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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 So 20.06.2010 | | Autor: | B-Ball |
| Aufgabe | Sei R ein Ring und [mm]\alpha[/mm],[mm]\beta[/mm] [mm]\subset[/mm]R. Zeigen Sie:
a) [mm]\alpha+\beta[/mm]:=[mm]\left\{\ x+y | x\in\alpha\ ,\ y\in\beta\right\}[/mm] ist ein Ideal
b) [mm]\alpha*\beta[/mm] :=[mm]\left\{\sum_{i=1}^{n} x_i * y_i\ | n\in\IN\ ,x_i\in\alpha\ ,y_i\in\beta\ fuer\ i = 1,2,...,n\right\}[/mm] ist ein Ideal mit [mm]\alpha*\beta\subset\alpha\cap\beta\subset\alpha\subset\alpha+\beta[/mm]. |
Hey!
Also Teilaufgabe a) habe ich gelöst!
Und bei Teil b) dachte ich eigentlich auch die Lösung zuhaben bis ich auf einmal festgestellt habe, dass ich da eine Folgerung verwendet habe, welche falsch ist! So und seitdem komm ich jetzt nicht mehr weiter.
ich bin bisher bei der Teilaufgabe b) wie folt vorgegangen:
Um zu zeigen, dass [mm]\alpha*\beta[/mm] (mit obiger Definition) ein Ideal ist wenn [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] selbst Ideale sind muss ich ja drei Dinge nachweisen:
1) [mm]0\in\alpha*\beta[/mm]
2) aus [mm]a,b\in\alpha*\beta[/mm] folgt [mm]a+b\in\alpha*\beta[/mm]
3) aus [mm]a\in\alpha*\beta[/mm] und [mm]r\in R[/mm] folgt [mm]r*a\in\alpha*\beta[/mm]
zu 1)
[mm]0\in\alpha[/mm] und [mm]0\in\beta[/mm] da [mm]\alpha,\beta[/mm] Ideale sind --> 0 * 0 = [mm]0\in\alpha*\beta[/mm]
zu 2)
Für [mm]a,b\in\alpha*\beta[/mm] gilt nach Def.:
a=[mm]sum_{i=1}^{n} x_i * y_i[/mm] mit [mm]x_i\in\alpha[/mm] und [mm]y_i\in\beta[/mm]
b=[mm]sum_{i=1}^{m} u_i * v_i[/mm] mit [mm]u_i\in\alpha[/mm] und [mm]v_i\in\beta[/mm]
d.h. a+b = [mm]x_1*y_1 + ... + x_n*y_n + u_1*v_1 + ... + u_m*v_m[/mm]
Jetzt kann ich ja leicht nachweisen, dass jedes der einzelnen Produkte aus der Summe im Schnitt von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] liegt.
Da der Schnitt zweier Ideale wiederum selbst ein Ideal ist gilt dies also auch für die gesamte Summe:
a+b = [mm]x_1*y_1 + ... + x_n*y_n + u_1*v_1 + ... + u_m*v_m\in\alpha\cap\beta[/mm]
Da ich ja nach der Aufgabe weiß, dass [mm]\alpha*\beta\subset\alpha\cap\beta[/mm] bin ich ja meinen Ziel schon deutlich näher, allerdings komm ich eben genau bei diesem Schritt nicht mehr weiter... Oder habe ich insgesamt total den falschen Ansatz??
wenn ich teil 2) so lösen kann kann cih das ja dann beinahe auf teil 3) übertragen und wäre damit fertig.
Meine Frage ist nun also wie ich die Elemente welche zwar im Schnitt aber nicht im Produkt der beiden Ideale liegen ausschließen kann, um dadurch also nur das Produkt zu erhalten??
Danke für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
B-Ball
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Huhu,
ich glaube du denkst zu kompliziert.
Du willst ja nur zeigen, dass $a + b [mm] \in \alpha [/mm] * [mm] \beta$. [/mm] Da brauchst du den Schnitt gar nicht für.
Wann ist ein Element in [mm] $\alpha [/mm] * [mm] \beta$? [/mm] Wenn es sich als endliche Summe von [mm] x_iy_i [/mm] darstellen lässt, mit [mm] $x_i \in \alpha, y_i \in \beta$.
[/mm]
Da du ja bereits festgestellt hat, dass
$a+b = [mm] x_1\cdot{}y_1 [/mm] + ... + [mm] x_n\cdot{}y_n [/mm] + [mm] u_1\cdot{}v_1 [/mm] + ... + [mm] u_m\cdot{}v_m$
[/mm]
gilt das offensichtlich für a+b.
D.h. $a+b [mm] \in \alpha*\beta$.
[/mm]
MFG;
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 So 20.06.2010 | | Autor: | B-Ball |
ach wie imme rzu kompliziert gedacht...
d.h. ich schreibe einfach:
Für [mm]a,b\in\alpha*\beta[/mm] gilt:
a+b = [mm]\sum_{i=1}^{n} x_i*y_i[/mm] + [mm]\sum_{i=1}^{m} u_i*v_i[/mm] = [mm]x_1*y_1 + ... + x_n*y_n + u_1*v_1 + ... + u_m*v_m[/mm] = [mm]x_1*y_1 + ... + x_n*y_n + x_{n+1}*y_{n+1} + ... + x_{n+m}*y_{n+m}[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^{n+m} x_i*y_i[/mm] mit [mm]x_i,u_i\in\alpha[/mm] und [mm]y_i,v_i\in\beta[/mm]
daraus folgt: [mm]a+b\in\alpha*\beta[/mm]
und noch eine andere frage: soll ich in dieser aufgabe dann also auch diese ganzen teilmengen folgerungen zeigen?!?
Vielen Dank!
Gruß
B-Ball
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 20.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
> ach wie imme rzu kompliziert gedacht...
>
> d.h. ich schreibe einfach:
> Für [mm]a,b\in\alpha*\beta[/mm] gilt:
>
> a+b = [mm]\sum_{i=1}^{n} x_i*y_i[/mm] + [mm]\sum_{i=1}^{m} u_i*v_i[/mm] =
> [mm]x_1*y_1 + ... + x_n*y_n + u_1*v_1 + ... + u_m*v_m[/mm] = [mm]x_1*y_1 + ... + x_n*y_n + x_{n+1}*y_{n+1} + ... + x_{n+m}*y_{n+m}[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^{n+m} x_i*y_i[/mm] mit [mm]x_i,u_i\in\alpha[/mm] und
> [mm]y_i,v_i\in\beta[/mm]
Naja, sauberer würd ich schreiben [mm]\sum_{i=1}^{n+m} x_i'*y_i'[/mm] mit [mm]x_i'\in\alpha[/mm] und [mm]y_i'\in\beta[/mm] und
[mm]x_i' = x_i \text{ für }i\le n, x_i' = u_{n+i}, i>n[/mm].
> daraus folgt: [mm]a+b\in\alpha*\beta[/mm]
>
> und noch eine andere frage: soll ich in dieser aufgabe dann
> also auch diese ganzen teilmengen folgerungen zeigen?!?
Ja, das wäre der zweite Teil der Aufgabe 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 20.06.2010 | | Autor: | skoopa |
Hey Ho!
Ich sitze gerade an der selben Aufgabe, allerdings sehe ich nicht so recht warum
[mm] a+b=\summe_{i=1}^{n+m}x_{i}y_{i} \in \alpha*\beta
[/mm]
gelten muss. Geht da der erste Teil der Aufgabe ein? Oder folgt das direkt daraus? Oder wie oder was oder wann?
Ich wäre euch für einen Gedanken anstoß dankbar.
Gruß!
skoopa
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Ok, zerlegen wir das mal in 2 Teile:
1.) Warum [mm] $a+b=\summe_{i=1}^{n+m}x_{i}y_{i} [/mm] $ gilt, ist dir klar?
2.) Warum [mm] \summe_{i=1}^{n+m}x_{i}y_{i} [/mm] in [mm] $\alpha*\beta$ [/mm] liegt, liegt einfach in der Definition von [mm] $\alpha*\beta$, [/mm] das ja alle endlichen Summen der Form [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} [/mm] mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] enthalt.
Insbesondere ist [mm] $n+m=n'\in\IN$, [/mm] d.h. man kann a+b schreiben als [mm] \summe_{i=1}^{n'}x_{i}y_{i} [/mm] und damit liegt es in [mm] $\alpha*\beta$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 So 20.06.2010 | | Autor: | skoopa |
Ou Maaaaaaann!!!! Ich könnt mir in den Hintern beißen...
Natürlich. Die Definition von [mm] \alpha*\beta [/mm] anschauen wäre ne gute Idee gewesen.
Vielen, vielen Dank!
Jetzt flutscht der Rest glaub ich.
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