Produkttopologie < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm] M\subset [/mm] X, [mm] N\subset [/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm] M\times [/mm] N.
- N° Die Menger der inneren Punkte von N
- [mm] \partial [/mm] M die Menge der Randpunkte von M |
Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um den es jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie betrachte:
[mm] (\partial M\times [/mm] N°) wie kann man sich diese Menge vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie müsste doch leer sein?
Nur wenn ich N° durch [mm] \overline{N} [/mm] ersetzen würde (also Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das richtig?
Mfg, kulli
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Di 15.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.
Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X x Y ?
>
> - N° Die Menger der inneren Punkte von N
> - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
> Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um den es
> jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
>
> Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> betrachte:
>
> [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> müsste doch leer sein?
Wieso denn ?
Nimm [mm] X=Y=\IR, [/mm] M=[0,1] und N=[-1,1]
Dann gilt z.B. (0,0) [mm] \in \partial M\times N^o
[/mm]
Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm] \partial M\times N^o
[/mm]
FRED
>
> Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> richtig?
>
> Mfg, kulli
|
|
|
| |
|
> > Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> > [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.
>
> Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X
> x Y ?
ja genau, Buchstaben vertauscht
> > - N° Die Menger der inneren Punkte von N
> > - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
> > Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um den
> es
> > jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
> >
> > Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> > betrachte:
> >
> > [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> > vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> > müsste doch leer sein?
>
> Wieso denn ?
>
> Nimm [mm]X=Y=\IR,[/mm] M=[0,1] und N=[-1,1]
>
> Dann gilt z.B. (0,0) [mm]\in \partial M\times N^o[/mm]
>
> Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm]\partial M\times N^o[/mm]
Ok so leuchtet es mir ein. Aber dann verstehe ich nicht worin hier die Gleichheit liegt: [mm]\partial(M\times N)[/mm]=[mm](\partial M\times \overline{N})\cup(\overline{M}\times\partial N)[/mm]
Nehme ich deine 2 Mengen, dann liegt doch z.B. der Punkt (1, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] in [mm] \partial M\times \overline{N}=[/mm] [mm]\partial [0, 1] \times \overline{[-1,1]}[/mm] aber nicht in [mm]\partial (M\times N)[/mm]=[mm]\partial([0,1]\times [-1, 1][/mm]) weil:
[mm] 1\in[/mm] [mm]\partial M[/mm]= [mm]\partial [0, 1] [/mm],
[mm] \bruch{1}{2}\in \overline{N}= \overline{[-1, 1]} [/mm]
aber [mm] \bruch{1}{2}\notin[/mm] [mm]\partial M[/mm] und [mm] \bruch{1}{2}\notin[/mm] [mm]\partial N[/mm]
Oder liegt es daran, dass das hier gar nicht gilt: [mm]\partial (M\times N)[/mm] =[mm]\partial M\times\partial N [/mm]? Ohje Topologie ist nicht mein Fall...
Mfg, kulli
> FRED
> >
> > Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> > Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> > richtig?
> >
> > Mfg, kulli
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 15.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> > > [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.
> >
> > Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X
> > x Y ?
>
> ja genau, Buchstaben vertauscht
>
> > > - N° Die Menger der inneren Punkte von N
> > > - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
> > > Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um
> den
> > es
> > > jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
> > >
> > > Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> > > betrachte:
> > >
> > > [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> > > vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> > > müsste doch leer sein?
> >
> > Wieso denn ?
> >
> > Nimm [mm]X=Y=\IR,[/mm] M=[0,1] und N=[-1,1]
> >
> > Dann gilt z.B. (0,0) [mm]\in \partial M\times N^o[/mm]
> >
> > Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm]\partial M\times N^o[/mm]
>
> Ok so leuchtet es mir ein. Aber dann verstehe ich nicht
> worin hier die Gleichheit liegt: [mm]\partial(M\times N)[/mm]=[mm](\partial M\times \overline{N})\cup(\overline{M}\times\partial N)[/mm]
>
> Nehme ich deine 2 Mengen, dann liegt doch z.B. der Punkt
> (1, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] in [mm]\partial M\times \overline{N}=[/mm]
> [mm]\partial [0, 1] \times \overline{[-1,1]}[/mm] aber nicht in
> [mm]\partial (M\times N)[/mm]=[mm]\partial([0,1]\times [-1, 1][/mm]) weil:
>
> [mm]1\in[/mm] [mm]\partial M[/mm]= [mm]\partial [0, 1] [/mm],
>
> [mm]\bruch{1}{2}\in \overline{N}= \overline{[-1, 1]}[/mm]
>
> aber [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm] [mm]\partial M[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm]
> [mm]\partial N[/mm]
>
>
> Oder liegt es daran, dass das hier gar nicht gilt: [mm]\partial (M\times N)[/mm]
> =[mm]\partial M\times\partial N [/mm]?
Natürlich gilt das nicht !!!
Nimm doch mal M=N=[0,1]
FRED
Ohje Topologie ist nicht mein
> Fall...
>
> Mfg, kulli
>
>
> > FRED
> > >
> > > Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> > > Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> > > richtig?
> > >
> > > Mfg, kulli
> >
>
|
|
|
| |
|
> > > > Seien X, Y zwei topologische Räume und [mm]M\subset[/mm] X,
> > > > [mm]N\subset[/mm] Y. Wir betrachten die Produkttopologie [mm]M\times[/mm] N.
> > >
> > > Was meinst Du damit ? Meinst Du die Produkttopologie auf X
> > > x Y ?
> >
> > ja genau, Buchstaben vertauscht
> >
> > > > - N° Die Menger der inneren Punkte von N
> > > > - [mm]\partial[/mm] M die Menge der Randpunkte von M
> > > > Hallo! Mir ist gerade während eines Beweises, um
> > den
> > > es
> > > > jetzt aber nicht gehen soll, eine Frage aufgekommen.
> > > >
> > > > Wenn ich diese Menge hier bezüglich der Produkttopologie
> > > > betrachte:
> > > >
> > > > [mm](\partial M\times[/mm] N°) wie kann man sich diese Menge
> > > > vorstellen? Es gibt doch keine Elemente in ihr oder? Sie
> > > > müsste doch leer sein?
> > >
> > > Wieso denn ?
> > >
> > > Nimm [mm]X=Y=\IR,[/mm] M=[0,1] und N=[-1,1]
> > >
> > > Dann gilt z.B. (0,0) [mm]\in \partial M\times N^o[/mm]
> > >
> > > Aber es gibt noch einige Punkte mehr in [mm]\partial M\times N^o[/mm]
>
> >
> > Ok so leuchtet es mir ein. Aber dann verstehe ich nicht
> > worin hier die Gleichheit liegt: [mm]\partial(M\times N)[/mm]=[mm](\partial M\times \overline{N})\cup(\overline{M}\times\partial N)[/mm]
> >
> > Nehme ich deine 2 Mengen, dann liegt doch z.B. der Punkt
> > (1, [mm]\bruch{1}{2})[/mm] in [mm]\partial M\times \overline{N}=[/mm]
> > [mm]\partial [0, 1] \times \overline{[-1,1]}[/mm] aber nicht in
> > [mm]\partial (M\times N)[/mm]=[mm]\partial([0,1]\times [-1, 1][/mm]) weil:
> >
> > [mm]1\in[/mm] [mm]\partial M[/mm]= [mm]\partial [0, 1] [/mm],
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}\in \overline{N}= \overline{[-1, 1]}[/mm]
> >
> > aber [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm] [mm]\partial M[/mm] und [mm]\bruch{1}{2}\notin[/mm]
> > [mm]\partial N[/mm]
> >
> >
> > Oder liegt es daran, dass das hier gar nicht gilt: [mm]\partial (M\times N)[/mm]
> > =[mm]\partial M\times\partial N [/mm]?
>
>
> Natürlich gilt das nicht !!!
>
> Nimm doch mal M=N=[0,1]
Ah ok, ich sehs ein 
> FRED
>
>
>
> Ohje Topologie ist nicht mein
> > Fall...
> >
> > Mfg, kulli
> >
> >
> > > FRED
> > > >
> > > > Nur wenn ich N° durch [mm]\overline{N}[/mm] ersetzen würde (also
> > > > Rand inklusive Inneres), wäre sie nicht leer, ist das
> > > > richtig?
> > > >
> > > > Mfg, kulli
> > >
> >
>
|
|
|
|
