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| Aufgabe | Berechne für x [mm] \in ]0,\bruch{\pi}{2}[
[/mm]
[mm] \produkt_{n\ge0}cos(\bruch{x}{2^{n}}) [/mm] := [mm] \limes_{N\rightarrow\infty}\produkt_{n=0}^{N}cos(\bruch{x}{2^{n}})
[/mm]
mit Hilfe der Verdoppelungsformel des Sinus.
Speziell für x [mm] =\bruch{\pi}{4} [/mm] erhält man das "Vieta-Produkt" |
Diese Aufagbe wurde mir heute seitens eines Uniprof. gestellt und ich habe keine Ahnung wie ich das lösen soll bzw. kann, da mir die Verdoppelungsformel sowie das Vieta produkt überhaupst gar nix sagt.
wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte einen ansatz bzw lösungsweg zu finden.
danke
clemens
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Hallo,
die Verdopplungsformel wäre:
[mm] $\sin [/mm] 2x = [mm] 2\sin x\cos [/mm] x$.
Stellt man sie um, dann erhält man:
[mm] $\cos [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2}\bruch{\sin 2x}{\sin x}$
[/mm]
Wenn du nun alle Glieder so aufschreibst, dann bekommst du ein Teleskopprodukt (kennst du eine Teleskopsumme?). Zähler und Nenner benachbarter Brüche kürzen sich dabei (teilweise) gegenseitig weg. Am Ende hast du dort ein Produkt aus dem ersten Zähler und einem anderen Grenzwert, den du vielleicht schon kennst oder eben noch bestimmen musst.
Gruß
Martin
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eiegntlich weiß ich es, aber kannst du mir gerade die ersten glieder anschreiben?
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Hallo,
"eigentlich ..., aber ..." klingt ja sehr interessant. Du hättest selbst etwas aufschreiben können, auch auf die Gefahr, dass es noch Fehler enthält.
Aber ausnahmsweise mal:
$n = 0: [mm] \cos\bruch{x}{2^0} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x = [mm] \bruch{\sin 2x}{2\sin x}$ [/mm]
$n = 1: [mm] \cos\bruch{x}{2^1} [/mm] = [mm] \cos\bruch{x}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\sin x}{2\sin \bruch{x}{2}}$ [/mm]
$n = 2: [mm] \cos\bruch{x}{2^2} [/mm] = [mm] \cos\bruch{x}{4} [/mm] = [mm] \bruch{\sin \bruch{x}{2}}{2\sin \bruch{x}{4}}$
[/mm]
usw.
Ist nicht schwer, oder?
Wenn du nun die Glieder miteinander mutliplizierst, dann siehst du, was sich wegkürzt.
Gruß
Martin
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also ich habe es jetzt einmal vereingacht und bin dann soweit gekommen.
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} (sin(2x)/sinx)*(1/sin(x/2))*(1/sin(x/4))*....*(1/sin(x/(2^{n-1}))*(1/sin(x/(2^n)))
[/mm]
berechnen soll ich das dann für x [mm] \in ]0;2\pi[
[/mm]
der tipp ist: speziell für [mm] x=\pi/4 [/mm] erhält man das Vieta-Produkt:
[mm] ((\wurzel{2})/2)*((\wurzel{2+\wurzel{2}})/2)*((\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2}}})/2)...... [/mm] = [mm] 2/\pi
[/mm]
ich hab jetzt schon alles mögliche probiert sehe aber den zusammenhang nicht!
lg
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ich glaub da war jetzt ein dummer fehler beim kürzen.
es bleibt ja stehen:
(sin(2x)/2) * 1/2 * [mm] 1/2*...*(1/(sin(x/(2^n))
[/mm]
jetzt seh ich aber gar keinen zusammenhang mehr mit dem vieta-produkt!
vorallem der letzte term geht doch gegen null wenn n gegen unednlich geht und der steht ja noch dazu im nenner.
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Hallo,
> der tipp ist: speziell für [mm] $x=\pi/4$ [/mm] erhält man das Vieta-Produkt
Ist das wirklich ein Tipp oder eher eine Feststellung, mit der du dein Ergebnis überprüfen kannst?
Ich würde das nicht weiter beachten.
> es bleibt ja stehen:
>
> (sin(2x)/2) * 1/2 * [mm] 1/2*...*(1/(sin(x/(2^n))
[/mm]
Na also! sieht gut aus! Du musst aber schon präziser aufschreiben, in welcher Potenz die 1/2 stehen.
> vorallem der letzte term geht doch gegen null wenn n gegen unednlich geht und der steht ja noch dazu im nenner.
Als Student solltest du wissen, dass es manchmal überraschende Einsichten gibt, wenn man einen Grenzwert bildet. Betrachte doch mal den Nenner. Dort steht etwa [mm] $2^p*\sin\bruch{x}{2^n}$ [/mm] ($p$ genuaer bestimmen!). Bilde davon den Grenzwert.
Du bekommst am Ende einen einfachen Ausdruck, der eben für [mm] $x=\bruch{\pi}{4}$ [/mm] den Wert [mm] $\bruch{2}{\pi}$ [/mm] annimmt.
Gruß
Martin
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also das 1/2 kommt doch gnau n-mal vor.
es kürzt nie weg und steht in jedem nenner.
damit steht dann da:
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \bruch{sin(2x)}{2^n*sin(x/2^n)}
[/mm]
das heißt der zähler geht gegen liegt bei den bestimmten x zw. 0-1
und der nenner geht gegen 0. das sehe ich doch richtig.
ich habe dann einmak die erste ableitung gemacht:
[mm] \bruch{2*cos(2x)}{cos(x/(2^n))}
[/mm]
das heißt dass der Grenzwert unten gegen 1 geht. und oben ist es abhängig vom cos. kann ich einfach schreiben, dass der grenzwert 2*cos(2x) ist? jenachdem wie man das x wählt?
also geht er von 0 bis -2 je nach x?
was sein kann ist dass ich da etwas ganz falsch vestehe,also bitte hilfe!!
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Hallo,
> also das 1/2 kommt doch gnau n-mal vor.
Ja, dafür kommt die 2 im Sinus einmal weniger vor.
> und der nenner geht gegen 0. das sehe ich doch richtig.
Nein!
Ausgehend vom Nenner des korrigierten Terms
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2^n\cdot{}sin(x/2^{n-1}) [/mm] $
substituiere nun: [mm] $2^n [/mm] =: [mm] \bruch{1}{k}$.
[/mm]
Dann kannst du de l'Hôpital anwenden und bekommst einen endlichen, nichtverschwindenden Grenzwert für den Nenner. Den mit dem Zähler verrechnen und du bist durch.
Gruß
Martin
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ah ok.
ich hab dann im nenner [mm] cos(x/2^n) [/mm] was gegen 1 geht und im Zähler steht ja sin(2x) und da x zwischen 0 und [mm] \pi/2 [/mm] liegt hängt der grenzwert vom x ab und liegt immer zwischen sin0 und [mm] sin\pi [/mm] also zwischen 0 und 0
fertig??!!
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> fertig??!!
Nein.
Bitte führe die Substitution durch!
Dann bekommst du für den Nenner den Ausdruck:
[mm] $2*\lim_{k\rightarrow{}0}\bruch{\sin kx}{k}$
[/mm]
Hierauf kannst du nun de l'Hôpital anwenden. Bedenke: Du musst nach k ableiten, nicht nach x !!!
Gruß
Martin
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du hast geschrieben dass der letzte term in nenner 2*sin(x/2^(n-1)) ist. aber da bin ich mir sihcer dass er [mm] 2*sin(x/2^n) [/mm] ist. es kürzt sich ja das letzte glied nicht weg und nicht das vorletzte im nenner.
wenn ich das dann substituiere erhalte ich doch (1/k)*sin(k*x) ohne den 2er.
den 2er würde ich außerdem nur erhalten wenn ich 2^(n-1)= 1/k setzen würde??!!
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> du hast geschrieben dass der letzte term in nenner 2*sin(x/2^(n-1)) ist.
Nun, an einer Stelle habe ich mich vertan, an andere Stelle hast du einen Fehler gemacht. Der Unterschied ist nur, dass mein Fehler keine Folgen hat (wegen [mm] $n\rightarrow\infty$). [/mm] ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
OK, schauen wir genauer hin und probieren es für ein bestimmtes $N$ (nicht $n$!) aus. Sei $N=4$:
[mm] \produkt_{n=0}^{4}\cos\bruch{x}{2^{n}} [/mm] = [mm] \cos\bruch{x}{2^0}*\cos\bruch{x}{2^1}*\cos\bruch{x}{2^2}*\cos\bruch{x}{2^3}*\cos\bruch{x}{2^4} [/mm] = [mm] \bruch{\sin 2x}{2\sin x}*\bruch{\sin x}{2\sin\bruch{x}{2}}*\bruch{\sin\bruch{x}{2}}{2\sin\bruch{x}{2^2}}*\bruch{\sin\bruch{x}{2^2}}{2\sin\bruch{x}{2^3}}*\bruch{\sin\bruch{x}{2^3}}{2\sin\bruch{x}{2^4}}=\bruch{1}{2^5}*\bruch{\sin 2x}{\sin\bruch{x}{2^4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{N+1}}*\bruch{\sin 2x}{\sin\bruch{x}{2^N}} [/mm]
Worauf es ankommt: Die beiden Potenzen unterscheiden sich um 1.
Wir können den Bruch auch so aufteilen, dass wir nur den zweiten für die Grenzwertbetrachtung heranziehen müssen:
[mm] $\bruch{1}{2^{N+1}}*\bruch{\sin 2x}{\sin\bruch{x}{2^N}} [/mm] = [mm] \bruch{\sin 2x}{2}*\bruch{1}{2^N*\sin\bruch{x}{2^N}}$
[/mm]
Nun den zweiten Bruch substituieren, limitieren und hospitalisieren. Dann ergibt sich das, was ich meinte.
Gruß
Martin
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Also ich glaube jetzt habe ich es:
also das ist ja k/sin(kx) -> f'= 1/(x*cos(x*k) = [mm] 1/(x*cos(x/2^N) [/mm] -> durch limes:
1/x!!!
damit bekomme ich bei [mm] \pi/4 2/\pi [/mm] heraus!!!!!!!
DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Mo 19.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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