Teilaufgabe ud wie haben vorher schon Dinge bestimmt:
ft(x)= [mm] (t^4)/(x^2+3t^2)
[/mm]
f't(x)= [mm] ((-2t^4)x)/(x^2+3t^2)^2
[/mm]
f''t(x)= [mm] ((6t^4*x^2-6t^6)/(x^2+3t^2)^3
[/mm]
Es Gibt einen Hochpunkt H(0/ (1/3t2))
Die Wendepunkte ligen bei [mm] W1(t/0,25t^2) [/mm] und W2(-t /0,25 [mm] t^2)
[/mm]
Der Graph ist Achsensymmetrisch und es gibt keine Definitionslücken.
Die Gleichungen der Asymptoten lauten:
[mm] y=(-1/8)tx+(3/8)t^2 [/mm] am Wep 1
[mm] y=(1/8)tx+(3/8)t^2 [/mm] am Wep 2
Ich bitte dringend um Hilfe bei der Aufgabe
Gruß Marcel
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Hallo, Marcel!
Ich habe mir deine Aufgabe schnell angeschaut und leider verstehe ich auch nicht, wie man auf die Zwischenlösung kommen sollte. Aber ich versuche dir trotzdem mal ein wenig zu helfen. Überprüfe einmal ob, du wirklich alles richtig abgeschrieben hast.
Ich kann dir nur als Tipp gehen, den Grafen von [mm] $f_1$ [/mm] oder für andere $t$ einmal zu skizzieren. Was du dann machen sollst, ist anschaulich folgendes. Suche dir einen Punkt auf dem Graphen heraus und bilde dann mit den beiden Koordinatenachsen das Rechteck. Dazu zeichnest du einfach die beiden Parallelen zu den Koordinatenachsen durch den Punkt.
Die eigentliche Aufgabe ist jetzt, denjenigen Punkt zu bestimmen, mit dem der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird. Wie berechnet man jetzt den Flächeninhalt des Rechtecks? Du multiplizierst einfach die $x$-Koordinate mit der $y$-Koordinate. Du erhälst also in Abhängigkeit deiner $x$-Koordinate $u$ den Flächeninhalt
[mm] $$A_t(u) [/mm] = u * [mm] f_t(u) [/mm] = u * [mm] \frac{t^4}{x^2 + 3t^2}$$
[/mm]
Das stimmt aber nicht mit deiner Zwischenlösung überein :-(
Für den maximalen Flächeninhalt musst du einfach die [mm] $A_t(u)$ [/mm] ableiten und auf Nullstellen untersuchen, wie du es schon kennst. Aber das kannst du jetzt bestimmt selber 
Für die unterschiedlichen Zwischenergebnisse bräuchte ich noch eine zweite Meinung, vielleicht habe ich auch einen schweren Denkfehler gemacht oder etwas übersehen. Für mich sieht das gegebene Zwischenergebnis auf jeden Fall sehr seltsam aus...
Noch einen schönen Abend!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Di 28.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fritte!
Die angegebene Flächenfunktion ist schon richtig. Schließlich besteht Dein gesuchtes Rechteck aus folgenden Seiten:
Die horizontale Seite beträgt wegen der Achsensymmetrie von [mm] $f_t(x)$ [/mm] : $b \ = \ 2*u$ .
Die zugehörige Höhe (= vertikale Rechteckseite) lauten dann entsprechend: $h \ = \ [mm] f_t(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t^4}{u^2+3*t^2}$
[/mm]
Es ist auch immer hilfreich, eine Skizze zu machen ...
Damit ergibt sich als die gegebene Flächenfunktion [mm] $A_t(u)$ [/mm] :
[mm] $A_t(u) [/mm] \ = \ [mm] \red{b}*\blue{h} [/mm] \ = \ [mm] \red{2u}*\blue{\bruch{t^4}{u^2+3*t^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2t^4*u}{u^2+3t^2}$
[/mm]
Um hier nun die Extrema zu berechnen, musst Du von dieser Flächenfunktion [mm] $A_t(u)$ [/mm] die ersten beiden Ableitungen sowie die Nullstelle(n) der 1. Ableitung [mm] $A_t'(u)$ [/mm] bestimmen.
Gruß
Loddar
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