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| Aufgabe | Wir bezeichenen G:= {f : [mm] \IR \to \IR [/mm] | f(x) = f(-x) für alle x [mm] \in \IR} [/mm] die Menge aller geraden Funkionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Weiter definieren wir die Abbildung S: [mm] \IR^\IR \to \IR^\IR [/mm] durch (Sf)(x) := f(-x). Zeigen Sie:
a) G ist ein Unterraum von [mm] R^R [/mm] und S ist linear
b) π := 0,5(id + S) ist ein Projektor von [mm] R^R [/mm] auf G
c) Bestimmen sie das zugehörige direkte Komplement von G in [mm] R^R [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei der a) hab ich eigentlich keine Probleme, nur bei b) und c) komme ich nicht wirklich weiter, ich habe das noch nie gezeigt, und weiß auch nicht wie das gehen soll.
Habe überall nach einem Ansatz gesucht, aber keinen gefunden.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wir bezeichenen G:= {f : [mm]\IR \to \IR[/mm] | f(x) = f(-x) für
> alle x [mm]\in \IR}[/mm] die Menge aller geraden Funkionen von [mm]\IR[/mm]
> nach [mm]\IR.[/mm] Weiter definieren wir die Abbildung S: [mm]\IR^\IR \to \IR^\IR[/mm]
> durch (Sf)(x) := f(-x). Zeigen Sie:
>
> a) G ist ein Unterraum von [mm]R^R[/mm] und S ist linear
> b) π := 0,5(id + S) ist ein Projektor von [mm]R^R[/mm] auf G
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie so oft, liegt auch hier der Schlüssel zur Lösung in den Definitionen.
Wenn Du b) zeigen willst, mußt Du natürlich erstmal wissen, was mit "Projektor eines Raumes auf einen Unterraum" gemeint ist.
Du solltest also mal in Deinen Unterlagen nachschlagen, was ein Projektor ist.
Überlegen kannst Du Dir schonmal, daß das Bild von [mm] \pi [/mm] eine Teilmenge von G ist.
Betrachte dazu für [mm] f\in \IR^{\IR} [/mm] die Funktion [mm] \pi(f) [/mm] und prüfe, ob sie gerade ist. Was mußt Du dafür überprüfen?
Gruß v. Angela
> c) Bestimmen sie das zugehörige direkte Komplement von G
> in [mm]R^R[/mm]
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Vielen Dank, für die schnelle Antwort :)
Um zu überprüfen ob eine Funktion gerade ist, muss man überprüfen ob gilt:
f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2) und f(va) = f(v)a , mit v1,v2,v [mm] \in [/mm] V und a [mm] \in [/mm] K.
Ich hab mir in den Unterlagen die Definition eines Projektors nachgelesen:
[mm] \pi [/mm] ist linear mit [mm] \pi²=\pi
[/mm]
es gilt: [mm] im(\pi)=G [/mm] und [mm] ker(\pi)=\IR^\IR
[/mm]
stimmt das so?
auserdem ist [mm] \IR^\IR [/mm] = [mm] im(\pi) \oplus ker(\pi)
[/mm]
[mm] (\pi [/mm] ist die Porjektion von [mm] \IR^\IR [/mm] auf [mm] im(\pi) [/mm] entlang [mm] ker(\pi)
[/mm]
Woher weiß ich denn, dass das Bild von [mm] \pi [/mm] eine Teilmenge von G ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Sa 15.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, für die schnelle Antwort :)
>
> Um zu überprüfen ob eine Funktion gerade ist, muss man
> überprüfen ob gilt:
>
> f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2) und f(va) = f(v)a , mit v1,v2,v
> [mm]\in[/mm] V und a [mm]\in[/mm] K.
Nein, die Def. von gerade ist anders
>
> Ich hab mir in den Unterlagen die Definition eines
> Projektors nachgelesen:
>
> [mm]\pi[/mm] ist linear mit [mm]\pi²=\pi[/mm]
[mm]\pi^2=\pi[/mm] !!!
> es gilt: [mm]im(\pi)=G[/mm]
Ja
> und [mm]ker(\pi)=\IR^\IR[/mm]
Nein !!
> stimmt das so?
> auserdem ist [mm]\IR^\IR[/mm] = [mm]im(\pi) \oplus ker(\pi)[/mm]
Ja
> [mm](\pi[/mm] ist
> die Porjektion von [mm]\IR^\IR[/mm] auf [mm]im(\pi)[/mm] entlang [mm]ker(\pi)[/mm]
>
> Woher weiß ich denn, dass das Bild von [mm]\pi[/mm] eine Teilmenge
> von G ist?
Rechne es nach
FRED
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wir bezeichenen G:= {f : [mm]\IR \to \IR[/mm] | f(x) = f(-x) für
> alle x [mm]\in \IR}[/mm] die Menge aller geraden Funkionen von [mm]\IR[/mm]
> nach [mm]\IR.[/mm] Weiter definieren wir die Abbildung S: [mm]\IR^\IR \to \IR^\IR[/mm]
> durch (Sf)(x) := f(-x). Zeigen Sie:
>
> a) G ist ein Unterraum von [mm]R^R[/mm] und S ist linear
> b) π := 0,5(id + S) ist ein Projektor von [mm]R^R[/mm] auf G
> c) Bestimmen sie das zugehörige direkte Komplement von G
> in [mm]R^R[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Bei der a) hab ich eigentlich keine Probleme, nur bei b)
> und c) komme ich nicht wirklich weiter, ich habe das noch
> nie gezeigt, und weiß auch nicht wie das gehen soll.
> Habe überall nach einem Ansatz gesucht, aber keinen
> gefunden.
Bei b) mußt Du zeigen: [mm] \pi(R^R)=G [/mm] und [mm] \pi^2= \pi
[/mm]
Zu c): Das direkte Komplement von G in $ [mm] R^R [/mm] $ ist gerade der Kern von [mm] \pi
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
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Vielen Dank für die schnelle Antwort :)
Des versteh ich glaub ich warum ich das zeigen muss, nur mir ist nicht so ganz klar wie man das macht.
War in der Vorlesung krank, und hab jetzt versucht es mir zu erschließen, aber das hat nicht wirklich geklappt...
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> Des versteh ich glaub ich warum ich das zeigen muss, nur
> mir ist nicht so ganz klar wie man das macht.
Hallo,
dieser Lösungsansatz ist etwas vage...
Wir hätten schon gern etwas von Deinen Versuchen/Überlegungen gesehen.
Fred schrieb:
"Bei b) mußt Du zeigen: $ [mm] \pi(R^R)=G [/mm] $ und $ [mm] \pi^2= \pi [/mm] $
Zu c): Das direkte Komplement von G in $ [mm] R^R [/mm] $ ist gerade der Kern von $ [mm] \pi [/mm] $"
Wenn Du zeigen willst, daß [mm] \pi(R^R)=G, [/mm] dann mußt Du ja beide Inklusionen zeigen.
Zeige also, daß für jedes [mm] f\in \IR^{\IR} [/mm] die Funktion [mm] \pi(f) [/mm] gerade ist.
Und zeige, daß auf jede gerade Funktion aus G eine Funktion aus [mm] \IR^{\IR} [/mm] abgebildet wird.
[mm] \pi^2= \pi [/mm] rechnest Du kurzerhand vor, indem Du zeigst, daß [mm] \pi^2(f) =\pi [/mm] (f) für jedes f gilt.
Zu c) Was bedeutet es denn, wenn [mm] Kern\pi [/mm] das direkte Komplement von G in [mm] \IR^{\IR} [/mm] ist?
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Wir bezeichnen mit G :={f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \R| [/mm] f(x)=f(-x) für alle x [mm] \in \IR} [/mm] die Menge aller geraden Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Weiter definieren
wir die Abbildung S: [mm] \IR^\IR [/mm] -> [mm] \IR^\IR [/mm] durch (Sf)
x
: =f(-x)
. Zeigen Sie:
(a) G ist ein Unterraum von [mm] \IR^\IR [/mm] und S ist linear.
(b) [mm] \pi [/mm] := 0.5(id+S) ist ein Projektor von [mm] \IR [/mm] auf G.
(c) Bestimmen sie das zugehörige direkte Komplement von G in [mm] \IR^\IR. [/mm] |
Ich hänge hauptsächlich in Aufgabenteil c).
In a) ist klar, dass man die Unterraumeigenschaft zeigen muss. Also der Nullvektor liegt in G, die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und die skalare Multiplikation. Dass S linear ist ist auch einfach zu zeigen.
Bei Aufgabe b) sage cih einfach [mm] \pi(f(x)) [/mm] und löse es einfach auf. Rauskommt f(0) und das ist ja in G. Also ist [mm] \pi [/mm] ein Projektor von [mm] \IR^\IR [/mm] nach G
Bei c) hänge ich aber! Ich weiß, dass [mm] \IR^\IR=G \opuls [/mm] U, wobei U das entsprechende Komplement von G sein soll. Außerdem weiß ich aus der Aufgabe davor, dass wenn G das Bild von [mm] \pi [/mm] ist, dass U der Kern von [mm] \pi, [/mm] also [mm] ker(\pi) [/mm] sein muss. Wenn ich nun verscuhe die Definition auf [mm] \pi [/mm] anzuwenden komme ich stets zu dem Ergebnis: 0=0... Damit kann cih nichts anfangen... heißt das vielleicht, dass U ={0} ist? Aber rein von der Logik her müsste doch das Komplement gerade die Menge aller ungeraden Funktionen sein?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wir bezeichnen mit G :={f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\R|[/mm] f(x)=f(-x) für
> alle x [mm]\in \IR}[/mm] die Menge aller geraden Funktionen von [mm]\IR[/mm]
> nach [mm]\IR.[/mm] Weiter definieren
> wir die Abbildung S: [mm]\IR^\IR[/mm] -> [mm]\IR^\IR[/mm] durch (Sf)
>
x
: =f(-x)
. Zeigen Sie:
> (a) G ist ein Unterraum von [mm]\IR^\IR[/mm] und S ist linear.
> (b) [mm]\pi[/mm] := 0.5(id+S) ist ein Projektor von [mm]\IR[/mm] auf G.
> (c) Bestimmen sie das zugehörige direkte Komplement von G
> in [mm]\IR^\IR.[/mm]
> Ich hänge hauptsächlich in Aufgabenteil c).
>
> Bei Aufgabe b) sage cih einfach [mm]\pi(f(x))[/mm] und löse es
> einfach auf. Rauskommt f(0)
Hallo,
daß in jedem Falle [mm] (\pi(f))(x)= [/mm] f(0) ist, halte ich für ein Gerücht...
Was hast Du denn dafür gerechnet?
Gib für jeden Deiner Schritte eine Begründung.
> und das ist ja in G.
Dann weißt Du, daß Bild [mm] \pi \subseteq [/mm] G.
Du mußt noch überlegen, ob [mm] G\subseteq [/mm] Bild [mm] \pi. [/mm] (Das ist leicht.)
> Also ist
> [mm]\pi[/mm] ein Projektor von [mm]\IR^\IR[/mm] nach G
Nein, etwas Wichtiges fehlt noch, es reicht nicht, daß G das Bild von [mm] \pi [/mm] ist.
Was fehlt?
> Bei c) hänge ich aber! Ich weiß, dass [mm]\IR^\IR=G \opuls[/mm] [mm] \oplus [/mm] U,
> wobei U das entsprechende Komplement von G sein soll.
Woher weißt Du das?
> Außerdem weiß ich aus der Aufgabe davor, dass wenn G das
> Bild von [mm]\pi[/mm] ist, dass U der Kern von [mm]\pi,[/mm] also [mm]ker(\pi)[/mm]
Achso, es gab eine vorangehende Aufgabe, in welcher bereits der Kern bestimmt wurde.
> sein muss. Wenn ich nun verscuhe die Definition auf [mm]\pi[/mm]
> anzuwenden komme ich stets zu dem Ergebnis: 0=0...
Welche Definition?
Mir ist gerade nicht ganz klar, wovon Du redest. Vielleicht machst Du mal vor, was Du meinst.
0=0 ist immerhin nichts Verkehrtes.
> Damit
> kann cih nichts anfangen... heißt das vielleicht, dass U ={0} ist?
Gewiß nicht.
> Aber rein von der Logik her müsste doch das
> Komplement gerade die Menge aller ungeraden Funktionen
> sein?
Ob "von der Logik her" weiß ich nicht, aber ausrechnen kann man das.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Bestimmt. Aber man müßte etwas mehr von dem sehen, was Du tust.
Gruß v. Angela
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