Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Simeon |
| Aufgabe | a,b seien 2 Vektoren. Der Vektor Ab sei die Projektion von a auf b.
Man leite eine Beziehung zur Ermittlung von Ab aus a und b her.
Lösung ist: Ab= [mm] ((a*b)/|b|^2)(mal)b
[/mm]
* Skalarprodukt |
Soll wohl recht einfach sein, nur ich komm nicht drauf. Das Einzige was ich hinbekomme ist:
[mm] Ab=(a*b)/|a|^2
[/mm]
?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Herby |
Tachchen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
meintest du sowas:
Der Betrag von [mm] |\vec{b_{a}}| [/mm] ist ja [mm] \vec{b}*cos(\alpha) [/mm]
Das Skalarprodukt:
[mm] :=\summe_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\alpha)=|\vec{a}|*|\vec{b_{a}}| [/mm]
teile ich den rechten Teil der Gleichung durch [mm] |\vec{a}|, [/mm] so erhalte ich folgende Darstellung.
[mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|}=|\vec{b}|*cos(\alpha)=|\vec{b_{a}}| [/mm]
[mm] \vec{b_{a}} [/mm] hat aber dieselbe Richtung wie [mm] \vec{a}, [/mm] dann kann ich schreiben:
[mm] \vec{b_{a}}=|\vec{b_{a}}|*\vec{e_{a}}=|\vec{b_{a}}|*\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|}*\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\left(\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|^{2}}\right)*\vec{a} [/mm]
Wenn du den anderen projeziert haben möchtest, dann brauchst das nur umschreiben
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Simeon |
vielen dank für deine antwort..
nur leider hilft sie mir garnicht weiter.. =(
was ist denn eine projektion? gibt es eine geometrische deutung?
wieso fängst du direkt mit dem betrag an?
ich kann leider garnicht folgen..(?)
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Hi, Simeon,
> was ist denn eine projektion? gibt es eine geometrische
> deutung?
Die senkrechte Projektion des Vektors [mm] \vec{b} [/mm] auf den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] kannst Du Dir so vorstellen:
Zeichne die beiden Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] von einem gemeinsamen Fußpunkt aus.
Dann fälle von der Spitze des Vektors [mm] \vec{b} [/mm] das Lot auf den Vektor [mm] \vec{a}; [/mm] der Lotfußpunkt sei L.
Dann geht die gesuchte Projektion vom gemeinsamen Fuß der beiden Vektoren zum Punkt L.
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> a,b seien 2 Vektoren. Der Vektor Ab sei die Projektion von
> a auf b.
> Man leite eine Beziehung zur Ermittlung von Ab aus a und b
> her.
>
> Lösung ist: Ab= [mm]((a*b)/|b|^2)(mal)b[/mm]
> * Skalarprodukt
> Soll wohl recht einfach sein, nur ich komm nicht drauf.
Vektor [mm] \vec{a_{b}} [/mm] ist Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b}, [/mm] so gilt [mm] \vec{a_{b}} [/mm] = [mm] k*\vec{b} [/mm] (1)
k ist eine reele Zahl und k = [mm] \bruch{|\vec{a_{b}}|}{|\vec{b}|} [/mm] (2)
Anderseits [mm] |\vec{a_{b}}| [/mm] = [mm] |\vec{a}|*cos\alpha [/mm] (3)
Nach Formel von Skalarprodukt von zwei Vektoren gilt:
[mm] \vec{a}\vec{b} [/mm] = [mm] |\vec{a}||\vec{b}|cos\alpha
[/mm]
also: [mm] cos\alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
[/mm]
Einsetzen in (3) und kürzen: [mm] |\vec{a_{b}}| [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|} [/mm]
Nun in (2) einsetzen : k = [mm] \bruch{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|^{2}}
[/mm]
Jetzt kann man k in (1) einsetzen :
[mm] \vec{a_{b}} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|^{2}}\vec{b}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Simeon |
okey mathematisch habe ich es verstanden, nur warum gilt bei einer projektion: a(vektor)=k(reelezahl)*b(vektor)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> okey mathematisch habe ich es verstanden, nur warum gilt
> bei einer projektion: a(vektor)=k(reelezahl)*b(vektor)?
In der Meldung von Zwerglein ist sehr schön beschrieben wie man eine Projektion von einem Vektor auf anderen bildet. So siehst Du, dass die Vektoren [mm] \vec{a_{b}} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] auf einer dieselben Gerade liegen.
Solche Vektoren sind kollinear und kollinearen Vektoren sind linear abhängig.
Anders gesagt solchen Vektoren haben proportionalen Koordinaten.
[mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}} [/mm] = k* [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Sa 10.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Simeon,
ich denke mit eine kleinen Zeichung wir das schnell klar, was eine Projektion ist 
Ein einfaches Beispiel, das mit wenigen Schritten erledigt ist
1. Fertige ein Koordinatensystem an (der positive Bereich von 0 bis x=y=6 reicht völlig aus)
2. Zeichne den Vektor a: [mm] \vec{a}=\vektor{2\\3}
[/mm]
3. Zeichne den Vektor b: [mm] \vec{b}=\vektor{4\\0}
[/mm]
nun projezieren wir den Vektor a auf den Vektor b mit der bereits bekannten Formel. Dazu brauchen wir zunächst das Skalarprodukt:
[mm] <\vec{a};\vec{b}>
[/mm]
[mm] \vektor{2\\3}*\vektor{4\\0}=2*4+3*0=8
[/mm]
und den Betrag von dem Vektor b:
[mm] |\vec{b}|=\wurzel{b_0^2+b_1^2}
[/mm]
[mm] \wurzel{4^2+0^2}=\wurzel{16}=4
[/mm]
mit unserer Formel erhalten wir:
[mm] \vec{a_b}=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{b}|^2}*\vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{a_b}=\bruch{8}{4^2}*\vektor{4\\0}=\bruch{1}{2}*\vektor{4\\0}
[/mm]
[mm] \vec{a_b}=\vektor{2\\0}
[/mm]
Trage diesen Vektor ebenfalls in dein Koordinatensystem ein, siehst du jetzt, was eine Projektion beinhaltet?
Und verstehst du nun, wo der Faktor k (in unserem Fall natürlich k=2)herkommt?
Du kannst ja mal überprüfen, wie es sich verhält, wenn du den Vektor b um 5 verlängerst.
Es ist hier völlig egal, wie die Vektoren im kartesischen Koordinatensystem liegen.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 10.03.2007 | | Autor: | Simeon |
ah ich seh, im prinzip kann man das sich ja wie eine projektion auf dem boden durch sonnenstrahlen vorstellen :)
vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Sa 10.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
im Prinzip ja, wenn die Sonne senkrecht steht 
lg
Herby
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