Produktzeichen - Bedeutung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Was verbirgt sich jeweils hinter folgenden Formeln (n, k [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] k)
[mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=?
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=? [/mm] |
Hallo,
Zunächst ist mir noch unklar, ob dies eine einfache "Frage Antwort" Aufgabe ist, wo ich die Antwort in Sätzen hinschreibe, oder ist dies eine Beweisaufgabe?
Hier mal die gesamte Aufgabe vom Blatt (Hier gehts nur um Aufgabenteil B))
http://img412.imageshack.us/img412/4126/87559459.jpg
Jetzt weiß ich nicht, ob sich das "Weisen sie ...nach" auch für Aufgabenteil b) gilt...?
Ich habe bei beiden Formeln einfach mal einige Zahlen eingesetzt und geschaut, was passiert.
Bei [mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1} [/mm] ist mir aufgefallen, dass dort der Kehrwert von der Grenze+1 am Ende rauskommt.
Bsp: [mm] \produkt_{i=1}^{4} \bruch{i}{i+1}=\bruch{1}{5}
[/mm]
Bei [mm] \produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i} [/mm] fiel mir auf, dass dort als Ergebniss immer die Grenze+1 rauskommt.
Bsp: [mm] \produkt_{i=1}^{4-1} \bruch{k+i}{i}=4
[/mm]
Sollte dies eine Beweis-Aufgabe sein, dann wüsste ich nicht so recht wie ich das Formeltechnisch beweisen soll.
Ich habe mal beide Formeln allgemein aufgeschrieben, aber das hat mich auch nicht weitergebracht:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{k+1}{1}*\bruch{k+2}{2}*...*\bruch{k+(n-k-1)}{n-k-1}*\bruch{k+(n-k)}{n-k}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{i}{i+1}*\bruch{i+1}{(i+1)+1}*...*\bruch{n-1}{(n-1)+1}*\bruch{n}{n+1}
[/mm]
Habt ihr noch Tipps?
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> Was verbirgt sich jeweils hinter folgenden Formeln (n, k
> [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] k)
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=?[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=?[/mm]
> Hallo,
>
> Zunächst ist mir noch unklar, ob dies eine einfache "Frage
> Antwort" Aufgabe ist, wo ich die Antwort in Sätzen
> hinschreibe, oder ist dies eine Beweisaufgabe?
Weder noch. Es ist eine Rechenaufgabe, allenfalls mit
einem kleinen Beweis für die allgemeine Gültigkeit.
> Hier mal die gesamte Aufgabe vom Blatt (Hier gehts nur um
> Aufgabenteil B))
> http://img412.imageshack.us/img412/4126/87559459.jpg
> Jetzt weiß ich nicht, ob sich das "Weisen sie ...nach"
> auch für Aufgabenteil b) gilt...?
Nein. Ich denke, die beiden Teile sind unabhängig
voneinander.
> Ich habe bei beiden Formeln einfach mal einige Zahlen
> eingesetzt und geschaut, was passiert.
> Bei [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}[/mm] ist mir aufgefallen,
> dass dort der Kehrwert von der Grenze+1 am Ende rauskommt.
> Bsp: [mm]\produkt_{i=1}^{4} \bruch{i}{i+1}=\bruch{1}{5}[/mm]
Gut. Man kann nun allgemein zeigen (z.B. mit vollst.
Induktion, dass das Produkt stets [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] ergibt.
> Bei [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}[/mm] fiel mir auf, dass
> dort als Ergebniss immer die Grenze+1 rauskommt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Bsp: [mm]\produkt_{i=1}^{4-1} \bruch{k+i}{i}=4[/mm]
Was ist aus dem k in der Obergrenze geworden ?
Das Ergebnis hängt sowohl von n als auch von k ab !
Es handelt sich um einen Term, der bekannt sein
sollte.
> Sollte dies eine Beweis-Aufgabe sein, dann wüsste ich
> nicht so recht wie ich das Formeltechnisch beweisen soll.
> Ich habe mal beide Formeln allgemein aufgeschrieben, aber
> das hat mich auch nicht weitergebracht:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{k+1}{1}*\bruch{k+2}{2}*...*\bruch{k+(n-k-1)}{n-k-1}*\bruch{k+(n-k)}{n-k}[/mm]
Was hat da plötzlich ein k zu suchen, wo doch nur der
Produktindex i und die Konstante n da waren ?
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{i}{i+1}*\bruch{i+1}{(i+1)+1}*...*\bruch{n-1}{(n-1)+1}*\bruch{n}{n+1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
... und hier fehlt das k, das da sein sollte !
> Habt ihr noch Tipps?
Um den einzelnen Faktor im Produkt zu notieren, musst
du einfach für den Produktindex (hier also jeweils für i)
den entsprechenden Wert einsetzen. Alles andere (also n
und k) bleiben erhalten.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
> > Was verbirgt sich jeweils hinter folgenden Formeln (n, k
> > [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] k)
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=?[/mm]
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=?[/mm]
> > Hallo,
> >
> > Zunächst ist mir noch unklar, ob dies eine einfache "Frage
> > Antwort" Aufgabe ist, wo ich die Antwort in Sätzen
> > hinschreibe, oder ist dies eine Beweisaufgabe?
>
> Weder noch. Es ist eine Rechenaufgabe, allenfalls mit
> einem kleinen Beweis für die allgemeine Gültigkeit.
>
> > Hier mal die gesamte Aufgabe vom Blatt (Hier gehts nur um
> > Aufgabenteil B))
> > http://img412.imageshack.us/img412/4126/87559459.jpg
> > Jetzt weiß ich nicht, ob sich das "Weisen sie ...nach"
> > auch für Aufgabenteil b) gilt...?
>
> Nein. Ich denke, die beiden Teile sind unabhängig
> voneinander.
>
> > Ich habe bei beiden Formeln einfach mal einige Zahlen
> > eingesetzt und geschaut, was passiert.
> > Bei [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}[/mm] ist mir
> aufgefallen,
> > dass dort der Kehrwert von der Grenze+1 am Ende rauskommt.
> > Bsp: [mm]\produkt_{i=1}^{4} \bruch{i}{i+1}=\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Gut. Man kann nun allgemein zeigen (z.B. mit vollst.
> Induktion, dass das Produkt stets [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] ergibt.
Vollständige Induktion hatten wir noch nicht. Auf dem Aufgabenblatt steht als Lösungshinweis, dass man den komplizierteren aussehenden Teil der Gleichung aufschreiben soll und dann anfangen soll umzuformen, bis man am Ziel angelangt ist.
Also so in etwa:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=.........=.........=........=Ziel
[/mm]
>
> > Bei [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}[/mm] fiel mir auf, dass
> > dort als Ergebniss immer die Grenze+1 rauskommt.
> > Bsp: [mm]\produkt_{i=1}^{4-1} \bruch{k+i}{i}=4[/mm]
>
> Was ist aus dem k in der Obergrenze geworden ?
> Das Ergebnis hängt sowohl von n als auch von k ab !
> Es handelt sich um einen Term, der bekannt sein
> sollte.
Ich weiß nicht was du meinst? Hab einfach in meinem Beispiel n=4 und k=1 genommen und dann das Ergebnis aufgeschrieben (4 in dem Fall).
>
> > Sollte dies eine Beweis-Aufgabe sein, dann wüsste ich
> > nicht so recht wie ich das Formeltechnisch beweisen soll.
> > Ich habe mal beide Formeln allgemein aufgeschrieben,
> aber
> > das hat mich auch nicht weitergebracht:
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{k+1}{1}*\bruch{k+2}{2}*...*\bruch{k+(n-k-1)}{n-k-1}*\bruch{k+(n-k)}{n-k}[/mm]
>
>
> Was hat da plötzlich ein k zu suchen, wo doch nur der
> Produktindex i und die Konstante n da waren ?
Sorry, hab die beiden Formeln vertauscht.. Unten hab ich es nochmal verbessert hingeschrieben.
>
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{i}{i+1}*\bruch{i+1}{(i+1)+1}*...*\bruch{n-1}{(n-1)+1}*\bruch{n}{n+1}[/mm]
>
>
> ... und hier fehlt das k, das da sein sollte !
Sorry, hab die beiden Formeln vertauscht.. Unten hab ich es nochmal verbessert hingeschrieben.
>
> > Habt ihr noch Tipps?
>
> Um den einzelnen Faktor im Produkt zu notieren, musst
> du einfach für den Produktindex (hier also jeweils für
> i)
> den entsprechenden Wert einsetzen. Alles andere (also n
> und k) bleiben erhalten.
>
> LG Al-Chw.
>
Hier nochmal die verbesserten beiden Formeln.
$ [mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{i}{i+1}\cdot{}\bruch{i+1}{(i+1)+1}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n-1}{(n-1)+1}\cdot{}\bruch{n}{n+1} [/mm] $
$ [mm] \produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{k+1}{1}\cdot{}\bruch{k+2}{2}\cdot{}...\cdot{}\bruch{k+(n-k-1)}{n-k-1}\cdot{}\bruch{k+(n-k)}{n-k} [/mm] $
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> Hallo,
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> > > Was verbirgt sich jeweils hinter folgenden Formeln (n, k
> > > [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] k)
> > >
> > > [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=?[/mm]
> > >
> > > [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=?[/mm]
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=.........=.........=........=Ziel[/mm]
>
> >
> > > Bei [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}[/mm] fiel mir auf, dass
> > > dort als Ergebniss immer die Grenze+1 rauskommt.
> > > Bsp: [mm]\produkt_{i=1}^{4-1} \bruch{k+i}{i}=4[/mm]
> >
> > Was ist aus dem k in der Obergrenze geworden ?
> > Das Ergebnis hängt sowohl von n als auch von k ab !
> > Es handelt sich um einen Term, der bekannt sein
> > sollte.
> Ich weiß nicht was du meinst? Hab einfach in meinem
> Beispiel n=4 und k=1 genommen und dann das Ergebnis
> aufgeschrieben (4 in dem Fall).
Du kannst natürlich zunächst konkrete Zahlenbeispiele machen,
um zu schauen, was da läuft. k=1 ist dazu aber wohl gar zu
einfach.
Schließlich solltest du aber n und k allgemein belassen und
nur die Formel möglichst vereinfachen.
> Hier nochmal die verbesserten beiden Formeln.
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{i}{i+1}\cdot{}\bruch{i+1}{(i+1)+1}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n-1}{(n-1)+1}\cdot{}\bruch{n}{n+1}[/mm]
Wenn du die einzelnen Brüche anschaust, kannst du
sehen, dass sich fast alles herauskürzt.
> [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{k+1}{1}\cdot{}\bruch{k+2}{2}\cdot{}...\cdot{}\bruch{k+(n-k-1)}{n-k-1}\cdot{}\bruch{k+(n-k)}{n-k}[/mm]
Weißt du, was n! ( also z.B. 7! ) bedeutet ?
Und ist dir klar, dass zum Beispiel gilt:
$\ 8*9*10*11*12* ..... *29\ =\ [mm] \frac{29\,!}{7\,!}$
[/mm]
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Konzentrieren wir uns erstmal nur auf die 1. Formel
[mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=?
[/mm]
Diese Formel habe ich jetzt mal allgemein aufgeschrieben und vereinfacht, da sich fast alles rauskürzt, wie du bereits gesagt hast.
[mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{i}{i+1}\cdot{}\bruch{i+1}{i+2}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n-1}{n}\cdot{}\bruch{n}{n+1}=\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Müsste richtig sein oder?
Was nun? Wäre dies mein Ergebnis der Aufgabe für die 1. Formel?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 So 18.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Konzentrieren wir uns erstmal nur auf die 1. Formel
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=?[/mm]
>
> Diese Formel habe ich jetzt mal allgemein aufgeschrieben
> und vereinfacht, da sich fast alles rauskürzt, wie du
> bereits gesagt hast.
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{i}{i+1}\cdot{}\bruch{i+1}{i+2}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n-1}{n}\cdot{}\bruch{n}{n+1}=\bruch{1}{n+1}[/mm]
das [mm] $i\,$ [/mm] ist eine LAUFVARIABLE [mm] ($i\,$ [/mm] "variiert" von Faktor zu Faktor) und hat da nix mehr zu suchen - sonst würde man [mm] $i\,$ [/mm] etwa als feste natürliche Zahl (Parameter) ansehen. Richtig ist also
[mm] $$\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\bruch{\red{\overbrace{1}^{i=}}}{\red{\underbrace{1}_{i=}+1}}\cdot{}\bruch{\red{\overbrace{2}^{i=}}}{\red{\underbrace{2}_{i=}+1}}\cdot{}...\cdot{}\bruch{\red{\overbrace{n-1}^{i=}}}{\red{\underbrace{n-1}_{i=}+1}}\cdot{}\bruch{\red{\overbrace{n}^{i=}}}{\red{\underbrace{n}_{i=}+1}}=\bruch{1}{n+1}\,.$$
[/mm]
Etwas "schöner" aufgeschrieben:
[mm] $$\produkt_{i=1}^{n} \bruch{i}{i+1}=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\ldots*\frac{n-2}{n-1}*\frac{n-1}{n}*\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}\,.$$
[/mm]
Natürlich kannst Du diese Formel auch per Induktion beweisen.
Btw.:
Wäre [mm] $i\,$ [/mm] doch ein fester Parameter (etwa [mm] $\in \IN$ [/mm] - jedenfalls sollte $i+k [mm] \not=0$ [/mm] für [mm] $k=1,\ldots,n$ [/mm] sein), so wäre (Du siehst unten auch, dass dort [mm] $k\,$ [/mm] als LAUFVARIABLE im Produktzeichen steht)
[mm] $$\frac{i}{n+1}=\bruch{i}{i+1}\cdot{}\bruch{i+1}{i+2}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n-1}{n}\cdot{}\bruch{n}{n+1}=\produkt_{k=1}^{\blue{n-i+1}} \frac{i+k-1}{i+k}\,.$$
[/mm]
Dort erhältst Du dann für [mm] $i=1\,$ [/mm] genau Deine obige Formel.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 18.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
OK, damit ist die 1. Formel nun klar. Danke soweit schonmal an alle ;)
Bei der 2. Formel weiß ich aber nicht mehr weiter...
[mm] \produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=? [/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{k+1}{1}*\bruch{k+2}{2}*...*\bruch{k+n-k-1}{n-k-1}*\bruch{k+n-k}{n-k}
[/mm]
Vereinfacht aufgeschrieben:
[mm] \produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{k+1}{1}*\bruch{k+2}{2}*...*\bruch{n-1}{n-k-1}*\bruch{n}{n-k}
[/mm]
Da kürzt sich nichts raus.
Ich denke, dass sich das warscheinlich doch noch weiter vereinfachen lässt, nur komme ich nicht drauf...
Habt ihr einen kleinen Tipp? Bitte vorerst nur einen Tipp geben, möchte selbst drauf kommen ;)
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> OK, damit ist die 1. Formel nun klar. Danke soweit schonmal
> an alle ;)
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> Bei der 2. Formel weiß ich aber nicht mehr weiter...
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=?[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{k+1}{1}*\bruch{k+2}{2}*...*\bruch{k+n-k-1}{n-k-1}*\bruch{k+n-k}{n-k}[/mm]
>
> Vereinfacht aufgeschrieben:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n-k} \bruch{k+i}{i}=\bruch{k+1}{1}*\bruch{k+2}{2}*...*\bruch{n-1}{n-k-1}*\bruch{n}{n-k}[/mm]
>
> Da kürzt sich nichts raus.
> Ich denke, dass sich das warscheinlich doch noch weiter
> vereinfachen lässt, nur komme ich nicht drauf...
> Habt ihr einen kleinen Tipp? Bitte vorerst nur einen Tipp
> geben, möchte selbst drauf kommen ;)
Hallo Jack 159,
den notwendigen Tipp habe ich eigentlich in meiner
letzten Antwort schon gegeben:
" Und ist dir klar, dass zum Beispiel gilt:
$ \ [mm] 8\cdot{}9\cdot{}10\cdot{}11\cdot{}12\cdot{} [/mm] ..... [mm] \cdot{}29\ [/mm] =\ [mm] \frac{29\,!}{7\,!}\quad [/mm] ?$ "
Mach dir jetzt klar, wie man etwa das Produkt
$\ (k+1)*(k+2)*(k+3)*\ .....\ [mm] *(n-1)*n\qquad\quad [/mm] (wobei\ k<n)$
mittels Fakultäten einfacher schreiben kann !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 23.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Danke für eure Hilfe, hab es inzwischen rausbekommen. Es ist der Binomialkoeffizient ;)
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