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Ich hab jetzt ungefähr 12 Definitionen über den projektiven Raum gelesen, die nichts miteinander gemein haben und ich versteh das immer noch nicht.
Was heißt denn die Menge aller 1-Dimensionalen Untervektorräume??
Ich dachte Ebenen sing zweidimensional.
Wie heißt der Projektive Raum von [mm] \IR^3? \IR^2 [/mm] oder [mm] \IR [/mm] ?
Kann mir das jemand erklären?
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> Ich hab jetzt ungefähr 12 Definitionen über den
> projektiven Raum gelesen, die nichts miteinander gemein
> haben und ich versteh das immer noch nicht.
>
> Was heißt denn die Menge aller 1-Dimensionalen
> Untervektorräume??
>
> Ich dachte Ebenen sind zweidimensional.
>
> Wie heißt der Projektive Raum von [mm]\IR^3? \IR^2[/mm] oder [mm]\IR[/mm] ?
>
> Kann mir das jemand erklären?
Hallo,
nenne uns doch bitte einmal zwei der Definitionen, die dir
so unverträglich miteinander scheinen. Dann kann man wohl
besser auf deine Frage eingehen.
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Sei $V$ ein K-VR und K ein Körper.
Dann ist die Menge [mm] $\IP(V)=\{1-dim \mbox{ UVR } W\subset V\}$
[/mm]
der projektive Raum zu V.
[mm] \IP^n(K)=\IP(K^{n+1})=\{Geraden durch 0\in K^{n+1}\}
[/mm]
heißt n-dimensionaler projektiver Raum. |
Was ich speziell nicht verstehe ist die Sache mit der 1-Dimensionalität.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V[/mm] ein K-VR und K ein Körper.
>
> Dann ist die Menge [mm]\IP(V)=\{1-dim \mbox{ UVR } W\subset V\}[/mm]
>
> der projektive Raum zu V.
Das nennen wir mal Definition A
>
> [mm]\IP^n(K)=\IP(K^{n+1})=\{Geraden durch 0\in K^{n+1}\}[/mm]
>
> heißt n-dimensionaler projektiver Raum.
Und das nennen wir Definition B
B ist ein Spezialfall von A (mit [mm] V=K^{n+1})
[/mm]
> Was ich speziell nicht verstehe ist die Sache mit der
> 1-Dimensionalität.
Was verstehst Du daran nicht ?
FRED
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Nehmen wir mal an, [mm] $V=\IR^3$
[/mm]
Ist der projektive Raum dann [mm] $\IP(\IR^3)=\IR$?
[/mm]
Was ist mit [mm] \IR^2 [/mm] ?
Ich versteh das generell nicht. Ich kann Dir nicht geau sagen was ich nicht verstehe, da der projektive raum an sich ein Rätsel für mich zu sein scheint.
Ich weiß z.B. dass es Ebenen im projektiven Raum gibt. In meiner Welt sind ebenen aber 2-Dimensinal. Wie passt das denn??
Und eine Karte von [mm] \IR^n [/mm] ist [mm] \IR^{n-1} [/mm] was an sich ja auch nicht eindimensional ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Nehmen wir mal an, [mm]V=\IR^3[/mm]
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> Ist der projektive Raum dann [mm]\IP(\IR^3)=\IR[/mm]?
Nein. [mm] \IP(\IR^3) [/mm] besteht aus allen 1 - dim Unterräumen des [mm] \IR^3, [/mm] also aus allen Geraden durch den Ursprung
FRED
> Was ist mit [mm]\IR^2[/mm] ?
>
> Ich versteh das generell nicht. Ich kann Dir nicht geau
> sagen was ich nicht verstehe, da der projektive raum an
> sich ein Rätsel für mich zu sein scheint.
>
> Ich weiß z.B. dass es Ebenen im projektiven Raum gibt. In
> meiner Welt sind ebenen aber 2-Dimensinal. Wie passt das
> denn??
>
> Und eine Karte von [mm]\IR^n[/mm] ist [mm]\IR^{n-1}[/mm] was an sich ja auch
> nicht eindimensional ist.
>
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Warum durch den Ursprung? Weil das so definiert ist, oder ist das zwangsläufig so.
Parallele geraden schneiden sich im projektiven Raum im unendlichen. Wie passt das zu der Definition?
Wenn alle Geraden durch den Nullpunkt der projektive Raum sind wie können die denn parallel sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Warum durch den Ursprung? Weil das so definiert ist,
Ja.
$ [mm] \IP^n(K)=\IP(K^{n+1})=\{Geraden durch 0\in K^{n+1}\} [/mm] $
> oder
> ist das zwangsläufig so.
>
> Parallele geraden schneiden sich im projektiven Raum im
> unendlichen. Wie passt das zu der Definition?
Du mußt die Def. parat haben ! Die Elemente eines proj. Raumes nennt man "Punkte"
Wie sind Geraden def. ?
FRED
>
> Wenn alle Geraden durch den Nullpunkt der projektive Raum
> sind wie können die denn parallel sein?
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Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten nennt man Gerade.
Die Elemente des Projektiven Raums sind Punkte. Die Besispielsweise auch so [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] aussehen können.
Aus den ganzen Punkten bilde ich Geraden und aus den Geraden Ebenen und aus den Ebenen Räume, die immer kleiner sind als mein zugrundeliegender Vektorraum. Hab ich das so richtig verstanden??
Das alle durch den ursprung ,üssen ist aber auch klar, wenn man sich überlegt, dass der projektive Raum ein Vektorraum ist, muss er auch das Nullelement enthalten. Oder hab ich das falsch abgeleitet??
Was ist der Horizont?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 21.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei [mm]V[/mm] ein K-VR und K ein Körper.
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> Dann ist die Menge [mm]\IP(V)=\{1-dim \mbox{ UVR } W\subset V\}[/mm]
>
> der projektive Raum zu V.
>
> [mm]\IP^n(K)=\IP(K^{n+1})=\{Geraden durch 0\in K^{n+1}\}[/mm]
>
> heißt n-dimensionaler projektiver Raum.
> Was ich speziell nicht verstehe ist die Sache mit der
> 1-Dimensionalität.
Hallo dr_geissler,
ich habe da ein Papier gefunden, das dir möglicherweise
helfen kann, ein anschauliches Bild der projektiven Ebene
[mm] \IP^2(\IR) [/mm] zu gewinnen:
![[]](/images/popup.gif) H.G. Rück
LG Al-Chw.
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