Produkt zyklischer Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:34 Di 25.04.2006 | | Autor: | Sabay |
| Aufgabe | | Sei N die von [mm] n_1 [/mm] = (4,3,2,1), [mm] n_2 [/mm] = (1,2,3,4) und [mm] n_3 [/mm] = (-1,-1,-2,2) erzeugte Untergruppe von [mm]\IZ^4[/mm]. Man schreibe die Gruppe [mm]\IZ^4[/mm]/N als Produkt zyklischer Gruppen. |
Hallo,
ich finde bisher keinen brauchbaren Weg, das Produkt zyklischer Gruppen zu bilden. Bisher habe ich folgenden Ansatz:
N = <(4,3,2,1), (1,2,3,4), (-1,-1,-2,2)>
Es gilt die Untergruppenbeziehung: <(4,3,2,1), (1,2,3,4), (-1,-1,-2,2)> [mm]\subseteq \IZ^4[/mm] mit [mm]\IZ^4[/mm] abelsch, da direktes Produkt aus [mm]\IZ[/mm] (unendliche zyklische Gruppe).
Die Elemente aus N haben die Form a [mm]*[/mm] (4,3,2,1) + b [mm]*[/mm] (1,2,3,4) + c [mm]*[/mm] (-1,-1,-2,2) = (4a,3a,2a,a) + (b,2b,3b,4b) + (-c, -c, -2c, 2c) = (4a + b - c,3a + 2b - c,2a + 3b - 2c,a + 4b + 2c).
Elemente aus [mm]\IZ^4[/mm], die nicht in N liegen, bilden die Restklassen in [mm]\IZ^4[/mm]/N: ihre Anzahl ist die Ordnung von [mm]\IZ^4[/mm]/N. Ich komme aber einfach nicht auf die Ordnung und weiß auch nicht, wie ich das direkte Produkt zyklischer Gruppen bilden kann.
Ich hoffe sehr auf Eure Hilfe,
viele Grüße, Sabay
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Di 25.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabine!
Sagt dir ''Smithsche Normalform'' etwas? Schau mal in eurer Vorlesung nach, ob da sowas vorkam. Und schau dir mal den Beweis von der Existenz der Zerlegung in zylkische Gruppen an (beim Hauptsatz ueber abelsche Gruppen). Der wird naemlich normalerweise konstruktiv gefuehrt und enthaelt genau das, was du hier brauchst 
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Sabay |
Hallo Felix!
Danke für Deine schnelle Hilfe. Die ''Smithsche Normalform'' habe ich in der Uni nicht gelernt, auch in meinen Algebra-Büchern ist nichts darüber zu finden. Im Internet hab ich nachgesehen, aber da sind, soweit ich gesehen hab, einige zahlentheoretische Grundlagen nötig und ich habe bisher noch keine Zahlentheorie-Vorlesung gehört. Braucht man die ''Smithsche Normalform'' zur Lösung der Aufgabe auf jeden Fall?
Habe mir den Hauptsatz näher betrachtet: die zyklischen Gruppen, deren Produkt die Faktorgruppe [mm]\IZ^4[/mm]/N bilden, kann man ja erst ermitteln, wenn man die Ordnung kennt. [mm]\IZ^4[/mm] = [mm]<1>\times<1>\times<1>\times<1>[/mm], also endlich erzeugt.
Falls [mm]\IZ^4[/mm]/N unendliche Ordnung hat, ist sie bereits isomorph zu [mm]\IZ[/mm] (als einzigen Faktor des direkten Produkts).
Falls [mm]\IZ^4[/mm]/N endliche Ordnung hat, ist sie isomorph zu einem direkten Produkt aus zyklischen Gruppen mit Primzahlpotenzordnung. Das kann man aber nur entscheiden, wenn man die Ordnung der Faktorgruppe kennt.
Wie könnte man die Ordnung ermitteln? Lagrange geht nicht, da [mm]\IZ^4[/mm] und N unendliche Ordnungen haben. Weiß mir keinen Rat, wie man die Ordnung einer Faktorgruppe bestimmt, die bereits ein direktes Produkt, nämlich [mm]\IZ^4[/mm] als [mm]<1>\times<1>\times<1>\times<1>[/mm], enthält. In der Literatur unserer Bib habe ich dazu leider auch nichts finden können. Bitte helfen.
Viele Grüße,
Sabay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Sabay |
Hallo!
Ich meld mich noch mal, weil ich glaube, dass Ihr mich übersehen habt. Falls Ihr mir bei der Aufgabe helfen könnt, schreibt mir bitte Eure Hinweise so bald wie möglich. Ich brauche sie sehr dringend.
Vielen Dank dafür,
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabay!
Ich hatte in den letzten Tagen nicht viel Zeit, deswegen antworte ich erst jetzt.
> Danke für Deine schnelle Hilfe. Die ''Smithsche
> Normalform'' habe ich in der Uni nicht gelernt, auch in
> meinen Algebra-Büchern ist nichts darüber zu finden. Im
> Internet hab ich nachgesehen, aber da sind, soweit ich
> gesehen hab, einige zahlentheoretische Grundlagen nötig und
> ich habe bisher noch keine Zahlentheorie-Vorlesung gehört.
Die Smithsche Normalform braucht kein Zahlentheorie-Wissen, sie wird des oefteren in der Linearen Algebra II eingefuehrt oder in der Einfuehrung in die Algebra.
> Braucht man die ''Smithsche Normalform'' zur Lösung der
> Aufgabe auf jeden Fall?
Nein. Sie ist aber eine recht schoene Moeglichkeit: Wenn du einen surjektiven Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \Z^n \to [/mm] G$ auf deine abelsche Gruppe $G$ hast, dann ist $G [mm] \cong \Z^n/\ker\varphi$. [/mm] Wenn du jetzt ein Erzeugendensystem fuer [mm] $\ker\varphi$ [/mm] angeben kannst (als [mm] $\ell \times [/mm] n$-Matrix) und von dieser die Smithsche Normalform berechnest, kannst du die Struktur von $G$ nach dem Haupttheorem direkt ablesen.
> Habe mir den Hauptsatz näher betrachtet: die zyklischen
> Gruppen, deren Produkt die Faktorgruppe [mm]\IZ^4[/mm]/N bilden,
> kann man ja erst ermitteln, wenn man die Ordnung kennt.
Das stimmt. Schau dir mal den Beweis des Hauptsatzes an. Da wird irgendwie aus einem Erzeugendensystem des Kernes die Struktur berechnet. Das Erzeugendensystem hast du (das sind deine Vektoren), also fehlt nur noch die Berechnung.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabay!
> Vielen lieben Dank für Deine Hilfe! Ich hab gestern im
> Internet ein Skript der Uni Zürich gefunden
> (www.math.unizh.ch/ index.php?file&key1=3333&no_cache=1)
> , das den Beweis des Hauptsatzes und auch die
> Smith'sche Normalform schön erklärt.
Das Skript kommt mir bekannt vor :D
> Die Smithsche Normalform darf ich zur Lösung aber nicht
> verwenden, weil sie von meiner Algebra-Vorlesung her nicht
> bekannt ist- wir dürfen nur bekannte Verfahren anwenden.
> Den Beweis zum Hauptsatz hab ich genauestens unter die
> Lupe genommen, komm aber irgendwie nicht damit weiter, weil
> ich nicht weiß, wie ich mit Hilfe des Kernes (ohne
> Smithsche Normalform) die Ordnungen der einzelnen
> zyklischen Gruppen herausfinden kann und wie ich mit dem
> Erzeugendensystem des Kernes die Struktur berechnen könnte.
> Ich seh einfach nicht, was ich davon zur Lösung der Aufgabe
> verwenden muss, weil nichts im Artikel wirklich auf mein
> Problem zuzutreffen scheint.
Hast du denn verstanden wie du es mit der Smithschen Normalform machen kannst (im wesentlichen steht es in Beispiel 10 in dem Skript)?
> Was soll ich nur machen, ich komm einfach auf keinen grünen
> Zweig. Bitte hilf mir drauf.
Ich wuerde dir gerne helfen, allerdings weiss ich nicht wie ihr den Hauptsatz in eurer Vorlesung bewiesen habt, und kann ohne dir ohne dieses Wissen nicht sagen wie du weiter vorgehen sollst.
Kannst du den Beweis vielleicht einscannen, oder gibt es euer Skript als PDF irgendwo zum runterladen?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:44 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sabay |
Hallo Felix!
> Das Skript kommt mir bekannt vor :D
Ah, ich habs mir doch gleich gedacht, dass das Skript vielleicht von Dir sein könnte, da steht nämlich auch Felix F. drauf.
> Hast du denn verstanden wie du es mit der Smithschen
> Normalform machen kannst (im wesentlichen steht es in
> Beispiel 10 in dem Skript)?
Ich habe gesehen, dass die Smith-Form günstig ist, weil man die [mm]d_i[/mm] für [mm] \IZ [/mm]/<[mm]d_i[/mm]> aus der linken "Teildiagonale" der UMV-Matrix direkt ablesen kann.
Außerdem hab ich herausgefunden, dass mindestens ein Faktor im direkten Produkt [mm] \IZ [/mm] selbst ist wegen [mm] \IZ^n^-^t [/mm] und t=3... naja, aber die Smithsche Normalform kann ich nicht verwenden, die ist aus der Vorlesung völlig unbekannt.
> Ich wuerde dir gerne helfen, allerdings weiss ich nicht wie
> ihr den Hauptsatz in eurer Vorlesung bewiesen habt, und
> kann ohne dir ohne dieses Wissen nicht sagen wie du weiter
> vorgehen sollst.
>
> Kannst du den Beweis vielleicht einscannen, oder gibt es
> euer Skript als PDF irgendwo zum runterladen?
Das ist sehr lieb, vielen Dank für Dein Angebot!
Allerdings ist das Problem, dass unser Professor generell in allen seinen Fächern keine Skripten ausgibt, sondern wir Studenten nur unsere Mitschrift haben. Einen Beweis zum Hauptsatz haben wir aber nicht gemacht, sondern wissen nur dahingehend:
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu einem eindeutig bestimmten direkten Produkt von zyklischen Gruppen, die entweder Primzahlpotenzordnung haben oder die Gruppe [mm] \IZ [/mm] sind.
Für Gruppen gegebener endlicher Ordnung können wir die direkten Produkte formulieren. Direkte Produkte, die zyklische Faktoren unendlicher Ordnung haben, haben wir nicht näher betrachtet (außer [mm] \IZ [/mm]/<n>).
Wie könnte man die Aufgabe auf möglichst einfache Art lösen, wenn man die Smithsche Normalform nicht kennengelernt und allgemeine Grundlagen einer einsemestrigen Gesamt-Algebra-Vorlesung hat? Kannst Du mir bitte was dazu aufschreiben? Darüber wär ich sehr froh, denn ich hänge seit Tagen an der Aufgabe fest und brauche die Lösung ganz dringend.
Liebe Grüße, Sabay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 02.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sabay!
> > Hast du denn verstanden wie du es mit der Smithschen
> > Normalform machen kannst (im wesentlichen steht es in
> > Beispiel 10 in dem Skript)?
> Ich habe gesehen, dass die Smith-Form günstig ist, weil
> man die [mm]d_i[/mm] für [mm]\IZ [/mm]/<[mm]d_i[/mm]> aus der linken "Teildiagonale"
> der UMV-Matrix direkt ablesen kann.
> Außerdem hab ich herausgefunden, dass mindestens ein Faktor
> im direkten Produkt [mm]\IZ[/mm] selbst ist wegen [mm]\IZ^n^-^t[/mm] und
> t=3...
Genau!
> naja, aber die Smithsche Normalform kann ich nicht
> verwenden, die ist aus der Vorlesung völlig unbekannt.
Nun, du koenntest sie trotzdem verwenden und einfach die invertierbaren Matrizen $U, V$ angeben mit denen $U A V$ in Smith-Form ist ($A$ sei die Matrix der Erzeuger) und dann zeigen (so wie im Skript), dass du damit die Zerlegung bekommst... Ist nicht die feine Art, aber funktioniert
> > Ich wuerde dir gerne helfen, allerdings weiss ich nicht wie
> > ihr den Hauptsatz in eurer Vorlesung bewiesen habt, und
> > kann ohne dir ohne dieses Wissen nicht sagen wie du weiter
> > vorgehen sollst.
> >
> > Kannst du den Beweis vielleicht einscannen, oder gibt es
> > euer Skript als PDF irgendwo zum runterladen?
>
> Das ist sehr lieb, vielen Dank für Dein Angebot!
> Allerdings ist das Problem, dass unser Professor generell
> in allen seinen Fächern keine Skripten ausgibt, sondern wir
> Studenten nur unsere Mitschrift haben. Einen Beweis zum
> Hauptsatz haben wir aber nicht gemacht, sondern wissen nur
> dahingehend:
> Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu
> einem eindeutig bestimmten direkten Produkt von zyklischen
> Gruppen, die entweder Primzahlpotenzordnung haben oder die
> Gruppe [mm]\IZ[/mm] sind.
Das ist ziemlich wenig. Wenn ihr sonst nichts mehr dazu hattet dann ist die Aufgabe eindeutig voellig fehlgestellt: ihr koennt sie einfach nicht loesen mit den Mitteln aus der Vorlesung.
> Für Gruppen gegebener endlicher Ordnung können wir die
> direkten Produkte formulieren. Direkte Produkte, die
> zyklische Faktoren unendlicher Ordnung haben, haben wir
> nicht näher betrachtet (außer [mm]\IZ [/mm]/<n>).
Das ist auch recht arm, wenn dann ploetzlich so eine Aufgabe verlangt wird.
> Wie könnte man die Aufgabe auf möglichst einfache Art
> lösen, wenn man die Smithsche Normalform nicht
> kennengelernt und allgemeine Grundlagen einer
> einsemestrigen Gesamt-Algebra-Vorlesung hat? Kannst Du mir
> bitte was dazu aufschreiben? Darüber wär ich sehr froh,
> denn ich hänge seit Tagen an der Aufgabe fest und brauche
> die Lösung ganz dringend.
Eine `elementarere' Loesung als via Smith-Form kenne ich nicht. Nicht, ohne das man spezielle Eigenschaften der Gruppe ausnutzt die man irgendwoher kennt (und solche sehe ich bei der Aufgabe nicht). Ich wuerde es einfach trotzdem per Smith-Form machen, das Ergebnis inkl. Transformationsmatrizen angeben und alles was ihr nicht als Ergebnis in der VL habt und was du brauchst selber zu beweisen... Auch wenn das bloed ist.
Oder einfach die Aufgabe zu boykottieren. Das wuerde ich zumindest an deiner Stelle schon aus Prinzip machen, wenn solche unloesbaren Aufgaben drankommen :)
Tut mir leid das ich dir sonst nichts erzaehlen kann...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 04.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Sa 06.08.2011 | | Autor: | flipflop |
Heyho,
ich bin gerade mit einem ähnlichen Problem beschäftigt...
> Ich hab gestern im
> Internet ein Skript der Uni Zürich gefunden
> (www.math.unizh.ch/ index.php?file&key1=3333&no_cache=1)
> , das den Beweis des Hauptsatzes und auch die
> Smith'sche Normalform schön erklärt.
Weiß jemand, ob das oben genannte Skript noch irgendwo zugänglich ist?
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Sa 06.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ich bin gerade mit einem ähnlichen Problem
> beschäftigt...
>
> > Ich hab gestern im
> > Internet ein Skript der Uni Zürich gefunden
> > (www.math.unizh.ch/ index.php?file&key1=3333&no_cache=1)
> > , das den Beweis des Hauptsatzes und auch die
> > Smith'sche Normalform schön erklärt.
>
> Weiß jemand, ob das oben genannte Skript noch irgendwo
> zugänglich ist?
du musst einfach das Leerzeichen aus dem Link oben entfernen (das zwischen / und index), dann funktioniert er immer noch.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:34 So 07.08.2011 | | Autor: | flipflop |
Vielen Dank!!!
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