Produkt von Reihengliedern < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 So 16.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | 1. Gegeben sei die Folge ($a_{n}) durch $a_{n}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}}$
$p_{n}$ sei das Produkt der $n$ ersten Folgenglieder. Suche für $p_{n}$ einen möglichst einfachen Ausdruck und beweise die Vermutung. Wie gross ist \limes_{n \rightarrow \infty}? |
Hallo!
Ich begreife gar nicht wie ich die ersten $n$ Folgenglieder miteinander multiplizieren kann!
Etwa so?
$a_{1}= 1-\frac{1}{(1+1}^{2}} = 1-\frac{1}{4}= \frac{3}{4}$
$a_{2}=1-\frac{1}{9}= \frac{8}{9}$
$a_{3}=1-\frac{1}{16}= \frac{15}{16}$
$a_{n-1}=1-\frac{1}{n^{2}}$
Ich glaube nicht....
Wie finde ich überhaupt die "n" ersten Folgenglieder heraus?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
Vereinfache den Ausdruck für [mm] $a_n$, [/mm] indem du hier auf einem Bruchstrich schreibst und zusammenfasst.
Dann kannst Du auch das entsprechende Produkt schnell formulieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 16.05.2010 | | Autor: | kushkush |
[mm] $\frac{n^{2}+2n}{(n+1)^{2}} [/mm] $
falls du das gemeint hast (?)
aber wie kann ich hiermit jetzt für ALLE Folgenglieder das Produkt formulieren?
danke für den Ansatz!
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Hallo!
> [mm]\frac{n^{2}+2n}{(n+1)^{2}}[/mm]
>
> falls du das gemeint hast (?)
Genau!
Noch besser:
[mm] \frac{n*(n+2)}{(n+1)^{2}}
[/mm]
> aber wie kann ich hiermit jetzt für ALLE Folgenglieder das
> Produkt formulieren?
Betrachte doch mal, was passiert, wenn wir ein paar obiger Terme für n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 aufschreiben und multiplizieren:
[mm] $\frac{1*(1+2)}{(1+1)^{2}}*\frac{2*(2+2)}{(2+1)^{2}}*\frac{3*(3+2)}{(3+1)^{2}}*\frac{4*(4+2)}{(4+1)^{2}}*...$
[/mm]
Faktoren beibehalten, nur die Terme in den Klammern ausrechnen:
[mm] $\frac{1*3}{2^{2}}*\frac{2*4}{3^{2}}*\frac{3*5}{4^{2}}*\frac{4*6}{5^{2}}*...$
[/mm]
fällt dir was auf?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> 1. Gegeben sei die Folge [mm]($a_{n})[/mm] durch
> [mm]$a_{n}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}}$[/mm]
>
> [mm]p_{n}[/mm] sei das Produkt der [mm]n[/mm] ersten Folgenglieder. Suche
> für [mm]p_{n}[/mm] einen möglichst einfachen Ausdruck und beweise
> die Vermutung. Wie gross ist [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}?[/mm]
> Hallo!
>
>
>
> Ich begreife gar nicht wie ich die ersten [mm]n[/mm] Folgenglieder
> miteinander multiplizieren kann!
>
> Etwa so?
>
> [mm]a_{1}= 1-\frac{1}{(1+1}^{2}} = 1-\frac{1}{4}= \frac{3}{4}[/mm]
>
> [mm]a_{2}=1-\frac{1}{9}= \frac{8}{9}[/mm]
> [mm]a_{3}=1-\frac{1}{16}= \frac{15}{16}[/mm]
>
> [mm]a_{n-1}=1-\frac{1}{n^{2}}[/mm]
>
Das sind nur die Faktoren.
Produkt der ersten 2 Folgenglieder: [mm] \frac{3}{4}*\frac{8}{9}
[/mm]
Produkt der ersten 3 Folgenglieder: [mm] \frac{3}{4}*\frac{8}{9}*\frac{15}{16}
[/mm]
...
Produkt der ersten n Folgenglieder: [mm] \frac{3}{4}*\frac{8}{9}*\frac{15}{16}*...\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Ich glaube nicht....
>
> Wie finde ich überhaupt die "n" ersten Folgenglieder
> heraus?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 16.05.2010 | | Autor: | kushkush |
also:
[mm] $p_{1}= \frac{3}{4}$
[/mm]
[mm] $p_{2}= \frac{2}{3}= \frac{4}{6}$
[/mm]
...
also kann man sagen dass für die Produkte gilt: [mm] $\frac{n+2}{2n+2}$? [/mm]
Und bewiesen indem ich setze:
[mm] $p_{n+1}= p_{n} \cdot a_{n+1}$
[/mm]
stimmt das?
danke für die Hilfe Loddar und abakus!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
schau dir die Faktoren in Zähler und Nenner an.
Im Nenner kommen die Faktoren 2, 3, 4, 5... (n+1) usw. je zweimal vor.
Im Zähler kommt 1 und 2 nur je einmal vor, ab 3 sind auch alle Faktoren doppelt vorhanden, und nur die letzten beiden Faktoren sind wieder nur einfach da.
Es kürzt sich somit FAST alles weg.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 So 16.05.2010 | | Autor: | kushkush |
ja habe ich gemerkt
danke
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