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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mi 29.09.2010 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Matrix A = [mm] \pmat{ 2 & 2i \\ -2i & 5 }.
[/mm]
(a) Berechnen Sie für die beiden Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] die entsprechenden Projektionsmatrizen [mm] P_{\lambda_{1}} [/mm] und [mm] P_{\lambda_{2}}. [/mm]
(b) Rechnen Sie nach, dass tatsächlich
A = [mm] \lambda_{1}P_{\lambda_{1}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}P_{\lambda_{2}} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] = [mm] P_{\lambda_{1}} [/mm] + [mm] P_{\lambda_{2}}
[/mm]
gilt.
(c) Berechnen Sie [mm] A^{-2}.
[/mm]
(d) Berechnen Sie nochmals [mm] A^{\bruch{1}{2}} [/mm] und ln(A). |
Hallo,
meine Fragen sind die folgenden:
1(zu a). Wie geht man vor, wenn man Projetkionsmatrizen berechnen will?
2(zu c).Wie berechnet man [mm] A^{-2}?
[/mm]
3(zu d).Wie wende ich eine Funktion auf eine Matrix an. (Muss ich die Funktion auf jede Komponente anwenden?)
Ich hoffe, dass mir das jemand erklären kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Betrachten Sie die Matrix A = [mm]\pmat{ 2 & 2i \\
-2i & 5 }.[/mm]
>
> (a) Berechnen Sie für die beiden Eigenwerte [mm]\lambda_{1}[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}[/mm] die entsprechenden Projektionsmatrizen
> [mm]P_{\lambda_{1}}[/mm] und [mm]P_{\lambda_{2}}.[/mm]
Hallo,
das Stichwort zum Nachlesen ist "Spektraldarstellung".
Kochrezept:
Feststellung: die Matrix ist hermitesch, hat also nur reelle Eigenwerte, und sie ist unitär diagonalisierbar.
Bestimme eine ONB [mm] B=(v_1, v_2) [/mm] aus Eigenvektoren, wobei [mm] v_i [/mm] EV zum EW [mm] \lambda_i.
[/mm]
Es ist [mm] A=\lambda_1\underbrace{v_1*\overline{v_1^{T}}}_{=P_1}+\lambda_2\underbrace{v_2*\overline{v_2^{T}}}_{=P_2}.
[/mm]
>
> (b) Rechnen Sie nach, dass tatsächlich
> A = [mm]\lambda_{1}P_{\lambda_{1}}[/mm] + [mm]\lambda_{2}P_{\lambda_{2}}[/mm]
> und [mm]E_{2}[/mm] = [mm]P_{\lambda_{1}}[/mm] + [mm]P_{\lambda_{2}}[/mm]
> gilt.
>
> (c) Berechnen Sie [mm]A^{-2}.[/mm]
Naja, das kann man doch wirklich ohne große Kenntnisse tun, indem man invertiert und quadriert...
Hier kannst Du es Dir aber bequemer machen, indem Du [mm] A=\overline{U^{T}}diag(\lambda_1, \lambda_2)U [/mm] verwendest.
>
> (d) Berechnen Sie nochmals [mm]A^{\bruch{1}{2}}[/mm] und ln(A).
[mm] C:=$A^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] ist die Matrix, für welche gilt: C*C=A.
Die Diagonalisierung hilft.
B:=ln(A) ist die Matrix, für welche gilt: [mm] e^B=A. [/mm] (Stichwort: Matrixexponential.)
Auch hierfür dürfte die Diagonalisierung nützlich sein. Such' zuerst eine Matrix B' mit [mm] e^{B'}=diag(\lambda_1, \lambda_2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Do 30.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo folken, hallo Angela,
einige Bemerkungen zu (d):
1. Die Matrix A ist positiv, genauer: A [mm] \ge [/mm] E [mm] \ge [/mm] 0, also $(Ax)*x [mm] \ge [/mm] x*x [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IC^2$
[/mm]
(E sei die Einheitsmatrix)
2. Wegen 1. hat man einen "Funktionalkalkül" für stetige Funktionen f , die auf (0, [mm] \infty) [/mm] def. sind:
$f [mm] \to [/mm] f(A)$
Dann ist f(A) hermitesch, wenn f reellwertig ist und f(A) ist normal, wenn f komplexwertig ist.
3. Mit $ [mm] A^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ ist die eindeutig bestimmte positive und hermitesche Matrix C gemeint, für die gilt: [mm] C^2=A.
[/mm]
Setze mal
$C:= [mm] \wurzel{\lambda_1}P_{\lambda_1}+ \wurzel{\lambda_2}P_{\lambda_2}$
[/mm]
und zeige, dass C die geforderten Eigenschaften hat.
4. Es gibt genau ein hermitesches B mit [mm] $e^B=A$.
[/mm]
Setze mal
$B:= [mm] ln(\lambda_1)*P_{\lambda_1}+ln(\lambda_2)*P_{\lambda_2}$
[/mm]
und zeige, dass B die geforderten Eigenschaften hat.
Bei alldem ist natürlich zu verwenden, dass
A = $ [mm] \lambda_{1}P_{\lambda_{1}} [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{2}P_{\lambda_{2}} [/mm] $ und $ E_ $ = $ [mm] P_{\lambda_{1}} [/mm] $ + $ [mm] P_{\lambda_{2}} [/mm] $
gilt.
Weiter muß man sich noch überlegen, dass für s [mm] \in \IC [/mm] und eine Matrix P mit [mm] P^2=P [/mm] gilt:
[mm] $e^{sP}= E+(e^s-1)P$
[/mm]
Gruß FRED
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Hallo Fred,
danke, das war mir nicht klar.
Jetzt kommt meine Transferleistung:
für Teil c), also die Berechnung von [mm] A^{-2} [/mm] kann man sich das ja auch schon zunutze machen, nicht wahr?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Do 30.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke, das war mir nicht klar.
>
> Jetzt kommt meine Transferleistung:
>
> für Teil c), also die Berechnung von [mm]A^{-2}[/mm] kann man sich
> das ja auch schon zunutze machen, nicht wahr?
Hallo Angela,
geanau so ist es. Setzt man
$ B:= [mm] \bruch{1}{\lambda_1^2}\cdot{}P_{\lambda_1}+\bruch{1}{\lambda_2^2}\cdot{}P_{\lambda_2} [/mm] $
so rechnet man leicht nach:
$ [mm] B^2*A^2= [/mm] E$
Gruß FRED
>
> Gruß v. Angela
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Do 30.09.2010 | | Autor: | folken |
Danke euch für die Antworten. Habe mich mal zusätzlich noch in das Thema Spektraldarstellung eingelesen.
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