Produkt von Ringen, Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $n\in\mathbb{N}$, [/mm] $K$ ein Körper und [mm] $K^n:=\prod_{i=1}^n [/mm] K$ das n-fache Produkt von Ringen.
Man bestimme alle Ideale in [mm] $K^n$ [/mm] und entscheide ob diese maximal oder prim sind. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Wie ist hier das Produkt zu verstehen? Also das n-fache Produkt von Ringen?
$K$ soll doch ein Körper sein und kein Ring.
Aber ansonsten sollte hier ja das "ganz normale" direkte Produkt gemeint sein.
Wenn ich alle Ideale [mm] $\mathcal{A}\subseteq [/mm] K$ bestimmen möchte, muss ich erstmal alle Untergruppen von [mm] $K^n$ [/mm] bezüglich der Addition angeben, mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass für alle [mm] $a\in K^n$ [/mm] und [mm] $x\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt [mm] ax\in\mathcal{A}.
[/mm]
Über dem direkten Produkt sind Addition und Multiplikation ja einfach komponentenweise definiert.
Wie kann ich nun vorgehen um die Ideale anzugeben?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]n\in\mathbb{N}[/mm], [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]K^n:=\prod_{i=1}^n K[/mm]
> das n-fache Produkt von Ringen.
>
> Man bestimme alle Ideale in [mm]K^n[/mm] und entscheide ob diese
> maximal oder prim sind.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Wie ist hier das Produkt zu verstehen? Also das n-fache
> Produkt von Ringen?
Da hat sich der Aufgabensteller verhauen.
> [mm]K[/mm] soll doch ein Körper sein und kein Ring.
> Aber ansonsten sollte hier ja das "ganz normale" direkte
> Produkt gemeint sein.
[mm] K^n [/mm] ist einfach das n-fache kartesische Produkt von K.
>
> Wenn ich alle Ideale [mm]\mathcal{A}\subseteq K[/mm] bestimmen
> möchte, muss ich erstmal alle Untergruppen von [mm]K^n[/mm]
> bezüglich der Addition angeben, mit der zusätzlichen
> Eigenschaft, dass für alle [mm]a\in K^n[/mm] und [mm]x\in\mathcal{A}[/mm]
> gilt [mm]ax\in\mathcal{A}.[/mm]
>
> Über dem direkten Produkt sind Addition und Multiplikation
> ja einfach komponentenweise definiert.
>
> Wie kann ich nun vorgehen um die Ideale anzugeben?
Zeige: sei I eine Teilmenge von [mm] K^n. [/mm] Dann gilt:
I ist ein Ideale in [mm] K^n \gdw [/mm] es ex. Ideale [mm] I_1,...,I_n [/mm] in K mit [mm] $I=I_1 \times [/mm] ... [mm] \times I_n$
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank im voraus.
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> Zeige: sei I eine Teilmenge von $ [mm] K^n. [/mm] $ Dann gilt:
> I ist ein Ideale in $ [mm] K^n \gdw [/mm] $ es ex. Ideale $ [mm] I_1,...,I_n [/mm] $ in K mit $ [mm] I=I_1 \times [/mm] ... [mm] \times I_n [/mm] $
Sei also $I$ ein Ideal in [mm] $K^n$.
[/mm]
Also $I$ Untergruppe bezüglich Addition von [mm] $K^n$ [/mm] und für alle [mm] $a\in K^n$ [/mm] und [mm] $x\in [/mm] I$ ist [mm] $ax\in [/mm] I$.
Sei [mm] $I_1,\dotso, I_n\subseteq [/mm] K$
Betrachte [mm] $pr_i: I\to I_j$, [/mm] mit [mm] $(i_1,\dotso, i_n)\mapsto i_j$
[/mm]
Da die Multiplikation des Produktes komponentenweise definiert ist, gilt für [mm] $ax\in [/mm] I$
[mm] $(ai_1,\dotso, ai_n)\mapsto ai_j$
[/mm]
Ist damit direkt klar, dass [mm] ai_j [/mm] ebenfalls ein Element aus [mm] $I_j$ [/mm] ist, oder wäre das auch zu zeigen?
Dann müsste ich noch zeigen, dass ich Untergruppen bezüglich der Addition habe um zu folgern, dass alle [mm] $I_j$ [/mm] ebenfalls Ideale sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mo 23.05.2016 | | Autor: | hippias |
> > Zeige: sei I eine Teilmenge von [mm]K^n.[/mm] Dann gilt:
>
> > I ist ein Ideale in [mm]K^n \gdw[/mm] es ex. Ideale [mm]I_1,...,I_n[/mm] in
> K mit [mm]I=I_1 \times ... \times I_n[/mm]
>
>
> Sei also [mm]I[/mm] ein Ideal in [mm]K^n[/mm].
> Also [mm]I[/mm] Untergruppe bezüglich Addition von [mm]K^n[/mm] und für
> alle [mm]a\in K^n[/mm] und [mm]x\in I[/mm] ist [mm]ax\in I[/mm].
>
> Sei [mm]I_1,\dotso, I_n\subseteq K[/mm]
>
> Betrachte [mm]pr_i: I\to I_j[/mm], mit [mm](i_1,\dotso, i_n)\mapsto i_j[/mm]
>
Das geht so nicht: wenn die [mm] $I_{i}$, [/mm] wie es scheint, irgendwelche Teilemengen sein sollen, wieso sollte dann solche Abbildungen [mm] $pr_{i}$ [/mm] existieren?
> Da die Multiplikation des Produktes komponentenweise
> definiert ist, gilt für [mm]ax\in I[/mm]
>
> [mm](ai_1,\dotso, ai_n)\mapsto ai_j[/mm]
>
> Ist damit direkt klar, dass [mm]ai_j[/mm] ebenfalls ein Element aus
> [mm]I_j[/mm] ist, oder wäre das auch zu zeigen?
> Dann müsste ich noch zeigen, dass ich Untergruppen
> bezüglich der Addition habe um zu folgern, dass alle [mm]I_j[/mm]
> ebenfalls Ideale sind.
Du setzt $I$ als Ideal von [mm] $K^{n}$ [/mm] voraus. Nun wurde vorgeschlagen zu zeigen, dass es Ideale [mm] $I_{i}$ [/mm] von $K$ gibt, sodass $I= [mm] I_{1}\times\ldots I_{n}$ [/mm] ist.
Du kannst nun gerne die Projektionen [mm] $pr_{i}:K^{n}\to [/mm] K$ auf die $i$-te Koordinate benutzen. Betrachte auch [mm] $e_{i}I$, [/mm] wobei [mm] $(e_{i})_{j}= \delta_{i,j}$ [/mm] (Standardbasis) ist.
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