Produktmetrik ist Lipschitz-s. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (X,d) ein metr. Raum.
Die metrik d ist als Funktion d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \rightarrow \IR [/mm] Lipschitz-stetig. |
Hallo,
Mein Problem ist, ich verstehe nicht wie dies eine Abbildung sein soll.
Was soll ich zeigen:
Seien a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] D.g.:
|d(a,b)-d(c,d)| [mm] \le [/mm] p((a,b),(c,d))
wobei p die Produktmetrik ist. also p((a,b),(c,d))=max [mm] \{d(a,b),d(c,d)\}
[/mm]
Ist das so korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 15.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (X,d) ein metr. Raum.
>
> Die metrik d ist als Funktion d: X [mm]\times[/mm] X [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> Lipschitz-stetig.
> Hallo,
> Mein Problem ist, ich verstehe nicht wie dies eine
> Abbildung sein soll.
warum nicht? Es ist doch [mm] $d(x,y)\,$ [/mm] der Funktionswert, der den Abstand zwischen $x,y [mm] \in [/mm] X$ wiedergibt. Wenn man das ganz penibel schreibt, müßte man sogar definieren, dass man für
$$d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$$
[/mm]
nun für $x,y [mm] \in [/mm] X$ [mm] ($\gdw [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$) schreibt:
[mm] $$d(x,y):=d((x,y))\,.$$
[/mm]
(Du kennst aber auch schon ein Beispiel:
Sei [mm] $X=\IR$ [/mm] und [mm] $d\,$ [/mm] die vom Betrag induzierte Metrik. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten $x=2 [mm] \in \IR$ [/mm] und $y=7 [mm] \in \IR$ [/mm] gegeben durch
[mm] $$d(2,7)=|2-7|=5\,.$$
[/mm]
Anders formuliert:
[mm] $d\,$ [/mm] hat an der Stelle $(2,7) [mm] \in \IR^2=\IR \times \IR$ [/mm] den Funktionswert [mm] $d((2,7))=|2-7|=5\,.$)
[/mm]
Also strenggenommen ist $d(x,y)$ definitionsgemäß die "Auswertung der Funktion [mm] $d\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $(x,y)\,$ ($\in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$)".
Aber da es geometrisch so schön deutbar ist, sagt man anstatt [mm] "$d\,$ [/mm] hat an der Stelle $(x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ den Funktionswert $d((x,y))$" bzw. [mm] "$d\,$ [/mm] hat an der Stelle $(x,y) [mm] \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ den Funktionswert [mm] $d(x,y)\,.$" [/mm] meist eher:
"Der Abstand zwischen $x [mm] \in [/mm] X$ und $y [mm] \in [/mm] X$ beträgt (bzgl. der Metrik [mm] $d\,$) $d((x,y))\,.$"
[/mm]
bzw.
"Der Abstand zwischen $x [mm] \in [/mm] X$ und $y [mm] \in [/mm] X$ beträgt (bzgl. der Metrik [mm] $d\,$) $d(x,y)\,.$" [/mm]
> Was soll ich zeigen:
>
> Seien a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] D.g.:
>
> |d(a,b)-d(c,d)| [mm]\le[/mm] p((a,b),(c,d))
> wobei p die Produktmetrik ist. also p((a,b),(c,d))=max
> [mm]\{d(a,b),d(c,d)\}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Ja, bis auf zwei Kleinigkeiten (Edit: drei Kleinigkeiten, siehe [mm] $(\*)$ [/mm] unten):
1.) Es muss $a,b,c,d [mm] \blue{\in X}$ [/mm] lauten, anstatt [mm] $\red{\IR}$. [/mm]
2.) Es fehlt die Lipschitzkonstante.
Nochmal zur Erklärung:
Zunächst einmal bedeutet die Frage, ob [mm] $d\,$ [/mm] Lipschitz ist, nichts anderes, als ob ein $L > [mm] 0\,$ [/mm] so existiert, dass man für alle $(x,y), [mm] (\tilde{x},\tilde{y}) \in [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ folgern kann:
[mm] $$|d((x,y))-d((\tilde{x},\tilde{y}))| \le L*{Abstand\;\; zwischen \;\;}(x,y) \text{ und }(\tilde{x},\tilde{y})\,.$$
[/mm]
Dafür braucht man natürlich eine Metrik auf $X [mm] \times [/mm] X$, damit man den [mm] ${Abstand\; zwischen\; }(x,y) \text{ und }(\tilde{x},\tilde{y})$ [/mm] auch berechnen kann, und da nimmt man halt die Produktmetrik [mm] $p((x,y),(\tilde{x},\tilde{y})):=\text{max}\{d(x,\tilde{x}),d(y,\tilde{y})\}$ [/mm] (beachte auch, dass hier zweimal [mm] $d\,$ [/mm] steht, weil [mm] $p\,$ [/mm] hier ja auf $X [mm] \times [/mm] X$ definiert ist und nicht, wie es allgemeiner üblich wäre, auf $X [mm] \times [/mm] Y$ mit einem weiteren metrischen Raum [mm] $(Y,e)\,$).
[/mm]
Wenn Du nun bei mir $x [mm] \leftrightarrow a$, $y \leftrightarrow y$, $\tilde{x} \leftrightarrow c$ und $\tilde{y} \leftrightarrow d$ ersetzt und anstatt $d((a,b))\,$ dann $d(a,b)\,$ schreibst (etc.), erhälst Du genau das, was Du geschrieben hast (bis darauf, dass Du fälschlicherweise $a,b,c,d \in \red{\IR}$ anstatt $a,b,c,d \in \blue{X}$ geschrieben hast und die Lipschitzkonstante vergessen hast):
Die Frage ist: Gibt es (ein) $L > 0\,$ so, dass aus $a,b,c,d \in X$ stets folgt
$$|d(a,b)-d(c,d)| \le L*p((a,b),(c,d))\,.$$
Bzw., wenn Du zeigen sollst, dass $d\,$ Lipschitz ist, dann ist zu zeigen:
Es gibt (ein) $L > 0\,$ so, dass aus $a,b,c,d \in X$ stets folgt
$$|d(a,b)-d(c,d)| \le L*p((a,b),(c,d))\,.$$
P.S.:
$(\*)$ [red]Mir war eben noch ein Fehler bei Dir entgangen. Und zwar ist $p((a,b),(c,d)):=\text{max}\{d(a,\blue{c}),d(\blue{b},d)\}\,.$ Bei Dir steht fälschlicherweise $b\,$ anstatt $\blue{c}$ und $c$ anstatt $\blue{b}\,.$[/red]
Beste Grüße,
Marcel
[/mm]
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vielen vielen Dank für diese gute Erklärung!
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