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Hallo,
ich möchte Beweisen, dass für die Menge [mm] X_i=\{0,1\} [/mm] mit der diskreten Topologie das Produkt [mm] X=\produkt_{i=1}^{\infty}X_i [/mm] nicht diskret ist.
Meine einzige Idee dazu wäre zu zeigen, dass es Punkte gibt, die nicht durch die Basis der Produkttopologie erzeugt werden. Nur wie könnte man das ausformulieren?
Danke
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> Hallo,
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> ich möchte Beweisen, dass für die Menge [mm]X_i=\{0,1\}[/mm] mit der
> diskreten Topologie das Produkt
> [mm]X=\produkt_{i=1}^{\infty}X_i[/mm] nicht diskret ist.
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> Meine einzige Idee dazu wäre zu zeigen, dass es Punkte
> gibt, die nicht durch die Basis der Produkttopologie
> erzeugt werden.
Was durch die Basis der Produkttopologie erzeugt wird sind nicht "Punkte", sondern das System der offenen Mengen der Produkttopologie.
> Nur wie könnte man das ausformulieren?
Welches ist nun die Basis der Produtktopologie? - Sind [mm] $p_k:\produkt_{i=1}^\infty X_i\rightarrow X_k$ [/mm] die Projektionen des Produktraumes auf den $k$-ten Faktorraum, so besteht die Basis der Produkttopologie aus Durchschnitten [mm] $p_{k_1}^{-1}(O_{k_1})\cap\cdots\cap p_{k_n}^{-1}(O_{k_n})$ [/mm] endlich vieler inverser Projektionen offener Mengen der Faktorräume.
[mm] $\produkt_{i=1}^\infty \{0\}$ [/mm] müsste in der diskreten Topologie der Menge [mm] $\produkt_{i=1}^\infty X_i$ [/mm] offen sein, kann aber nicht gleich dem Durchschnitt endlich vieler inverser Projektionen offener Mengen der Faktorräume sein (unendlich viele Faktoren eines solchen Durchschnitts werden gleich [mm] $\{0;1\}$ [/mm] sein, müssten aber auf [mm] $\{0\}$ [/mm] eingeschränkt werden können) und daher auch nicht offen bezüglich der Produkttopologie (denn die offenen Mengen der Produktopologie sind Vereinigungen von Mengen ihrer Basis).
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Hi, danke erst mal für die Antwort,
mir ist das immer noch nicht ganz klar.
> > Meine einzige Idee dazu wäre zu zeigen, dass es Punkte
> > gibt, die nicht durch die Basis der Produkttopologie
> > erzeugt werden.
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> Was durch die Basis der Produkttopologie erzeugt wird sind
> nicht "Punkte", sondern das System der offenen Mengen der
> Produkttopologie.
Dass die Basis die Produkttopologie erzeugt, also die darin offenen Mengen ist schon klar, meinte nur, dass in der diskreten Topologie offene Mengen enthalten sind (z.B. Punkte wenn man bei unendlichen Produkten von Punkten reden kann), die nicht durch die Basis erzeugt werden.
Jetzt zu meiner eigentlichen Frage
> [mm]\produkt_{i=1}^\infty \{0\}[/mm] müsste in der diskreten
> Topologie der Menge [mm]\produkt_{i=1}^\infty X_i[/mm] offen sein,
> kann aber nicht gleich dem Durchschnitt endlich vieler
> inverser Projektionen offener Mengen der Faktorräume sein
> (unendlich viele Faktoren eines solchen Durchschnitts
> werden gleich [mm]\{0;1\}[/mm] sein, müssten aber auf [mm]\{0\}[/mm]
> eingeschränkt werden können)
Diese Aussage kann ich nicht ganz nachvollziehen. Woraus kann man schließen dass unendenlich viele Faktoren [mm] \{0;1\} [/mm] sind?
Und welche Rolle spielen hierbei die Faktorräume?
Danke
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> Hi, danke erst mal für die Antwort,
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> mir ist das immer noch nicht ganz klar.
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> > > Meine einzige Idee dazu wäre zu zeigen, dass es Punkte
> > > gibt, die nicht durch die Basis der Produkttopologie
> > > erzeugt werden.
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> > Was durch die Basis der Produkttopologie erzeugt wird sind
> > nicht "Punkte", sondern das System der offenen Mengen der
> > Produkttopologie.
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> Dass die Basis die Produkttopologie erzeugt, also die darin
> offenen Mengen ist schon klar, meinte nur, dass in der
> diskreten Topologie offene Mengen enthalten sind (z.B.
> Punkte wenn man bei unendlichen Produkten von Punkten reden
> kann), die nicht durch die Basis erzeugt werden.
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> Jetzt zu meiner eigentlichen Frage
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> > [mm]\produkt_{i=1}^\infty \{0\}[/mm] müsste in der diskreten
> > Topologie der Menge [mm]\produkt_{i=1}^\infty X_i[/mm] offen sein,
> > kann aber nicht gleich dem Durchschnitt endlich vieler
> > inverser Projektionen offener Mengen der Faktorräume sein
> > (unendlich viele Faktoren eines solchen Durchschnitts
> > werden gleich [mm]\{0;1\}[/mm] sein, müssten aber auf [mm]\{0\}[/mm]
> > eingeschränkt werden können)
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> Diese Aussage kann ich nicht ganz nachvollziehen. Woraus
> kann man schließen dass unendenlich viele Faktoren [mm]\{0;1\}[/mm]
> sind?
Überleg' mal, wie eine einzige inverse Projektion [mm] $p_k^{-1}(\{0\})$ [/mm] aussieht: es ist diejenige Teilmenge von [mm] $\produkt_{i=1}^\infty \{0;1\}$ [/mm] bei der nur die $k$-te Koordinate auf den Wert $0$ eingechränkt ist, alle anderen Koordinaten können beide Werte, 0 oder 1, annehmen.
Wenn Du nun den Durchschnitt endlich vieler solcher inverser Projektionen [mm] $p_{k_1}^{-1}(\{0\})\cap \cdots \cap p_{k_n}^{-1}(\{0\})$ [/mm] anschaust dann ist doch klar: nur endlich viele Koordinaten [mm] $k_1,\ldots, k_n$ [/mm] lassen sich auf diese Weise auf den Wert $0$ einschränken, alle anderen (und dies sind noch immer unendlich viele), können noch immer beide Werte, $0$ und $1$, annehmen.
> Und welche Rolle spielen hierbei die Faktorräume?
Die Produkttopologie ist die "gröbste" Topologie auf dem Produkt [mm] $\produkt_{i=1}^\infty X_i$, [/mm] für die alle Projektionen [mm] $p_k:\, \produkt_{i=1}^\infty X_i\rightarrow X_k$ [/mm] stetig sind. Die Topologie der Faktorräume beeinflusst daher also die Produkttopologie insofern, als eben jede offene Menge der Produkttopologie eine (beliebige) Vereinigung endlicher Durchschnitte inverser Projektionen offener Mengen der Faktorräume ist.
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Jetzt alles klar, danke.
Hatte den Begriff Faktorgruppe bisher nur im Zusammenhang mit Vektorräumen gehört, hat mich daher ein wenig irritiert.
Gruß
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