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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Projektionen auf konvexe Menge
Projektionen auf konvexe Menge < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Projektionen auf konvexe Menge: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 Do 12.07.2018
Autor: bongobums

Ich habe eine Variationsungleichung erster Art gegeben. Für einen festen Vektor [mm] $a\in\mathbb{R}^n$ [/mm] und eine symmetrische, positiv definite Matrix [mm] $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ [/mm] soll in Abhängigkeit von [mm] $u\in\mathbb{R}^n$ [/mm] ein [mm] $y\in\mathcal{K}:=\{v\in\mathbb{R}^n:v\leq a\}$ [/mm] gefunden werden, sodass

[mm] $$\langle Ay,v-y\rangle \geq \langle u,v-y\rangle\ \forall v\in\mathcal{K}\iff\langle u-Ay,v-y\rangle\leq0\ \forall v\in\mathcal{K}$$ [/mm]

erfüllt ist. Diese Variationsungleichung ist äquivalent zum Problem

[mm] $$\operatorname{argmin}\limits_{y\in\mathcal{K}}\frac12\langle [/mm] y, [mm] Ay\rangle-\langle u,y\rangle,$$ [/mm]

welches aufgrund von strenger Konvexität, radialer Unbeschränktheit und Unbeschränktheit der zulässigen Menge eine eindeutige Lösung besitzt. Das bedeutet, wir können einen Lösungsoperator [mm] $S:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n, u\mapsto [/mm] S(u)=y$ für das obige Problem definieren.
Für [mm] $A=I_n$ [/mm] erhalten wir das Standard-Projektionsproblem auf ein konvexes Polyeder im [mm] $\mathbb{R}^n$. [/mm] Dessen Lösung lässt sich relativ einfach geschlossen angeben:

[mm] $$y_i=S(u)_i=\begin{cases}u_i, & u_i\leq a_i \\ a_i, & u_i>a_i\end{cases}\quad \forall [/mm] i=1,...,n$$

Nun suche ich die Lösung für [mm] $A\neq I_n$. [/mm] Nach Aussage meines Profs bleibt die Projektionseigenschaft erhalten, wenn man sich vorstelle, dass $A$ sozusagen eine zusätzliche Norm induziert. Ich kann grundsätzlich schon erahnen, wie das gemeint sein könnte, jedoch finde keine sinnvolle Umformung sodass ich auf einen Ausdruck wie z.B.

[mm] $$\operatorname{argmin}\limits_{y\in\mathcal{K}}\langle y-u,A(y-u)\rangle$$ [/mm]

komme. Das heißt ich sehe nicht, wie ich die Variationsungleichung auf ein Projektionsproblem zurückführen kann, dessen Lösung ich einfach ablesen kann. Gibt es zu einer solchen allgemeinen Ungleichung eigentlich eine bildliche Darstellung?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Projektionen auf konvexe Menge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Sa 14.07.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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