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Produktionsmatrix aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 So 11.03.2012
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Gegeben ist die Inputmatrix [mm]a = \pmat{0,5 & 0,12 & 0,2\\ 0,4 & 0,5 & 0,1\\ 0 & 0,2 & 0,2}[/mm]

Durch die Einführung neuer Produktionstechniken ändern sich die Koeffizienten [mm]a_{12}[/mm] und [mm]a_{22}[/mm] der Inputmatrix A. Das Verhältnis der Produktion der Unternehmen W1, W2 und W3 beträgt dann [mm]x_{1} : x_{2} : x_{3}[/mm] = 5:6:2.
Die Nachfrage [mm]y = \pmat{75 & 70 & 20}^T[/mm] wird erwartet.

Ermitteln Sie die neue Inputmatrix und die Produktion der drei Unternehmen.




Ich habe die Gleichung [mm](E-A) * x = y[/mm] aufgestellt, daraus drei Gleichungen geformt und diese entsprechend aufgelöst. Leider nicht ganz erfolgreich:

[mm](E-A) * x = y[/mm] entspricht [mm]\pmat{0,5 & -a_{12} & -0,2\\ -0,4 & 1-a_{22} & -0,1\\ 0 & -0,2 & 0,8} * \vektor{5x_{1} \\ 6x_{1} \\ 2x_{1}} = \vektor{75 \\ 70 \\ 20}[/mm]

Bei (E-A) habe ich an den in der Aufgabenstellung angebenen stellen die Koeffizienten 0,12 und 0,5 durch Variablen gesetzt.

Die daraus resultierenden Gleichungen:

1. [mm]2,5x_{1} - a_{12}(6x_{1}) - 0,4x_{1} = 75[/mm]

2. [mm]-2x_{1} + (1 - a_{22}(6x_{1})) - 0,2x_{1} = 70[/mm]

3. [mm]-1,2x_{1} + 1,6x_{1} = 20[/mm]


Aus der 3. kann man direkt [mm]x_{1}[/mm] ermitteln: [mm]x_{1} = 50[/mm]


Mit diesem Wissen habe ich mich dann an die 1. Gleichung gewagt:

[mm]2,1*50 - 300a_{12} = 75[/mm]

[mm]- 300a_{12} = -30[/mm]

[mm]a_{12} = 0,1[/mm]


Und dann ging's an Gleichung Nummer 2:

[mm]-2,2*50 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]

[mm]-110 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]

[mm]1-300a_{22} = 180[/mm]

[mm]-300a_{22} = 179[/mm]


Und hier wird ziemlich offensichtlich, dass da etwas nicht passt: Der neue Koeffizient für [mm]a_{22}[/mm] kann nicht negativ sein.

Wo liegt mein Fehler? Ist evtl. schon der Ansatz falsch?


        
Bezug
Produktionsmatrix aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 11.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Apfelchips,



> Gegeben ist die Inputmatrix [mm]a = \pmat{0,5 & 0,12 & 0,2\\ 0,4 & 0,5 & 0,1\\ 0 & 0,2 & 0,2}[/mm]
>  
> Durch die Einführung neuer Produktionstechniken ändern
> sich die Koeffizienten [mm]a_{12}[/mm] und [mm]a_{22}[/mm] der Inputmatrix A.
> Das Verhältnis der Produktion der Unternehmen W1, W2 und
> W3 beträgt dann [mm]x_{1} : x_{2} : x_{3}[/mm] = 5:6:2.
>  Die Nachfrage [mm]y = \pmat{75 & 70 & 20}^T[/mm] wird erwartet.
>  
> Ermitteln Sie die neue Inputmatrix und die Produktion der
> drei Unternehmen.
>  
>
>
> Ich habe die Gleichung [mm](E-A) * x = y[/mm] aufgestellt, daraus
> drei Gleichungen geformt und diese entsprechend aufgelöst.
> Leider nicht ganz erfolgreich:
>  
> [mm](E-A) * x = y[/mm] entspricht [mm]\pmat{0,5 & -a_{12} & -0,2\\ -0,4 & 1-a_{22} & -0,1\\ 0 & -0,2 & 0,8} * \vektor{5x_{1} \\ 6x_{1} \\ 2x_{1}} = \vektor{75 \\ 70 \\ 20}[/mm]
>  
> Bei (E-A) habe ich an den in der Aufgabenstellung angebenen
> stellen die Koeffizienten 0,12 und 0,5 durch Variablen
> gesetzt.
>  
> Die daraus resultierenden Gleichungen:
>  
> 1. [mm]2,5x_{1} - a_{12}(6x_{1}) - 0,4x_{1} = 75[/mm]
>  
> 2. [mm]-2x_{1} + (1 - a_{22}(6x_{1})) - 0,2x_{1} = 70[/mm]
>  


Die Gleichung muss doch so lauten:

[mm]-2x_{1} + \left(1 - a_{22}\right\blue{)}6x_{1} - 0,2x_{1} = 70[/mm]

Dann bekommst Du ein positives [mm]a_{22}[/mm].


> 3. [mm]-1,2x_{1} + 1,6x_{1} = 20[/mm]
>  
>
> Aus der 3. kann man direkt [mm]x_{1}[/mm] ermitteln: [mm]x_{1} = 50[/mm]
>  
>
> Mit diesem Wissen habe ich mich dann an die 1. Gleichung
> gewagt:
>  
> [mm]2,1*50 - 300a_{12} = 75[/mm]
>  
> [mm]- 300a_{12} = -30[/mm]
>  
> [mm]a_{12} = 0,1[/mm]
>  
>
> Und dann ging's an Gleichung Nummer 2:
>  
> [mm]-2,2*50 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]
>  
> [mm]-110 + (1-300a_{22}) = 70[/mm]
>  
> [mm]1-300a_{22} = 180[/mm]
>  
> [mm]-300a_{22} = 179[/mm]
>  
>
> Und hier wird ziemlich offensichtlich, dass da etwas nicht
> passt: Der neue Koeffizient für [mm]a_{22}[/mm] kann nicht negativ
> sein.
>  
> Wo liegt mein Fehler? Ist evtl. schon der Ansatz falsch?

>


Der Ansatz ist richtig.


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Produktionsmatrix aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 So 11.03.2012
Autor: Apfelchips


Super, ich danke Dir. Ein Flüchtigkeitsfehler …

[mm]a_{22}[/mm] ist somit 0,4 und damit lautet die vollständige Lösung für die Aufgabe:

[mm]A = \pmat{0,5 & \green{0,1} & 0,2\\ 0,4 & \green{0,4} & 0,1\\ 0 & 0,2 & 0,2}[/mm]

[mm]x = \vektor{250 \\ 300 \\ 100}[/mm]

Alles richtig (oder?)

Bezug
                        
Bezug
Produktionsmatrix aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 So 11.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Apfelchips,

>
> Super, ich danke Dir. Ein Flüchtigkeitsfehler …
>  
> [mm]a_{22}[/mm] ist somit 0,4 und damit lautet die vollständige
> Lösung für die Aufgabe:
>  
> [mm]A = \pmat{0,5 & \green{0,1} & 0,2\\ 0,4 & \green{0,4} & 0,1\\ 0 & 0,2 & 0,2}[/mm]
>  
> [mm]x = \vektor{250 \\ 300 \\ 100}[/mm]
>  
> Alles richtig (oder?)


Ja, alles richtig. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Produktionsmatrix aufstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 So 11.03.2012
Autor: Apfelchips

Alles klar.
Nochmals besten Dank für Deine Hilfe!

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