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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Produkt von Transpositionen
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Produkt von Transpositionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Sa 27.12.2003
Autor: Jessica

Hallo mit einander. Hoffe ihr hattet schöne Feiertage.

Beim Nacharbeiten des Stoffes habe ich eine Sache gefunden, die ich noch nicht so ganz vestanden habe. Es geht dabei um das Produkt von Transpositionen.

Zum Beispiel verstehe ich nicht wie

(1 2)(2 3) = (1 2 3)

ergibt oder wieso

(2 3)(1 2) = (1 3 2)

ist. Könntet ihr mir vielleicht erklären warum das so ist.

Vielen Dank schon im vorraus

Jessica.

        
Bezug
Produkt von Transpositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Sa 27.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Jessica,

zwei Sachen:

1) Was bedeutet die Zykelschreibweise, zum Beispiel (1 3)?

Es bedeutet: Die 1 geht nach 3 und die 3 nach 1.

Was bedeutet (1 3 2)? Es bedeutet: Die 1 geht nach 3, die 3 nach 2 und die 2 nach 1.

2) Wie ist das Produkt solcher in Zykelschreibweise formulierten Transpositionen zu lesen? Als Hintereinanderausführung der Transpositionen. Also:

(1 3) (2 3)

bedeutet: Erst wird die Transposition (2 3) ausgeführt und dann die Transposition (1 3).

So, nun müssen wir beides nur noch zusammenfügen und nähern uns der Lösung deines Problems.

Also:


> (1 2)(2 3) = (1 2 3)



Warum gilt das? Erst wird die Transposition (2 3) durchgeführt, d.h. die 2 geht auf die 3 und die 3 auf die 2. Dann wird die Transposition (1 2) durchgeführt, also: die 1 geht auf die 2 und dann die 2 auf die 1. Fügen wir das jetzt zusammen zu einer Permutation: Was passiert insgesamt mit der 1? Zuerst passiert mit der 1 gar nichts: Sie bleibt die 1. Dann geht die 1 auf die 2. Also geht insgesamt die 1 auf die 2. Was passiert mit der 2? Zuerst geht die 2 auf die 3. Im zweiten Schritt passiert mit der 3 dann nichts mehr. Also geht insgesamt die 2 auf die 3. Was passiert insgesamt mit der 3? Im ersten Schritt geht die 3 auf die 2. Im zweiten Schritt geht dann die 2 auf die 1. Also geht die 3 insgesamt auf die 1.

Insgesamt passiert also das:

1 -> 2
2 -> 3
3 -> 1

und das stimmt in Zykelschreibweise genau mit (1 2 3) überein.


> (2 3)(1 2) = (1 3 2)



Warum gilt das? Erst wird die Transposition (1 2) durchgeführt, d.h. die 1 geht auf die 2 und die 2 auf die 1. Dann wird die Transposition (2 3) durchgeführt, also: die 2 geht auf die 3 und dann die 3 auf die 2. Fügen wir das jetzt zusammen zu einer Permutation: Was passiert insgesamt mit der 1? Zuerst geht die 1 auf die 2. Dann geht die 2 auf die 3. Also geht insgesamt die 1 auf die 3. Was passiert mit der 2? Zuerst geht die 2 auf die 1. Im zweiten Schritt passiert mit der 1 dann nichts mehr. Also geht insgesamt die 2 auf die 1. Was passiert insgesamt mit der 3? Im ersten Schritt passiert mit der 3 gar nichts, d.h. die 3 bleibt die 3. Im zweiten Schritt geht dann die 3 auf die 2. Also geht die 3 insgesamt auf die 2.

Insgesamt passiert also das:

1 -> 3
2 -> 1
3 -> 2

und das stimmt in Zykelschreibweise genau mit (1 3 2) überein.

Hast du das verstanden? Melde dich bitte wieder und frage gegebenenfalls bitte nach.

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Produkt von Transpositionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Sa 27.12.2003
Autor: Jessica

Danke Stefan

habe es nachvollziehen können. So schein es auch für mich klar.

Habe das mal an zwei weiteren Produkten ausprobiert.

Also wäre

(1 2)(2 3)(3 4) = (1 2 3 4),

da die 1 insgesamt auf die 2 abgebildet wird und die 2 auf die 3, die 3 auf die 4 und die 4 auf die 1.
D.h.
1 --> 2
2 --> 3
3 --> 4
4 --> 1

und

(3 4)(2 3)(1 2) = (1 4 3 2)

da,

1 --> 4
2 --> 1
3 --> 2
4 --> 3

abgebildet wird.

Wäre das jetzt so richtig?

Jessica.

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Bezug
Produkt von Transpositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Sa 27.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Jessica,

perfekt! [ok]

Alles Gute
Stefan


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Bezug
Produkt von Transpositionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 29.03.2009
Autor: fechterin

heyy also ich hab das irgendwie nich verstanden... redet ihr von dem tausch der  positionen oder der zahlen auf den positionen, ich komm irgendwie immer durcheinander und weiß nie welche reihenfolge ich nehmen muss

Bezug
                                        
Bezug
Produkt von Transpositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 So 29.03.2009
Autor: angela.h.b.


> heyy also ich hab das irgendwie nich verstanden... redet
> ihr von dem tausch der  positionen oder der zahlen auf den
> positionen, ich komm irgendwie immer durcheinander und weiß
> nie welche reihenfolge ich nehmen muss

Hallo,

vielleicht hilft es Dir, wenn Du Dir klarmachst, daß z.B. (1 2 3) für eine Abbildung steht.
Mir geht es nämlich auch so, daß ich Rauschen in den Ohren bekomme, wenn ich anfange, über wandernde oder nicht wandernde Positionen nachzudenken.

Sagen wir, wir bilden ab aus der Menge [mm] \{1,2, 3, 4, 5\} [/mm] in die Menge [mm] \{1,2, 3, 4, 5\}. [/mm]

Es steht dann (1 2 3) für die Abbildung [mm] f_{123}:\{1,2, 3, 4, 5\}\to \{1,2, 3, 4, 5\} [/mm]  mit:

[mm] 1\mapsto [/mm] 2
[mm] 2\mapsto [/mm] 3
[mm] 3\mapsto [/mm] 1
[mm] 4\mapsto [/mm] 4
[mm] 5\mapsto [/mm] 5

Nun schauen wir noch ( 2 5) an:

[mm] 1\mapsto [/mm] 1
[mm] 2\mapsto [/mm] 5
[mm] 3\mapsto [/mm] 3
[mm] 4\mapsto [/mm] 4
[mm] 5\mapsto [/mm] 2.

So, nun  die Verkettung (1 2 3) [mm] \circ [/mm] (2 5):

[mm] 1\mapsto [/mm] 1 [mm] \mapsto [/mm] 2
[mm] 2\mapsto [/mm] 5 [mm] \mapsto [/mm] 5
[mm] 3\mapsto [/mm] 3 [mm] \mapsto [/mm] 1
[mm] 4\mapsto [/mm] 4 [mm] \mapsto [/mm] 4
[mm] 5\mapsto [/mm] 2 [mm] \mapsto [/mm] 3.

Insgesamt also

[mm] 1\mapsto [/mm] 2
[mm] 2\mapsto [/mm] 5
[mm] 3\mapsto [/mm] 1
[mm] 4\mapsto [/mm] 4
[mm] 5\mapsto [/mm] 3,

als Zykel geschrieben (1 2 5 3).

Gruß v. Angela















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