Produktionsfunktion Volumen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stabi |
Hi und guten Morgen,
wir haben kürzlich Produktionsfunktionen betrachtet und haben gleich eine Aufgabe bekommen, die wir ohne jeglichen Input errechnen sollen. Ich habe leider im Moment keine Ahnung wie ich anfangen soll.
Die Frage:
Ein Unternehmen möchte bei Konservendosen mit gegebenen Volumen möglichst wenig Blech verwenden. Wie muss das Verhältnis von Höhe h und Radius r sein, damit der Blechverbrauch minimal ist?
Ich habe mir erstmal die Formel für's Volumen rausgesucht.
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * h
Überlegung. Minimal ist eine Funktion immer dort, wo ein Extremwert auftritt und die Steigung = 0 ist. D.h. Ableitung Null setzen und das Minimum errechnen.
Hier haben wir es aber mit einer Produktionsfunktion zu tun. Also zwei Funktionsabhängige Werte: r und h
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo und auch guten Morgen Stabi!
Was bedeutet denn "minimaler Blechverbrauch" geometrisch?
Das entspricht doch der Oberfläche des Kreiszylinders:
$O(r,h) \ = \ [mm] 2\pi*r^2 [/mm] + [mm] 2\pi*r*h [/mm] \ = \ [mm] 2\pi [/mm] * r * (r+h)$
Und die Nebenbedingung mit dem (konstanten) Volumen hast du ja bereits aufgestellt: $V \ = \ [mm] \pi*r^2*h$ [/mm]
Diese Volumenformel nun mal z.B. nach $h \ = \ ...$ auflösen und in die Oberflächenformel einsetzen.
Dann hast Du nur noch eine Unbekannte $r_$ und kannst Deine Extremwertberechnung durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stabi |
Hey danke,
aber wenn ich die Volumenformel nach h auflöse, dann hab ich in der Oberflächenformel trotzdem noch zwei Unbekannte wenn ich für h die umgestellte Formel einsetze. Nämlich V....
h = [mm] \bruch{V}{\pi*r^2}
[/mm]
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Hallo Stabi!
Das Volumen $V_$ ist Dir zwar nicht zahlenmäßig bekannt, darf aber als fest angenommen werden, es ist also keine Variable als veränderliche Größe.
Du rechnest jetzt also weiter mit einem konstanten $V_$ als Parameter.
Und damit verbleibt dann als einzige Variable nur der Radius $r_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stabi |
Okay...glaub nun stoß ich gerade an die Grenzen meiner Mathematikkenntnisse, auch bezüglich des Ableitens.
Also
O(r,h) = 2* [mm] \pi*r^2 [/mm] + [mm] 2*\pi*r*h
[/mm]
O(r)= [mm] 2*\pi*r^2 [/mm] + [mm] 2*\pi* \bruch{V}{\pi*r^2}
[/mm]
[mm] O(r)=6,28r^2+6,28r*\bruch{V}{3,14r^2}
[/mm]
So, meiner Meinung nach Ableiten nach Produktregel:
O'(r) = 12,56r + [mm] 6,28*\bruch{V}{3,14r^2} [/mm] + 6,28r* Ableitung von dem Bruch
Nur da weiß ich nicht weiter bzw. ich bin mir nicht sicher ob die Ableitung überhaupt stimmt.
Und was passiert mit den Nennern in einem Bruch? [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] = [mm] x^{-2} [/mm] das weiß ich aber wie ist's dann bei [mm] \bruch{V}{3,14*r^2} [/mm] ist das [mm] \bruch{V*x^{-2}}{3,14}
[/mm]
Ist die Ableitung dann [mm] \bruch{-2V*x^{-3}}{3,14}?
[/mm]
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Hallo Stabi!
> [mm]O(r)=6,28r^2+6,28r*\bruch{V}{3,14r^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Besser noch genauer mit [mm] $\pi$ [/mm] schreiben. Außerdem kannst Du ja nun beim zweiten Term ein $r_$ sowie [mm] $\pi$ [/mm] kürzen zu:
[mm]O(r) \ = \ 2\pi*r^2+2*\bruch{V}{r} \ = \ 2\pi*r^2+2V*r^{-1}[/mm]
Und schon brauchst Du für die erste Ableitung die Produktregel nicht mehr und kannst ganz "normal" mit der  Potenzregel ableiten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stabi |
Hi Roadrunner,
also ich komme mit deiner Hilfe nun zu dieser Formel
[mm] 2*\pi*r^2+2V*r^-1
[/mm]
f'(x) = [mm] 4*\pi*r [/mm] - [mm] 2V*r^{-2} [/mm] = 2 [mm] (2*\pi*r-Vr^{-2}) [/mm]
Stimmt das so?
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Hallo Stabi!
Deine erste Ableitung ist richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Und nun die Nullstellen dieser Ableitung ermitteln ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stabi |
Hmmm.... schwer.... keine Ahnung...
wenn ich die Formel nun Null setze würde ich als erstes [mm] *r^2 [/mm] rechnen was dann
[mm] 4*\pi*r^{3} [/mm] - 2V
ergeben würde..... - wie errechne ich nun die Nullstellen? Das 2V irritiert mich.... - lass ich das einfach unbeachtet?
Wäre das so müsste so um die -2,325 rauskommen damit das ganze null ergibt. Polynomdivision damit um die anderen nullstellen rauszufinden mache ich erstmal nicht, weil ich nicht weiß ob's richtig ist....
Hier noch die zweite Ableitung
f''(x) = [mm] 4*\pi+4Vr^{-3}
[/mm]
Wäre sau nett wenn du nochmal nachschauen könntest.
Danke
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Hallo Stabi!
> wenn ich die Formel nun Null setze würde ich als erstes [mm]*r^2[/mm]
> rechnen
Richtig!
> [mm]4*\pi*r^{3}[/mm] - 2V
Fast, da fehlt doch noch das $= \ 0$ : [mm] $4\pi*r^3 [/mm] - 2V \ [mm] \red{= \ 0}$
[/mm]
Nun bring doch mal das $2*V_$ auf die rechte Seite und stelle dann nach $r_$ um.
> Das 2V irritiert mich.... - lass ich das einfach unbeachtet?
Das wird in der Lösung verbleiben. Schließlich ermitteln wir hier gerade eine allgemeine Lösung für beliebiges $V_$ ...
> Hier noch die zweite Ableitung
>
> f''(x) = [mm]4*\pi+4Vr^{-3}[/mm]
Stimmt!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Stabi |
Okay weiter geht's...
[mm] 4*\pi*r^3-2*V [/mm] = 0 | + 2V (Hier mal eine Frage... eigentlich müsste man doch dividieren da 2*V ja ein Podukt ist und keine Summe - da es in dem fall aber fest zusammengehört rechne ich mal +....hoffe das stimmt)
[mm] 4*\pi*r^3 [/mm] = 2V | : [mm] 4*\pi
[/mm]
[mm] r^3 [/mm] = [mm] \bruch{2V}{4*\pi}
[/mm]
r = [mm] \wurzel[3]{\bruch{2V}{4*\pi}}
[/mm]
Ist das so okay?
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Hallo Stabi!
> [mm]4*\pi*r^3-2*V[/mm] = 0 | + 2V (Hier mal eine Frage... eigentlich
> müsste man doch dividieren da 2*V ja ein Podukt ist und
> keine Summe - da es in dem fall aber fest zusammengehört
> rechne ich mal +....hoffe das stimmt)
Du hast alles richtig gemacht - auch richtig argumentiert!
> r = [mm]\wurzel[3]{\bruch{2V}{4*\pi}}[/mm]
Wenn Du jetzt noch durch $2_$ kürzt ... !
Nun müssen wir noch nachweisen, dass es sich wirklich um ein Minimum handelt (hinreichendes Kriterium mit der 2. Ableitung), sowie die zugehörige Höhe $h_$ und Oberfläche [mm] $O_{min}$ [/mm] berechnen ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 15.11.2005 | | Autor: | Stabi |
Mhm da weiß ich nun echt nicht mehr weiter....
kannst du mir evtl. einen kleinen Tipp geben? Ich weiß nun gar nicht mehr wie wir nun das Mininum bzw. die Minimale Kombination errechnen.
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Hallo Stabi!
Zunächst musst Du hier die 2. Ableitung berechnen und unseren errechneten Wert für $r_$ einsetzen. Hier sollte dann ein positiver Wert herauskommen, da wir ja ein Minimum suchen.
Die zugehörige minimale Oberfläche erhältst Du, indem Du den errechneten Wert von $r_$ in die Funktionsgleichung $O(r) \ = \ [mm] 2\pi*r^2 [/mm] + [mm] \bruch{2V}{r}$ [/mm] einsetzt.
Ebenso erhältst Du das zugehörige $h_$ durch diese Gleichung:
$h \ = \ [mm] \bruch{V}{\pi*r^2}$ [/mm] (siehe ganz zu Anfang unserer Diskussion).
Gruß vom
Roadrunner
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