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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Produktmass
Produktmass < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Produktmass: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 Fr 04.07.2014
Autor: derriemann

Aufgabe
Seien nun [mm] (\Omega_{1},\mathcal{A}_{1},\mu_{1}) [/mm] und [mm] (\Omega_{2},\mathcal{A}_{2},\mu_{2}) [/mm] zwei Maßraeume. Man möchte dann auf der [mm] Produkt-\sigma-Algebra \mathcal{A}=\sigma(\mathcal{A}_{1} \times \mathcal{A}_{2}) [/mm] ein Maß [mm] \mu [/mm] definieren, welches [mm] \mu(A_{1} \times A_{2})=\mu_{1}(A_{1})\mu_{2}(A_{2}) [/mm] erfüllt für alle [mm] A_{1} \in \mathal{A}_{1}, A_{2} \in \mathcal{A}_{2}. [/mm] Ein Maß [mm] \mu [/mm] das diese Bedingung erfüllt, wird dann Produktmaß genannt. Um zu zeigen, dass [mm] \mu [/mm] ein Maß ist, kann man es etwa als Integral auf [mm] \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2} [/mm] darstellen: [mm] \forall A_{1} \times A_{2} \in \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2} [/mm]
[mm] \mu(A_{1}\times A_{2})=\integral_{\Omega_{1}}\mu_{2}(\{x_{2} \in \Omega_{1}|(x_{1},x_{2}) \in A_{1}\times A_{2}\})d\mu_{1}(x_{1}) [/mm]

Hi,

habe auf Wikipedia obigen Text gelesen, versteh ihn aber nicht so ganz
Ich verstehe nicht, warum ein Maß jetzt auch als Integral geschrieben werden kann. Das haben wir doch ansonsten nur für Erwartungswerte gemacht. Würde mich über eine Erklärung freuen :-)

LG

        
Bezug
Produktmass: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Fr 04.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich verstehe nicht, warum ein Maß jetzt auch als Integral geschrieben werden kann.

wie ist denn das Lebesgue-Integral bezüglich eines Maßes definiert?
Mach dir klar, dass dort immer gilt:

[mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \integral_A [/mm] 1 [mm] d\mu [/mm] = [mm] \integral_\Omega 1_A d\mu$ [/mm] und schon hast du deine Integralschreibweise.

edit: Und deine Gleichheit müsste heißen:
$ [mm] \mu(A_{1}\times A_{2})=\integral_{\Omega_{1}}\mu_{2}(\{x_{2} \in \Omega_{2}|(x_{1},x_{2}) \in A_{1}\times A_{2}\})d\mu_{1}(x_{1}) [/mm] $

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Produktmass: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Fr 04.07.2014
Autor: derriemann

Ah, Ok, ich kannte die Schreibweise für das Maß nicht. Wieder was dazu gelernt, danke! ;-)

Bezug
                        
Bezug
Produktmass: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Fr 04.07.2014
Autor: fred97


> Ah, Ok, ich kannte die Schreibweise für das Maß nicht.
> Wieder was dazu gelernt, danke! ;-)


(*)  $ [mm] \mu(A) [/mm] = [mm] \integral_A [/mm] 1 [mm] d\mu [/mm] = [mm] \integral_\Omega 1_A d\mu [/mm] $

Ist doch keine Schreibweise !!

Erst lernt man, was ein Maß [mm] \mu [/mm] ist, damit definiert man dann das Integral (bezüglich [mm] \mu). [/mm]

Das macht man in der üblichen Weise: erst für messbare Treppenfunktionen, dann für messbare nichtnegative Funktionen und dann für beliebige messbare Funktionen.

Bei der Def. des Integrals  für messbare Treppenfunktionen ist (*) der  Grundbaustein !


Genauer: [mm] \integral_\Omega 1_A d\mu:=\mu(A). [/mm]

Das hattet Ihr sicher !

FRED


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