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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Kathinka |
| Aufgabe | | Durch [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z' } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] wird in [mm] R^3 [/mm] bezüglich eines cart. Koordinatensystems eien schräge Projektion auf eine Ebene E beschrieben. Welche Ebene ist das, welche Projektionsrichtung (Angabe eines Vektors [mm] \not= [/mm] 0) liegt vor und welchen Winkel [mm] \alpha [/mm] hat dieser Vektor zu der Ebene? |
hallöchen :)
ich habe nicht die ganze aufgabe als frage :)
also dass eine Projektion in die x-y ebene vorliegt ist klar (z-spalte fällt weg). dann hab ich, um den eigenwert auszurechnen
det [mm] (A-E*\lambda) [/mm] = 0 genommen als formel. aufgelöst und dann mit der sarrus regel die determinante ausgerechnet. da kam dann [mm] -\lambda [/mm] ^3 heraus. also habe ich als zwei eigenwerte
[mm] -\lambda [/mm] ^3 und 0
nun brauche ich, da ich ja einen winkel ausrechnen muss noch einen vektor der auf die ebene trifft. also einen eigenvektor x.
ich habe die formel [mm] (A-\lambda [/mm] * E) *x = 0 genommen
für die matrix habe ich für jedes [mm] \lambda [/mm] eine null eingesetzt da ja der eigenwert von lamda 0 ist. dann blieb quasi von der ursprungsmatrix A nur noch die -1 oben rechts stehen. als eigenvektor habe ich dann heraus
[mm] \vektor{a \\ a \\ 0}
[/mm]
dieser vektor liegt nun dummerweise in der ebene. also kann ich keinen winkel berechnen (wie das geht bekomm ich hin).
ich vermute das problem darin dass ich wohl keine ahnung habe was eigenwert und eigenvektoren sind, bzw wie ich mit hilfe meines eigenwertes null einen eigenvektor finden kann der die projektionsrichtung hat . das ist eigentlich nun mein hauptproblem. wäre lieb wenn mir diesen teil der aufgabe jmd erklären könnte, denn ich konnte eine antwort nirgendwo sonst finden :)
lg katja
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Hallo Kathinka,
die Eigenwerte der Matrix M sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von M. Das charakteristische Polynom ist die Determinante
[mm]\det(M-\lambda E),[/mm]
wobei E die Einheitsmatrix mit der passenden Größe ist.
Jetzt solltest du aber lieber erst mal das charakteristische Polynom hinschreiben, denn dort liegt schon der erste Fehler.
Bei einer Parallel-Projektion vom dreidimensionalen Raum auf eine Ebene sollte es einmal den Eigenwert 0 geben. Dazu gehört die Richtung, d.h. der Eigenvektor, die bei der Projektion verschwindet. Und es sollte zweimal den Eigenwert 1 geben, die dazugehörigen Eigenvektoren spannen dann die Ebene auf, in die projeziert wird.
Wie lautet das charakteristische Polynom, wenn du von jedem Eintrag der Hauptdiagonale der Matrix
[mm]M=\pmat{1&0&-1\\0&1&0\\0&0&0}[/mm]
die Zahl [mm] \lambda [/mm] abziehst und dann die Determinante bildest?
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Kathinka |
> Wie lautet das charakteristische Polynom, wenn du von jedem
> Eintrag der Hauptdiagonale der Matrix
> [mm]M=\pmat{1&0&-1\\0&1&0\\0&0&0}[/mm]
> die Zahl [mm]\lambda[/mm] abziehst und dann die Determinante
> bildest?
hm, wenn das charakteristische polynom die determinante ist, dann hab ich die matrix
[mm] \pmat{ 1-\lambda & 0 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda}
[/mm]
seh grad, hab da vorhin * statt minus gerechnet.... ^^
dann kommt als determinante raus
0= [mm] -\lambda +2\lambda² -\lambda³
[/mm]
dann kann ich mit ausklammern und pq formel die eigenwerte rausbekommen, also wie du gesagt hast die 0 und die 1.
wenn ich jetzt mit der 0 weiterrechne wo muss ich die denn dann einsetzen? also was bringt mir denn der eigenwert in bezug auf den eigenvektor?
lg katja
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Hallo Kathinka,
ein Eigenvektor v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] hat die Eigenschaft, dass
[mm]Mv=\lambda v[/mm].
Wenn man alles auf die linke Seite bringt, hat man
[mm](M-\lambda E)v=0[/mm].
Wenn dein Eigenwert also zum Beispiel 5 ist, dann musst du das Gleichungssystem
[mm](M-5E)x=0[/mm]
lösen und die Lösungen bilden dann den Eigenraum zum Eigenwert 5.
Bei dir muss man erst den Eigenwert 0 auf der Diagonalen abziehen und das Gleichungssystem lösen. Dann nochmal das Gleiche für den Eigenwert 1.
Hugo
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