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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Mi 29.10.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Zeige ausführlich mittels vollständiger Induktion:
[mm] \forall [/mm] n,m [mm] \in \IN, a_1,....,a_n, b_1,...,b_n \in \IR: (\summe_{i=1}^{n})a_i [/mm] * [mm] (\summe_{j=1}^{m})b_j= \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{m}a_ib_j [/mm] |
hallo,
schon wenn ich das ganze an einem bsp durchrechnen möchte, weiß ich nicht genau, wie ich auf der rechten einsetzen muss! wie geht man bei 2 summenzeichen hintereinander vor? lasse ich j und i gleichzeitig laufen??
wär schön, wenn mir jemand alles an einem bsp erklären könnte?!
und für den beweis dann? da muss ich ja sicher eine variable fest lassen und zb nur n beliebig wählen. aber wie schreibe ich das auf?
danke schonmal...
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> Zeige ausführlich mittels vollständiger Induktion:
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> [mm]\forall[/mm] n,m [mm]\in \IN, a_1,....,a_n, b_1,...,b_n \in \IR: (\summe_{i=1}^{n})a_i[/mm] * [mm](\summe_{j=1}^{m})b_j= \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{m}a_ib_j[/mm]
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> hallo,
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> schon wenn ich das ganze an einem bsp durchrechnen möchte,
> weiß ich nicht genau, wie ich auf der rechten einsetzen
> muss! wie geht man bei 2 summenzeichen hintereinander vor?
> lasse ich j und i gleichzeitig laufen??
> wär schön, wenn mir jemand alles an einem bsp erklären
> könnte?!
>
> und für den beweis dann? da muss ich ja sicher eine
> variable fest lassen und zb nur n beliebig wählen. aber wie
> schreibe ich das auf?
>
> danke schonmal...
Setze zuerst nur mal alle Klammern richtig:
[mm]\forall n,m \in \IN, a_1,....,a_n, b_1,...,b_n \in \IR: \left(\summe_{i=1}^{n}a_i \right)* \left(\summe_{j=1}^{m}b_j\right)=\summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{m}(a_i*b_j)\right)[/mm]
Dann sollte vieles klar werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 29.10.2008 | | Autor: | gigi |
die klammern standen leider nicht in der aufgabe!
wenn ich nun rechts das produkt von [mm] a_ib_j [/mm] berechne, was setze ich dann für [mm] a_i [/mm] ein? ich lasse doch für die erste summe nur j von 1 bis m laufen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mi 29.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> die klammern standen leider nicht in der aufgabe!
Mach dir mal die Summenschreibweise klar, dann solltest du erkennen, dass nur diese Klammerung gemeint sein kann.
Und so, wie du sie gesetzt hast, machten sie keinen Sinn.
>
> wenn ich nun rechts das produkt von [mm]a_ib_j[/mm] berechne, was
> setze ich dann für [mm]a_i[/mm] ein? ich lasse doch für die erste
> summe nur j von 1 bis m laufen, oder?
Hängen die [mm] a_{i} [/mm] in irgendeiner Weise von j ab? Nein! Also kannst du diese Ausklammern. Und dann bist du fast schon am Ziel.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{m}(a_i\cdot{}b_j)\right) [/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}\left(a_{i}*\summe_{j=1}^{m}b_j\right)
[/mm]
Und jetzt bleibt die Frage, ob [mm] \summe_{j=1}^{m}b_j [/mm] von i abhängig ist....
Marius
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Was hier vollständige Induktion suchen soll, ist eher
rätselhaft. Im Prinzip geht es ja nur um die elementaren
Rechenregeln, nämlich um ein verallgemeinertes
Distributivgesetz wie z.B. beim Ausmultiplizieren
des Terms
[mm] (a_1+a_2+a_3)*(b_1+b_2+b_3+b_4)
[/mm]
Natürlich kann man dies auf eine Reihe von Anwendungen
des "einfachen" Distributivgesetzes a*(b+c)=a*b+a*c
und des Kommutativgesetzes a*b=b*a
zurückführen. Bei der Verallgemeinerung auf beliebig
viele Summanden steckt da wohl der Induktionsgedanke
drin, allerdings auf einem Level, an das man sich eigentlich
gewöhnt hat, seitdem man in der Schule Multiplikations-
aufgaben wie etwa
324*5701 = ?
gelöst hat.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 29.10.2008 | | Autor: | gigi |
so, mittlerweile habe ich mir das ganze doch nochmal aufgeschrieben und ganz gut verstanden, was dahinter steckt (also eine art distributionsgesetz)
da es aber in der aufgabe ja explizit heißt "ausführlich mittels vollständiger induktion" sollte ich dies doch auch befolgen.
ich weiß nur nicht, was da die einzelnen schritte sein sollen!
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[mm]\forall n,m \in \IN, a_1,....,a_n, b_1,...,b_n \in \IR: \left(\summe_{i=1}^{n}a_i \right)* \left(\summe_{j=1}^{m}b_j\right)=\summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{m}(a_i*b_j)\right)[/mm]
hallo gigi,
also mal der erste Teil des Beweises:
Es sei m=1 (d.h. die zweite Summe hat nur einen
einzigen Summanden). Mit vollständiger Induktion
beweisen wir, dass
[mm]\forall n \in \IN, a_1,....,a_n, b_1 \in \IR: \left(\summe_{i=1}^{n}a_i \right)* \left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)=\summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)[/mm]
Verankerung bei n=1:
[mm]n=1; a_1,....,a_n, b_1 \in \IR: \left(\summe_{i=1}^{n}a_i\right)*\left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)=\summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)[/mm]
[mm]\gdw \left(\summe_{i=1}^{1}a_i \right)*\left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)=\summe_{i=1}^{1}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)[/mm]
[mm]\gdw a_1*b_1=\summe_{i=1}^{1}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)=\summe_{i=1}^{1}\left(a_i*b_1\right)=a_1*b_1[/mm]
Offensichtlich ist dies richtig (was wir ja schon vor
dieser Kritzelei wussten ... 
Ind.Voraussetzung:
Für ein gewisses [mm] n\in \IN [/mm] gelte: [mm]\left(\summe_{i=1}^{n}a_i \right)* \left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)=\summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)[/mm]
Induktionsschritt: n+1 an Stelle von n
[mm]\left(\summe_{i=1}^{n+1}a_i \right)* \left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)=\left( \left(\summe_{i=1}^{n}a_i\right) +a_{n+1}\right)* \left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right) \underbrace{=}_{DG}\left(\summe_{i=1}^{n}a_i \right)* \left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)+a_{n+1}*\left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)[/mm]
[mm]\underbrace{=}_{IV}\summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)+a_{n+1}*\left(\summe_{j=1}^{1}b_j\right)[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)+\summe_{j=1}^{1}a_{n+1}*b_j[/mm]
etc. etc.
bis zum Ergebnis:
[mm]=\summe_{i=1}^{n+1}\left(\summe_{j=1}^{1}(a_i*b_j)\right)[/mm]
So, und anschliessend käme nun die Induktion nach m:
Start mit beliebigem n und m=1. Nun wird n festgehalten
und man muss den Schritt von m zu m+1 ausführlich
darstellen.
Das überlasse ich dir aber jetzt gerne - auf Papier geht es
wohl auch etwas leichter als mit dem Formeleditor !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 29.10.2008 | | Autor: | gigi |
das trifft sich gut, ich habe nämlich mit m+1 begonnen!
nur deine vorgehensweise kannte ich noch nicht ganz genau:
also man setzt m=1 (ist das mein induktionsanfang) oder erst die verankerung n=1? und dann kann man tatsächlich die ganze zeit im beweis einfach m=1 lassen? muss ich dann nicht am ende noch einen schritt machen, um die gültigkeit für alle m zu zeigen? oder habe ich dies bereits getan, wenn ich n=1 setze und m laufen lasse?
danke und gruß
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> das trifft sich gut, ich habe nämlich mit m+1 begonnen!
>
> nur deine vorgehensweise kannte ich noch nicht ganz genau:
>
> also man setzt m=1 (ist das mein induktionsanfang) oder
> erst die verankerung n=1? und dann kann man tatsächlich die
> ganze zeit im beweis einfach m=1 lassen? muss ich dann
> nicht am ende noch einen schritt machen, um die gültigkeit
> für alle m zu zeigen? oder habe ich dies bereits getan,
> wenn ich n=1 setze und m laufen lasse?
>
> danke und gruß
hallo gigi,
Stell dir vor, wie man eine Zahl, die in der oberen linken
Ecke einer Excel-Tabelle steht, in alle Felder der Tabelle
kopiert: Zuerst nach rechts füllen, dann ist die oberste
Zeile gefüllt. Das entspricht der Induktion nach n, die ich
schon vorgeführt habe.
Dann nach unten füllen, dies entspricht der Induktion
nach m. Diesen Beweis muss man zum Glück nicht für
jeden einzelnen Wert von n führen, denn die Werte in
der obersten Zeile beinhalten ja gewissermassen die
Verankerung für jeden beliebigen Wert von n.
Was noch zu leisten ist, ist einzig der Induktionsschritt
m--->m+1 für einen als konstant angenommenen Wert n.
tschüss
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