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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Ich frage mich, warum die Abbildung, die die Projektionsformel "ausführt" orthogonale Projektion heißt.
Also ich habe die Projektionsformel:
[mm] v_0 [/mm] = [mm] \sum^r_{i=1} \frac{}{} \cdot u_i
[/mm]
Wobei V mein Vektorraum ist und U ein Unterraum mit einer Orthogonalbasis [mm] (u_1,..,u_r). [/mm] Und ich möchte wohl auf den Unterraum U projizieren.
Dann habe ich die lineare Abbildung [mm] \pi_U [/mm] : V [mm] \to [/mm] V, v [mm] \to v_0 [/mm] , die ORTHOGONALE Projektion heißt.
Jetzt frage ich mich halt, wieso orthogonal. Die Projektion legt den projizierten Vektor doch im Prinzip z.B. einfach nur auf den anderen Vektor drauf, oder nicht?
Denn so funktioniert doch auch der Gram Schmidt Algorithmus, der eine Basis in eine Orthogonalbasis umrechnet.
z.B. fängt der so an:
1.Vektor nehmen und in neue Basis stopfen.
2.Vektor der OGB: 2.Vektor - [mm] \pi_U_1(2.Vektor)
[/mm]
Ich hoffe ihr kennt den Algorithmus =)
Dankeschön!
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> Hallo!
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> Ich frage mich, warum die Abbildung, die die
> Projektionsformel "ausführt" orthogonale Projektion heißt.
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> Also ich habe die Projektionsformel:
> [mm]v_0[/mm] = [mm]\sum^r_{i=1} \frac{}{} \cdot u_i[/mm]
>
> Wobei V mein Vektorraum ist und U ein Unterraum mit einer
> Orthogonalbasis [mm](u_1,..,u_r).[/mm] Und ich möchte wohl auf den
> Unterraum U projizieren.
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> Dann habe ich die lineare Abbildung [mm]\pi_U[/mm] : V [mm]\to[/mm] V, v [mm]\to v_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> , die ORTHOGONALE Projektion heißt.
>
> Jetzt frage ich mich halt, wieso orthogonal.
Der Gesamtraum $V$ ist die direkte Summe von $U$ und $U^{\perp}$ (dem orthogonalen Komplement von $U$). Kurz: $V=U\oplus U^{\perp}$. Nimmst Du nun einen Vektor $v\in V$, so kannst Du diesen Vektor eindeutig zerlegen in der Form $v=v_{\parallel}+v_{\perp}$ mit $v_{\parallel}\in U$ und $v_{\perp}\in U^{\perp}$. Mein suggestives $v_{\parallel}$ ist gerade Dein $v_0$.
> Die Projektion
> legt den projizierten Vektor doch im Prinzip z.B. einfach
> nur auf den anderen Vektor drauf, oder nicht?
Sie bestimmt die zu $U$ parallele Komponente $v_0=v_{\parallel}$ von $v$. Mit anderen Worten: $v$ wird durch diese Abbildung mittels Projektion in Richtung $U^{\perp}$ auf $U$ abgebildet. Weil diese Richtung parallel zu $U^{\perp}$ also senkrecht zu $U$ ist, spricht man von orthogonaler Projektion auf $U$.
Man könnte natürlich den Gesamtraum $V$ bei gegebenen Teilraum $U$ auch als direkte Summe mit einem zu $U$ nicht orthogonalen Teilraum darstellen, etwa $V=U\oplus U_2$, mit $U_2\not\perp U$. Dann könnte man eine entsprechende Abbildung betrachten, die $v=v_{\parallel}+v_2$ auf $v_{\parallel$ abbildet, wobei $v_{\parallel}\in U$ und $v_2\in U_2$. Da aber $U_2\not\perp U$ ist, gilt die obige Formel zur Bestimmung von $v_{\parallel}$ natürlich nicht.
> Denn so funktioniert doch auch der Gram Schmidt
> Algorithmus, der eine Basis in eine Orthogonalbasis
> umrechnet.
Du kannst die orthogonale Basis $u_1,\ldots,u_r$ von $U$ zu einer Basis $u_1,\ldots,u_r, \tilde{u}_{1},\ldots,\tilde{u}_{n-r}$ von $V$ erweitern, wobei die dabei hinzugefügten Vektoren $\tilde{u}_{1},\ldots,\tilde{u}_{n-r}$ alle $\perp U$ sind, also in $U^{\perp}$ liegen. Hast Du nun den Vektor $v$ in dieser Basis von $V$ in der Form
[mm]v=\red{\sum_{i=1}^r \lambda_i u_i}+\blue{\sum_{j=1}^{n-r}\mu_j\tilde{u}_j}=\red{v_{\parallel}}+\blue{v_{\perp}}[/mm]
dargestellt, so kannst Du die [mm] $\lambda_i$ [/mm] bestimmen, indem Du die Skalarprodukte von $v$ mit [mm] $u_i$ [/mm] bildest und nach [mm] $\lambda_i$ [/mm] auflöst. Es ist jeweils
[mm]\lambda_i = \frac{}{}[/mm]
(und zwar, weil [mm] $u_i$ [/mm] auf allen anderen Basisvektoren senkrecht steht). Wenn Du nun diese [mm] $\lambda_i$ [/mm] verwendest, um [mm] $v_{\parallel}$ [/mm] zu bestimmen, dann ist, wie Du geschrieben hast,
[mm]v_{\parallel} =\sum_{i=1}^r\frac{}{}u_i[/mm]
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