Produktregel diff. Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] n\ge2. [/mm] Seien [mm] f_{1},...,f_{n}:\IR\to\IR [/mm] differenzierbare Funktionen. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass [mm] f:\IR\to\IR,x\mapsto\produkt_{i=1}^{n}f_{i}(x)=f_{1}(x)*f_{2}*...*f_{n}(x) [/mm] auch differenzierbar ist und die verallgemeinerte Produktregel gilt
[mm] f'(x)=\summe_{i=1}^{n}f'_{i}(x)\produkt_{j=1;j\not=i}^{n}f_{j}(x). [/mm] |
Ich hab schon lange an der Aufgabe gesessen und komme einfach nicht vorwärts.
Da ich Differenzierbarkeit nachweisen muss, werde ich irgendwann zu dem Schritt [mm] f'(n)=\limes_{\Delta n\rightarrow0}\frac{\Delta f}{\Delta n} [/mm] gelangen.
Aber ich weiss nicht wie und generell auch nicht was ich damit anfangen kann. Diese Aufgabe ist ein böhmisches Dorf für mich...
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Hiho,
da du die verallgemeinerte Produktregel beweisen sollst, werdet ihr die für 2 Funktionen wohl schon gehabt haben.
D.h. du darfst voraussetzen, dass für [mm] f_1, f_2 [/mm] differenzierbar auch [mm] $f_1*f_2$ [/mm] differenzierbar und gilt [mm] $(f_1*f_2)' [/mm] = [mm] f_1'f_2 [/mm] + [mm] f_1f_2'$
[/mm]
Mehr brauchst du hier nicht.
MFG,
Gono
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