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Produktionsentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:37 So 21.04.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Ein Unternehmen produziert 300 Einheiten eines Gutes im ersten Jahr und steigert die Produktion in jedem der folgenden Jahre um 60 Einheiten.

a) Wie viele Einheiten werden im zehnten Jahr produziert?
b) Wie groß ist die Gesamtsumme der Produktion nach zehn Jahren?


Moin Moin,

über den eigentlichen Lösungsweg hinaus, bin ich für ein paar weitere Anmerkungen zum einfachtsen Vorgehen dankbar.


Zunächst würde ich hier feststellen, dass es sich um eine arithmetische Reihe handelt.

[mm] a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + (n-1)*d

Oder fange ich normalerweise bei n=0 an ???


d ist hier mit 60 Einheiten, also d = 60, vorgegeben.


a)  [mm] a_{10} [/mm] = 300 +9*60 = 840   richtig?



b) Ich habe folgende Summenformeln gefunden...

Gehe ich hier generell von n=1  aus???

[mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (a_1 [/mm] +(i-1)*d)  

[mm] s_n [/mm] = [mm] n*a_1 [/mm] + [mm] \bruch{n*(n-1)}{2}*d [/mm]

[mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*(2a_1 [/mm] +(n-1)*d)

[mm] s_n [/mm] = [mm] n*\bruch{a_1+a_n}{2} [/mm]


[mm] s_n [/mm] = [mm] 10*\bruch{300+840}{2} [/mm] = 5700   richtig?


Wie gesagt, ich bin noch nicht klar, ob ich generell lieber mit n=0 oder n=1 starten soll???


Danke für eure Hilfe!

        
Bezug
Produktionsentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 So 21.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Zunächst würde ich hier feststellen, dass es sich um eine
> arithmetische Reihe handelt.

[ok]

>  
> [mm]a_n[/mm] = [mm]a_1[/mm] + (n-1)*d
>  
> Oder fange ich normalerweise bei n=0 an ???

Das haengt von deiner Modellierung und der Aufgabenstellung ab.
Du hast dich nun (nach deiner Bearbeitung) oben fuer den Faktor (n-1) entschieden.
Dann solltest du natuerlich bei n=1 anfangen und [mm] a_n [/mm] modelliert deine Produktion im Jahr n
Man haette auch sagen koennen  [mm]a_n=a_0+ n*d[/mm], dann sollte man mit n=0 beginnen und [mm] a_0 [/mm] waere die Produktion im 1. Jahr, d.h. allgemein [mm] a_n [/mm] waere die Produktion im (n+1)-ten Jahr.

> a)  [mm]a_{10}[/mm] = 300 +9*60 = 840   richtig?

korrekt

> b) Ich habe folgende Summenformeln gefunden...
>  
> Gehe ich hier generell von n=1  aus???

Gleiche Antwort wie oben: Das haengt von dir und der Aufgabenstellung ab.

> [mm]s_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (a_1[/mm] +(i-1)*d)  

Tippfehler deinerseits, es muss heissen: [mm]\summe_{i=1}^{n} (a_i +(i-1)*d)[/mm]


> [mm]s_n[/mm] = [mm]n*a_1[/mm] + [mm]\bruch{n*(n-1)}{2}*d[/mm]
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{2}*(2a_1[/mm] +(n-1)*d)
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]n*\bruch{a_1+a_n}{2}[/mm]
>
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]10*\bruch{300+840}{2}[/mm] = 5700   richtig?

Sieht gut aus.

Gruss,
Gono

Bezug
                
Bezug
Produktionsentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:16 So 21.04.2019
Autor: hase-hh


> Hiho,
>  
> > Zunächst würde ich hier feststellen, dass es sich um eine
> > arithmetische Reihe handelt.
>  [ok]
>  
> >  

> > [mm]a_n[/mm] = [mm]a_1[/mm] + (n-1)*d
>  >  
> > Oder fange ich normalerweise bei n=0 an ???
>  Das haengt von deiner Modellierung und der
> Aufgabenstellung ab.
>  Du hast dich nun (nach deiner Bearbeitung) oben fuer den
> Faktor (n-1) entschieden.
> Dann solltest du natuerlich bei n=1 anfangen und [mm]a_n[/mm]
> modelliert deine Produktion im Jahr n
>  Man haette auch sagen koennen  [mm]a_n=a_0+ n*d[/mm], dann sollte
> man mit n=0 beginnen und [mm]a_0[/mm] waere die Produktion im 1.
> Jahr, d.h. allgemein [mm]a_n[/mm] waere die Produktion im (n+1)-ten
> Jahr.
>  
> > a)  [mm]a_{10}[/mm] = 300 +9*60 = 840   richtig?
>  korrekt
>  
> > b) Ich habe folgende Summenformeln gefunden...
>  >  
> > Gehe ich hier generell von n=1  aus???
>  Gleiche Antwort wie oben: Das haengt von dir und der
> Aufgabenstellung ab.
>  
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (a_1[/mm] +(i-1)*d)  
> Tippfehler deinerseits, es muss heissen: [mm]\summe_{i=1}^{n} (a_i +(i-1)*d)[/mm]

Das ist nicht richtig. Ich beziehe mich auf

https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe

da steht unter Allgemeine Summenformel  

[mm]s_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (a_1[/mm] +(i-1)*d)

-> kein Tippfehler.

>
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]n*a_1[/mm] + [mm]\bruch{n*(n-1)}{2}*d[/mm]
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]\bruch{n}{2}*(2a_1[/mm] +(n-1)*d)
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]n*\bruch{a_1+a_n}{2}[/mm]
> >
> >
> > [mm]s_n[/mm] = [mm]10*\bruch{300+840}{2}[/mm] = 5700   richtig?
>  Sieht gut aus.
>  
> Gruss,
>  Gono

Danke.

Bezug
                        
Bezug
Produktionsentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:21 So 21.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das ist nicht richtig. Ich beziehe mich auf
>
> https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe
>  
> da steht unter Allgemeine Summenformel  
>
> [mm]s_n[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (a_1[/mm] +(i-1)*d)
>
> -> kein Tippfehler.

Du hast recht, ich hatte was anderes im Kopf.

Gruss,
Gono.

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