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Forum "Differenzialrechnung" - Produktregel
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Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Mi 10.10.2007
Autor: espritgirl

Aufgabe
a) f(x) = [mm] x^{2}*sinx [/mm]
b) f(x) = [mm] x*\wurzel{x} [/mm]
c) f(x) = [mm] \bruch{1}{x}*cosx [/mm]
d) f(x) = [mm] (x^{2}+1)*(3x-7) [/mm]
e) f(x) = [mm] (8x^{2}-5x+7)*(4x^{7}-3x^{4}+2x) [/mm]

Hallo Zusammen [winken],

Wir haben heute dir Produktregel eingeführt und ich habe ein paar Probleme beim ausrechnen:

a) f(x) = [mm] \underbrace{x^{2}}_{=u(x)} [/mm] * [mm] \underbrace{sin x}_{=v(x)} [/mm]
  f'(x) = 2x*sinx + sinx*cosx
-> Kann man hier noch etwas zusammenfassen?

b) f(x) =  [mm] \underbrace{x}_{=u(x)} [/mm] * [mm] \underbrace{\wurzel{x}}_{=v(x)} [/mm]
  f'(x) = [mm] 1*\wurzel{x}+x *\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm]
        = [mm] \wurzel{x}+\bruch{1}{2\wurzel{x}}*x [/mm]

c) f(x) = [mm] \underbrace{\bruch{1}{x}}_{=u(x)}*\underbrace{cosx}_{=v(x)} [/mm]
  
  f'(x) = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{x}}*cosx [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}*(-sinx) [/mm]

d) f(x) = [mm] \underbrace{(x^{2}+1)}_{=u(x)}*\underbrace{(3x-7)}_{=v(x)} [/mm]
  f'(x) = 2x/*3x-7 + [mm] (x^{2}+1)*3 [/mm]
        = 5x-7 + [mm] 3x^{3}+3 [/mm]
        = [mm] [green]3x^{2}+5x-4[/green] [/mm]

Stimmt diese Rechnung? Und kann ich von [mm] 3x^{2}+5x-4 [/mm] einfach die 2. Ableitung bilden, also

                  f''(x)=6x+5?

e) f(x)= [mm] \underbrace{(8x^{2}-5x+7)}_{=u(x)}*\underbrace{(4x^{7}-3x^{4}-2x)}_{=v(x)} [/mm]

  f'(x) = [mm] (16x-5)*(4x^{7}-3x^{4}-2x) [/mm] + [mm] (8x^{2}-5x+7)*(28x^{6}-12x+2) [/mm]

Stimmt das so? Wenn ja, wie muss ich dann die Klammern auflösen [verwirrt].


Bin über eure Hilfe dankbar ;-)


Liebe Grüße,

Sarah :-)

        
Bezug
Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mi 10.10.2007
Autor: Teufel

Hi!

a) f'(x)=2x*sinx+x²*cosx (einfach nochmal nachrechnen!)

b) stimmt!

[mm] c)\bruch{1}{x} [/mm] abgeleitet ist etwas anderes! [mm] \bruch{1}{x}=x^{-1}, [/mm] das kannst du mit der Potenzregel ableiten! Der rest stimmt, nur dass du das - vor dem sinx direkt vorziehen kannst (es ersetzt das + dann)

d) f'(x)=2x(3x-7)+(x²+1)*3
Du hast das irgendwie ohne Klammern machen wollen... probier mal von meiner Ausführung jetzt die Klammern aufzulösen!
Und ja, wenn die 1. Ableitung dann richtig ist, kannst du die 2. Ableitung auch einfach bilden.

e) Hier sollte die letzte Klammer [mm] (28x^6-12x³-2) [/mm] lauten! oder [mm] (28x^6-12x³+2)... [/mm] weil du 2 verschiedene Sachen da zu stehen hast ;) guck da einfach nochmal nach, wichtig ist aber auf alle Fälle die ³.

Und wenn du 2 Klammern ausmultiplizieren willst, musst du jeen Summanden in der einen Klammer mit jedem Summanden der anderen Klammer multiplizieren.
(a+b)*(c+d+e)=ac+ad+ae+bc+bd+be
(a+b+c)*(d+e+f)=ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf
Prinzip klar?


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Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mi 10.10.2007
Autor: espritgirl

Hallo Teufel [winken],

> a) f'(x)=2x*sinx+x²*cosx (einfach nochmal nachrechnen!)

Habe ich, aber auh bei der 2. Rechnung kommt das Gleiche bei mir raus.
  

> b) stimmt!

Schön ;-)
  

> [mm]c)\bruch{1}{x}[/mm] abgeleitet ist etwas anderes!
> [mm]\bruch{1}{x}=x^{-1},[/mm] das kannst du mit der Potenzregel
> ableiten! Der rest stimmt, nur dass du das - vor dem sinx
> direkt vorziehen kannst (es ersetzt das + dann)

Wir hatten das damals so gemacht:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] st nichts anderes als [mm] x^{-1}, [/mm] wie du schon sagtest. Mithilfe der Potenzregel kommt dann da [mm] -x^{-2} [/mm] raus und das ist nichts anderes als [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}. [/mm] Bin gerade verwirrt!


> d) f'(x)=2x(3x-7)+(x²+1)*3
>  Du hast das irgendwie ohne Klammern machen wollen...
> probier mal von meiner Ausführung jetzt die Klammern
> aufzulösen!
>  Und ja, wenn die 1. Ableitung dann richtig ist, kannst du
> die 2. Ableitung auch einfach bilden.

Okay, mein Fehler. Im Buch steht, wie sollen ableiten, ohne die Klammern aufzulösen.

Stimmt das dann?

> e) Hier sollte die letzte Klammer [mm](28x^6-12x³-2)[/mm] lauten!
> oder [mm](28x^6-12x³+2)...[/mm] weil du 2 verschiedene Sachen da zu
> stehen hast ;) guck da einfach nochmal nach, wichtig ist
> aber auf alle Fälle die ³.

das + ist richtig ;-) Stimmt das dann?

> Und wenn du 2 Klammern ausmultiplizieren willst, musst du
> jeen Summanden in der einen Klammer mit jedem Summanden der
> anderen Klammer multiplizieren.
>  (a+b)*(c+d+e)=ac+ad+ae+bc+bd+be
>  (a+b+c)*(d+e+f)=ad+ae+af+bd+be+bf+cd+ce+cf
>  Prinzip klar?

Ja, vielen Dank... Manche Sachen muss ich wirklich wiederholen, bis ich die abrufen kann ;-)


Liebe Grüße,

Sarah :-)

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Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Mi 10.10.2007
Autor: Teufel

a) Der eine Faktor von f ist ja ein x² und der andere eine trigonometrische Funktion, also sinx.
In deiner Ableitung stehen aber im 2. Summanden plötzlich 2 trigonometrische Ausdrücke!

f(x)=x²*sinx
u=x²
v=sinx
u'=2x
v'=cosx

f'(x)=u'v+uv'
f'(x)=2x*sinx+x²*cosx

c) Genau, [mm] -x^{-2}. [/mm] Aber das ist nichts andere als [mm] -\bruch{1}{x²}! [/mm]
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}=\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] (was die Ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] wäre!)

d) Abgeleitet ist es ja in dem Fall ohne die Klammern aufzulösen. Nur nach dem Ableiten kannst du ja die Klammern auflösen, das ist ok.

e) Dann muss es am Ende der 2. Klammer also -12x³+2 heißen, das wäre richtig. Nicht die ³ vergessen!

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Produktregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Mi 10.10.2007
Autor: espritgirl

Hallo Teufel [winken],

Danke für deine Antwort, ich denke, dass ich jetzt alles verstanden habe.


LG

Sarah :-)

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Produktregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Mi 10.10.2007
Autor: Teufel

Ok, gut :) wenn nicht, dann frag einfach nochmal! Kein Problem.

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Produktregel: d+ e
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Mi 10.10.2007
Autor: espritgirl

Hallo [winken],

Ich habe die d und die e durch gerechnet und hoffe,jemand ist bereit mir diese zu kontrollieren.

[mm] f(x)=\underbrace{(x^{2}+1)}_{=u(x)}*\underbrace{(3x*-7)}_{=v(x)} [/mm]
f`(x)=2x*(3x-7) + [mm] (x^{2}+1)*3 [/mm]
     [mm] =6x^{2}-14x+3x^{2}+3 [/mm]
     [mm] =9x^{2}-14x-3 [/mm]

f``(x)=18x-14



[mm] f(x)=\underbrace{(8x^{2}-5x-7)}_{=u(x)}*\underbrace{(4x^{7}-3x^{4}+2x)}_{=v(x)} [/mm]
[mm] f`(x)=(16x-5)*(4x^{7}-3x^{4}+2x) [/mm] + [mm] (8x^{2}-5x+7)*(28x^{6}-12x^{3}+2) [/mm]
     [mm] =64x^{8}-48x^{5}+32x^{2}-20x^{7}+15x^{4}-10x+224x^{8}-96x+16x^{2}-140x^{5}+60x^{4}-10x+196x^{6}-84x^{3}+14 [/mm]
[mm] =288x^{8}-20x^{7}+196x^{6}-188x^{5}+75x^{4}-84x^{3}+48x^{2}-116x+14 [/mm]

[mm] f``(x)=1824x^{7}-140x^{6}+1176x^{5}-950x^{4}+300x^{3}-252x^{2}+96x-116 [/mm]



Liebe Grüße,

Sarah :-)

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Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mi 10.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Sarah, [sunny]

> Hallo [winken],
>  
> Ich habe die d und die e durch gerechnet und hoffe,jemand
> ist bereit mir diese zu kontrollieren.
>  
> [mm]f(x)=\underbrace{(x^{2}+1)}_{=u(x)}*\underbrace{(3x*-7)}_{=v(x)}[/mm]
>  f'(x)=2x*(3x-7) + [mm](x^{2}+1)*3[/mm]
>       [mm]=6x^{2}-14x+3x^{2}+3[/mm]
>       [mm] =9x^{2}-14x\red{+}3 [/mm]


[klatsch]

> f''(x)=18x-14

[daumenhoch]
  

>
>
> [mm]f(x)=\underbrace{(8x^{2}-5x-7)}_{=u(x)}*\underbrace{(4x^{7}-3x^{4}+2x)}_{=v(x)}[/mm]
>  [mm]f'(x)=(16x-5)*(4x^{7}-3x^{4}+2x)[/mm] +
> [mm](8x^{2}-5x+7)*(28x^{6}-12x^{3}+2)[/mm]

[ok]

[mm] >=64x^{8}-48x^{5}+32x^{2}-20x^{7}+15x^{4}-10x+224x^{8}-96x\red{^5}+16x^{2}-140x^{\red{7}}+60x^{4}-10x+196x^{6}-84x^{3}+14 [/mm]

Hier ist was beim Ausmultiplizieren schiefgelaufen...

Kontrolliers nochmal nach ;-)

[mm]=288x^{8}-20x^{7}+196x^{6}-188x^{5}+75x^{4}-84x^{3}+48x^{2}-116x+14[/mm]

[notok] Folgefehler...
[mm]f''(x)=1824x^{7}-140x^{6}+1176x^{5}-950x^{4}+300x^{3}-252x^{2}+96x-116[/mm]

>  

[notok] auch Folgefehler

>
> Liebe Grüße,
>  
> Sarah :-)

Ebenso liebe Grüße zurück ;-)

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Produktregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Do 11.10.2007
Autor: espritgirl

Hey du [winken],

Vielen Dank für das Kontrollieren - habe gestern Abend die Fehler noch beseitigen können ;-)


Liebe Grüße,

Sarah :-)

Bezug
        
Bezug
Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 11.10.2007
Autor: espritgirl

Hallo [winken],

Ich habe noch eine Frage zu b)

b) f(x) =  [mm] \underbrace{x}_{=u(x)} [/mm] * [mm] \underbrace{\wurzel{x}}_{=v(x)} [/mm]
  f'(x) = [mm] 1*\wurzel{x}+x *\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm]
        = [mm] \wurzel{x}+\bruch{1}{2\wurzel{x}}*x [/mm]

Das hatte ich ja soweit.

Eine Freundin von mir hat das Zwischenergebnis noch zusammen gefasst:

[mm] \wurzel{x}+\bruch{1}{2\wurzel{x}}*x [/mm]
= [mm] \wurzel{x}+\bruch{\wurzel{x}}{2} [/mm]
= [mm] \wurzel{x}+\bruch{1}{2}*\wurzel{x} [/mm]
= [mm] \bruch{3}{2}*\wurzel{x} [/mm]

= [mm] \bruch{3\wurzel{x}}{2} [/mm]

Könnte mir bitte jemand diesen Rechenweg erklären?


Liebe Grüße,

Sarah :-)

Bezug
                
Bezug
Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Do 11.10.2007
Autor: angela.h.b.


> Hallo [winken],
>  
> Ich habe noch eine Frage zu b)
>  
> b) f(x) =  [mm]\underbrace{x}_{=u(x)}[/mm] *
> [mm]\underbrace{\wurzel{x}}_{=v(x)}[/mm]
>    f'(x) = [mm]1*\wurzel{x}+x *\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
>          
> = [mm]\wurzel{x}+\bruch{1}{2\wurzel{x}}*x[/mm]
>  
> Das hatte ich ja soweit.
>  
> Eine Freundin von mir hat das Zwischenergebnis noch
> zusammen gefasst:
>  
> [mm]\wurzel{x}+\bruch{1}{2\wurzel{x}}*x[/mm]

Nun erweitert sie den 2.Bruch mit [mm] \wurzel{x} [/mm] und erhält

[mm] =\wurzel{x}+\bruch{\wurzel{x}}{2\wurzel{x}\wurzel{x}}*x [/mm]

[mm] =\wurzel{x}+\bruch{\wurzel{x}}{2x}*x. [/mm]

Der rest ist dann sicher klar.

Gruß v .Angela



>  = [mm]\wurzel{x}+\bruch{\wurzel{x}}{2}[/mm]
>  = [mm]\wurzel{x}+\bruch{1}{2}*\wurzel{x}[/mm]
>  = [mm]\bruch{3}{2}*\wurzel{x}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{3\wurzel{x}}{2}[/mm]
>  
> Könnte mir bitte jemand diesen Rechenweg erklären?
>  
>
> Liebe Grüße,
>  
> Sarah :-)


Bezug
                        
Bezug
Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Do 11.10.2007
Autor: espritgirl

Hallo Angela [winken],

> Der rest ist dann sicher klar.

Leider nicht. Wo kommen den die [mm] \bruch{3}{2} [/mm] plötzlich her?

> >  = [mm]\wurzel{x}+\bruch{\wurzel{x}}{2}[/mm]

>  >  = [mm]\wurzel{x}+\bruch{1}{2}*\wurzel{x}[/mm]
>  >  = [mm]\bruch{3}{2}*\wurzel{x}[/mm]
>  >  
> > = [mm]\bruch{3\wurzel{x}}{2}[/mm]

LG

Sarah

Bezug
                                
Bezug
Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Do 11.10.2007
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela [winken],
>  
> > Der rest ist dann sicher klar.
>  
> Leider nicht. Wo kommen den die [mm]\bruch{3}{2}[/mm] plötzlich
> her?
>  
> > >  = [mm]\wurzel{x}+\bruch{\wurzel{x}}{2}[/mm]

Na! 1 Apfel [mm] +\bruch{1}{2}Apfel [/mm] sind???
1 Birne [mm] +\bruch{1}{2}Birne [/mm] sind???
1 [mm] \wurzel{x} +\bruch{1}{2}\wurzel{x}= [/mm]

>  >  >  = [mm]\wurzel{x}+\bruch{1}{2}*\wurzel{x}[/mm]

Oder klammere [mm] \wurzel{x} [/mm] aus:

[mm] ...=(1+\bruch{1}{2})\wurzel{x} [/mm]

Gruß v. Angela

>  >  >  = [mm]\bruch{3}{2}*\wurzel{x}[/mm]
>  >  >  
> > > = [mm]\bruch{3\wurzel{x}}{2}[/mm]
>  
> LG
>  
> Sarah


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