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Hi,
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x^3-2x+1}{x+1} dx}
[/mm]
Irgendwie rechne ich da jetzt schon ewig dran rum, aber es führt zu nix. Als Methode hab ich die Produktintegration genommen. Problem ist halt immer zu "vermuten" was man als u(x) und was man als v'(x) nimmt. Lernt man wirklich nur durch Erfahrung abzuschätzen welches man nimmt oder gibt es da Anhaltspunkte dafür? Bei mir ist das immer ein 50/50 Spiel. Wenn ich falsch wähle, dann kostet das eben ewig Zeit in der Klausur. :-(
[mm] $u(x)=x^3-2x+1$
[/mm]
[mm] $u'(x)=3x^2-2$
[/mm]
[mm] $v'(x)=\bruch{1}{x+1}$
[/mm]
$v(x)=ln(x+1)$
Ich hab jetzt keine Lust die ganzen (falschen) Rechenwege abzutippen. Es gelingt mir einfach nicht das Integral aufzulösen. Es entsteht immer irgendwie ein Produkt in dem Restintegral der Produktintegration. Darin ist dann immer ein ln(), welches ich nicht weg bekomme. Selbst wenn ich diesen Teil dann nochmal integriere entsteht wieder ein ähnlicher Ausdruck. Wenn ich u(x) und v'(x) anders wähle, bekomme ich auch kein Ergebnis. Dort entsteht dann rechts immer ein ähnliches Restintegral wie das Ausgangsintegral.
Ich hab das Integral im Maxima berechnen lassen, es kommt ein schönes Ergebnis raus. Zudem hat die Aufgabe nicht mal so viele Punkte in der Klausur. Müsste also ohne große Umwege zu berechnen sein. Kann mir einer auf die Sprünge helfen?
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Di 12.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Bei gebrochenrationalen Funktionen ist im allgemeinen die Produktintegration der falsche Weg.
Wenn der Zählergrad größer-gleich ist als der Nennergrad (wie in unserem Fall), mußt Du zunächst eine  Polynomdivision durchführen.
Dabei entsteht dann (im allgemeinen) ein ganzrationaler Anteil und ein gebrochenrationaler Rest-Term.
Dadurch haben wir dann eine Darstellung der zu integrierenden Funktion, von der sich ziemlich leicht die Stammfunktion ermitteln läßt.
Führe doch mal eine entsprechende Polynomdivision "Zähler : Nenner" durch und teile uns Dein Ergebnis mit ...
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
> Führe doch mal eine entsprechende Polynomdivision "Zähler :
> Nenner" durch und teile uns Dein Ergebnis mit ...
[mm] $x^3-2x+1:(x+1)=x^2-x-1+\bruch{2}{x+1}$
[/mm]
[mm] $\integral_{}^{} {x^2-x-1+\bruch{2}{x+1} dx}=\bruch{2x^3-3x^2-6x+12*ln(x+1)}{6}+C$
[/mm]
Es ist eigentlich ganz einfach gewesen, man musste nur mal auf die Polynomendivision kommen. Das werde ich mir auf jeden Fall gut merken.
Wie ist das eigentlich? Kommt man mit der falschen Integrationsmethode nur schwer und langwierig, oder niemals ans Ziel? Gleiche Frage gilt auch für falsch gewähltes u(x) und v'(x) bei der Produktintegration.
Gruß und Danke
Andreas
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