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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Berechnen Sie :
[mm] \integral_{0}^{3}{x* (x-3)^5 dx} [/mm] |
Hallo,
Also, dank eurer Hilfe habe ich die Vorgehensweise bei der Produktintegration nun eigentlich verstanden.
Habe dennoch ein riesiges Problem bei dieser Aufgabe.
Also das Integral lautet ja :
[mm] \integral_{0}^{3}{x* (x-3)^5 dx}
[/mm]
u = x
u' = 1
v ' = [mm] (x-3)^5
[/mm]
v = [mm] \bruch{1}{6}*(x-3)^6
[/mm]
Laut Produktintegration wäre as dann ja wie folgt :
[ [mm] x*\bruch{1}{6}*(x-3)^6 [/mm] ] - [mm] \integral_{0}^{3}{1*\bruch{1}{6}*(x-3)^6 dx}
[/mm]
Ich mache das nun mal Schrittweise hoffe das ist Okay.
Zuerst berechne ich [ x * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (x-3)^6 [/mm] ] in den Grenzen von 0 und 3.
[ 3 * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (3-3)^6 [/mm] - 0 * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (0-3)^6 [/mm] ]
= 0
Ist das soweit richtig?
Müsste eigentlich 0 rauskommen wenn ich das richtig eingesetzt habe.
Also würde ich dann weiterrechnen :
0 - [mm] \integral_{0}^{3}{1* \bruch{1}{6} * (x-3)^6 dx} [/mm]
Aus dem Integral die Stammfunktion Bilden und diese in den Grenzen dann berechnen :
Stammfunktion = [mm] \bruch{1}{42} [/mm] * [mm] (x-3)^7 [/mm]
Diese nun in den Grenzen berechnet sieht so aus :
[mm] [\bruch{1}{42} [/mm] * [mm] (3-3)^7 [/mm] - [mm] \bruch{1}{42} [/mm] * [mm] (0-3)^7 [/mm] ] = 52,0714...
So um nun das Gesamte Integral zu berechnen mache ich folgendes :
0 - 52,0714...
= - 52,0714...
Da es ein Flächeninhalt sein soll muss ich Betragsstriche nehmen und es käme dann raus :
52,0714... FE
Richtig?
Wäre super wenn ihr mir hier noch einmal helfen könntet.
Vielen Dank.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mo 05.03.2007 | | Autor: | ccatt |
Hallo,
ich hab nicht alles genau nachgerechnet, aber meiner Meinung nach ist dein Ergebnis korrekt.
Du kannst dein Ergebnis allerdings auch als Bruch schreiben.
[mm]= \bruch{729}{14} FE= 52 \bruch{1}{14} FE[/mm]
ccatt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Bestimmen Sie durch 2malige Anwendung der Produktintegration :
[mm] \integral_{0}^{2,5}{x^2* (2x-5)^4 dx} [/mm] |
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Bei der Aufgabe bin ich mir auch wieder total unsicher.
Habe irgendwie ein komisches Ergebnis raus,
weiß aber nicht was ich falsch gemacht haben könnte.
Wäre lieb wenn ihr das mal überprüfen könntet.
[mm] \integral_{0}^{2,5}{x^2* (2x-5)^4 dx}
[/mm]
Also erstmal habe ich u und v bestimmt.
u = [mm] x^2
[/mm]
u ' = 2x
v ' = [mm] (2x-5)^4
[/mm]
v = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] (2x-5)^5
[/mm]
Erste Produktintegration :
[mm] [x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] (2x-5)^5] [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2,5}{2x* \bruch{1}{5} * (2x-5)^5 dx}
[/mm]
Ich teile das erstmal wieder auf.
Wenn ich [mm] [x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] (2x-5)^5] [/mm] in den angegebenen Grenzen berechne kommt 0 raus also folgt dann :
0 - [mm] \integral_{0}^{2,5}{2x* \bruch{1}{5} * (2x-5)^5 dx}
[/mm]
u = 2x
U ' = 2
v' = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] (2x-5)^5
[/mm]
v = [mm] \bruch{1}{30} [/mm] * [mm] (2x-5)^6
[/mm]
2. Produktintegration :
0 - [ 2x * [mm] \bruch{1}{30} [/mm] * [mm] (2x-5)^6 [/mm] ] - [mm] \integral_{0}^{2,5}{2* \bruch{1}{30} * (2x-5)^6 dx}
[/mm]
Für den Teil [ 2x * [mm] \bruch{1}{30} [/mm] * [mm] (2x-5)^6 [/mm] ] in den angegebenen Grenzen kommt ebenfalls 0 raus.
Also geht es weiter nun brauche ich die Stammfunktion für das Restintegral :
0 - [ 2 * [mm] \bruch{1}{210} [/mm] * [mm] (2x-5)^7 [/mm] ]
Wenn ich das nun in den Angegebenen Grenzen ausrechne kommme ich auch - 744,0476...
Aber irgendwie kommt mir das Ergebnis merkwürdig vor.
:-(
Wäre lieb wenn mir jemand von euch helfen könnte.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
MfG
Kristof
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Hallo Kristof!
Du unterschlägst bei beiden Integrationsschritten jeweils, dass in der Klammer [mm] $(\red{2}x-5)^4$ [/mm] bzw. [mm] $(\red{2}x-5)^5$ [/mm] steht.
Die Stammfunktion zu $v' \ = \ [mm] (\red{2}x-5)^4$ [/mm] lautet $v \ = \ [mm] \bruch{1}{5}*(2x-5)^5*\red{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{10}*(2x-5)^5$
[/mm]
Vielleicht wird es Dir etwas klarer, wenn Du die zu integrierende Funktion umschreibst zu:
[mm] $x^2*(2x-5)^4 [/mm] \ = \ [mm] x^2*\left[2*\left(x-\bruch{5}{2}\right)\right]^4 [/mm] \ = \ [mm] x^2*2^4*\left(x-\bruch{5}{2}\right)^4 [/mm] \ = \ [mm] 16x^2*\left(x-\bruch{5}{2}\right)^4 [/mm] \ = \ [mm] 16x^2*\left(x-2.5\right)^4$
[/mm]
Ansonsten erhalte ich ganz am Ende (ohne Gewähr): [mm] $\integral_{0}^{2.5}{x^2*(2x-5)^4 \ dx} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 93.0$
Gruß vom
Roadrunner
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