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Hallo. Wollte mal fragen, wie man den Projektiven Abschluss bestimmt? Habe das irgendwie noch nicht verstanden. Kann ja mal zwei Beispiele bringen:
1) sei [mm] f=x^3+xy^2+y+1+x^2y^2 [/mm] dann ist der projektive Abschluss [mm] f^k=zx^3+zxy^2+z^3y+z^4+x^2y^2.
[/mm]
2) Sei [mm] f=x^2+1-y [/mm] dann ist der projektive Abschluss [mm] f^k=x^2+z^2-y^z.
[/mm]
3) sei [mm] f=x^2+y^2-1 [/mm] dann ist der projektive Abschluss [mm] f^k=x^2+y^2-z^2
[/mm]
wie gesagt, ich versteh da irgendwie das Prinzip dahinter nicht, wie man diesen Abschluss bestimmt, selbst unsere Def. hilft mir nicht. Kann die ja auch nochmal nennen:
Sei [mm] f=\summe_{endlich}^{}\lambda_\beta*x^\beta \in K[x_1,....,x_n] [/mm] ein nicht notwendigerweise homogenes Polynom vom Grad d, d.h. [mm] d=max_\beta |\beta| [/mm] dann heißt
[mm] f^k=\summe_{endlich}^{}\lambda_\beta*x^{d-|\beta|} [/mm]
die Homogenisierung von f. [mm] f^k [/mm] ist ein homogenes Polxnom vom Grad d, dass in der Karte Z=1 mit f übereinstimmt. [mm] V(f^k) \subset \IP^n(K) [/mm] heißt der projektive Abschluss von [mm] V(f^k) \subset K^n [/mm] in [mm] \IP^n(K) [/mm]
Danke für Erklärungen.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Fr 25.07.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hallo. Wollte mal fragen, wie man den Projektiven Abschluss
> bestimmt? Habe das irgendwie noch nicht verstanden. Kann ja
> mal zwei Beispiele bringen:
>
> 1) sei [mm]f=x^3+xy^2+y+1+x^2y^2[/mm] dann ist der projektive
> Abschluss [mm]f^k=zx^3+zxy^2+z^3y+z^4+x^2y^2.[/mm]
>
> 2) Sei [mm]f=x^2+1-y[/mm] dann ist der projektive Abschluss
> [mm]f^k=x^2+z^2-y^z.[/mm]
[mm] f^k=x^2+z^2-yz
[/mm]
> 3) sei [mm]f=x^2+y^2-1[/mm] dann ist der projektive Abschluss
> [mm]f^k=x^2+y^2-z^2[/mm]
Das sind nicht die projektiven Abschlüsse, sondern die Homogenisierungen.
> wie gesagt, ich versteh da irgendwie das Prinzip dahinter
> nicht, wie man diesen Abschluss bestimmt, selbst unsere
> Def. hilft mir nicht. Kann die ja auch nochmal nennen:
>
> Sei [mm]f=\summe_{endlich}^{}\lambda_\beta*x^\beta \in K[x_1,....,x_n][/mm]
> ein nicht notwendigerweise homogenes Polynom vom Grad d,
> d.h. [mm]d=max_\beta |\beta|[/mm] dann heißt
>
> [mm]f^k=\summe_{endlich}^{}\lambda_\beta*x^{d-|\beta|}[/mm]
>
> die Homogenisierung von f. [mm]f^k[/mm] ist ein homogenes Polxnom
> vom Grad d, dass in der Karte Z=1 mit f übereinstimmt.
Das ist irgendwie nicht rund. Vielleicht
[mm] f^k=\summe_{endl.}^{}\lambda_\beta*x^\beta*z^{d-|\beta|}
[/mm]
> [mm]V(f^k) \subset \IP^n(K)[/mm] heißt der projektive Abschluss von
> [mm]V(f^k) \subset K^n[/mm] in [mm]\IP^n(K)[/mm]
Der projektive Abschluß ist dann das Nullstellengebilde des homogenisierten Polynoms im projektiven Raum.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Achso, aber kannst du mir dann erklären, wie diese Homogenisierungen zustande kommen? Das versteh ich auch noch nicht.
Auch wenn die Def. komisch ist, so haben wir die bekommen.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Sa 26.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Achso, aber kannst du mir dann erklären, wie diese
> Homogenisierungen zustande kommen? Das versteh ich auch
> noch nicht.
Also: homogenisieren heisst, dass alle Monome nachher den gleichen Grad haben sollen. Der Grad ist dabei die Summe der Exponenten der Variablen (kein Exponent = 1), also z.B. der Grad von $x [mm] y^5 z^2$ [/mm] ist $1 + 5 + 2 = 8$, und der Grad von [mm] $x^3 [/mm] y$ ist $3 + 1 + 0 = 4$ (die Variable $z$ kommt ja gar nicht vor).
Wenn du nun das Polynom $x [mm] y^5 [/mm] + 7 [mm] x^3 [/mm] y$ hast, und as homogenisieren willst (in der Variablen $z$), dann siehst du dass die einzelnden Summanden verschiedene Grade haben: der erste hat Grad 5+1=6 und der zweite Grad 3+1=4. Du nimmst dir nun das Maximum davon, in diesem Fall 6, und fuegst bei jedem Summand passend viele $z$ hinzu damit du ueberall das Maximum hast, also 6: zu $x [mm] y^5$ [/mm] brauchst du nichts hinzuzufuegen, und zu $7 [mm] x^3 [/mm] y$ fuegst ein [mm] $z^2$ [/mm] hinzu, weil $(3+1)+2 = 4+2 = 6$ ist.
Oder ein groesseres Beispiel:
$f = [mm] x^2 y^2 [/mm] + x + y + [mm] x^3$
[/mm]
Der groesste Grad ist hier $2+2=4$ (dann gibt's was von Grad 1, nochmal Grad 1 und Grad 3); du willst also alles auf Grad 4 bringen.
Damit bekommst du [mm] $f^k [/mm] = [mm] x^2 y^2 [/mm] + x [mm] z^3 [/mm] + y [mm] z^3 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] z$.
Ist das jetzt etwas klarer?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Sa 26.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi super vielen dank.
hast super erklärt.
gruß
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