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| Aufgabe | In den folgenden Aufgaben sei der Grundkörper K algebraisch abgeschlossen.
1) Entscheiden Sie, ob eine projektiv algebraische Menge irreduzibel ist, genau dann, wenn ihr definierendes Ideal prim ist.
2) Zeigen Sie, dass das Bild folgender Abbildung eine projektiv algebraische Menge ist und bestimmen Sie Erzeuger eines definierendes Ideals.
[mm] \IP^{m}_{K}\times \IP^{n}_{K}\to \IP^{m*n+m+n}_{K}
[/mm]
[mm] ([x_{0}:...:x_{m}], [y_{0}:...:y_{n}])\mapsto [x_{0}*y_{0}:x_{0}*y_{1}:...:x_{0}*y_{n}:x_{1}*y_{1}:...:x_{m}*y_{n}] [/mm] |
Hallo!
Also zu 1):
Wir wissen bereits, dass eine affine algebraische Menge irreduzibel ist, genau dann, wenn ihr definierendes Ideal prim ist. Kann man das im Projektiven auf den affinen Fall zurückführen?
Zu 2): Also wenn man das Ideal direkt angeben kann (mit Erzegeugern), dann wird man sicherlich nachrechnen können, dass das Bild gerade die Nullstellenmenge dieses Ideales ist, doch wie finde ich die Erzeuger eines solchen Ideales?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Do 10.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:53 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> In den folgenden Aufgaben sei der Grundkörper K
> algebraisch abgeschlossen.
> 1) Entscheiden Sie, ob eine projektiv algebraische Menge
> irreduzibel ist, genau dann, wenn ihr definierendes Ideal
> prim ist.
> 2) Zeigen Sie, dass das Bild folgender Abbildung eine
> projektiv algebraische Menge ist und bestimmen Sie Erzeuger
> eines definierendes Ideals.
> [mm]\IP^{m}_{K}\times \IP^{n}_{K}\to \IP^{m*n+m+n}_{K}[/mm]
>
> [mm]([x_{0}:...:x_{m}], [y_{0}:...:y_{n}])\mapsto [x_{0}*y_{0}:x_{0}*y_{1}:...:x_{0}*y_{n}:x_{1}*y_{1}:...:x_{m}*y_{n}][/mm]
Zu 2): bezeichne die Koordinate von [mm] $\mathbb{P}^{m*n+m+n}$, [/mm] in der [mm] $x_i y_j$ [/mm] steht, mit [mm] $z_{ij}$. [/mm] Dann gilt doch [mm] $z_{ij} z_{k\ell} [/mm] = [mm] z_{i\ell} z_{kj}$ [/mm] fuer alle [mm] $[z_{00} [/mm] : [mm] \dots [/mm] : [mm] z_{mn}]$ [/mm] im Bild. Zeige, dass diese Relationen das Bild erzeugen.
LG Felix
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