Produkt zur Determinantenberechnung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
ich beiße mir mal wieder die Zähne an einer Aufgabe aus:
Seien [mm]x_1,\cdots,x_n \in K[/mm]. Zeige durch vollständige Induktion:
[mm]\vmat{ 1 & x_1 & x_{1}^2 & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ \vdots & & & & \\ 1 & x_n & x_{n}^2 & \cdots & x_{n}^{n-1} } = \produkt_{i
Ich habe schon den Induktionsanfang:
[mm]n=1[/mm]: [mm]|1| = 1[/mm] und [mm]\produkt_{i
Habe es sicherheitshalber noch für n=2 gemacht:
[mm]\vmat{1 & x_1 \\ 1 & x_2 } = x_2 - x_1[/mm] und [mm]\produkt_{i
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich weiter machen muss. Habe es schon mir der Laplace-Entwicklung versucht, bin aber kläglich gescheitert.
Viele Grüße
Frosty
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Frosty
> Hallo,
>
> ich beiße mir mal wieder die Zähne an einer Aufgabe aus:
>
> Seien [mm]x_1,\cdots,x_n \in K[/mm]. Zeige durch vollständige
> Induktion:
> [mm]\vmat{ 1 & x_1 & x_{1}^2 & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ \vdots & & & & \\ 1 & x_n & x_{n}^2 & \cdots & x_{n}^{n-1} } = \produkt_{i
>
>
> Ich habe schon den Induktionsanfang:
> [mm]n=1[/mm]: [mm]|1| = 1[/mm] und [mm]\produkt_{i
> kein [mm]i
> Habe es sicherheitshalber noch für n=2 gemacht:
> [mm]\vmat{1 & x_1 \\ 1 & x_2 } = x_2 - x_1[/mm] und
> [mm]\produkt_{i
> [mm]i
Versuch doch mal folgendes:
Entwickele die Determinante nach der letzten Zeile (vielleicht einmal mit $n=4$), wobei du aber die $(n-1) [mm] \times [/mm] (n-1)$-Unterdeterminanten nicht weiter auflöst.
Ein Blick auf das Hingeschriebene zeigt dir, dass du jetzt ein Polynom $(n-1)$-ten Grades in [mm] $x_{n}$ [/mm] vor dir hast. Dieses Polynom hat die Nullstellen [mm] $x_{1},.....,x_{n-1}$. [/mm] Das siehst du leicht ein, wenn du in der gegebenen Determinante das [mm] $x_{n}$ [/mm] nacheinander durch [mm] $x_{1},...,x_{n-1}$ [/mm] ersetzt. Dann hast du nämlich jeweils $2$ gleiche Zeilen in der Determinante, womit diese bekanntlich den Wert $0$ annimmt. 
Somit muss das Polynom die Form [mm] $c*(x_{n}-x_{1})*(x_{n}-x_{2})*** (x_{n}-x_{n-1})$ [/mm] haben. Der Koeffizient $c$ von [mm] $x_{n}^{n-1}$ [/mm] ist aber die mit [mm] $x_{1},...,x_{n-1}$ [/mm] gebildete Determinante. Das erkennst du durch Koeffizientenvergleich beim oben notierten Polynom $(n-1)$-ten Grades, das durch die Entwicklung nach der letzten Zeile entstanden ist.
Jetzt ergibt sich die Behauptung durch Induktion.
Uebrigens: diese Determinante hört auf den schönen Namen: Vandermondesche Determinante.
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Do 15.07.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Paulus,
danke für die schnelle Antwort. Leider konnte ich Deinen Erläuterungen mit dem Polynom nicht ganz folgen, da Du aber erwähnt hast, dass das die Vandermondsche Determinante ist, habe ich "https://matheraum.de/read?f=16&t=170&i=171" gefunden, wo marc die gleiche Aufgabe löst. Das ist doch in etwa das, was Du mir mit dem Polynom klarmachen wolltest?!? Hauptsache ich weiß jetzt, wie ich mir das vorstellen muss.
Dankeschön
Frosty
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Do 15.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Frosty
ja, das ist die gleiche Aufgabe.
Nur glaube ich, dass der durch mich (und Kowalsky, mein Algebra-Lehbuch) skizzierte Beweis viel eleganter und vor allem, wenn es einmal "Klick" gemacht hat, sehr einfach zu verstehen ist. 
Darum empfehle ich dir doch zu versuchen, diese Idee zu begreifen.
Ich helfe dir selbstverständlich dabei, es ist wirklich einfach!
Du musst dazu nur bekanntgeben, bis wohin du gekommen bist, und wo du nicht mehr weiter kommst, dann melde ich mich (oder jemand anders aus diesem Forum) bestimmt wieder zu Worte. Versprochen!
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Do 15.07.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Paulus,
leider fahre ich morgen früh (04:49) nach Prag und habe deshalb erst ein mal keine Zeit, um Deinen Beweis ordentlich durch zu gehen und zu verstehen. Aber das Semester ist ja bald vorbei und dann finde ich sicher ein mal Zeit und setze mich daran. Ich werde auch sicher noch ein paar Fragen an Dich haben. Versprochen!
Bis dann
Frosty
|
|
|
|
