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Prüfen auf Vektorraum: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Di 29.08.2017
Autor: nisar001

Aufgabe
Bestimmen Sie für alle Funktionen der Form [mm] ae^{-x}cos(x)+e^{-x}sin(x), a\in\IR [/mm] ob mit der üblichen Addition und Multiplikation mit Skalaren ein Vektorraum vorliegt. Falls ja, bestimmen Sie die Dimension.

Guten Abend alle zusammen,

ich prüfe die Vektorraumaxiome und kriege raus, dass es sich dabei um einen Vektorraum handelt, aber laut den Lösungen ist es keiner. Welches Axiom ist nicht erfüllt? Ich sehe es nicht. Wäre super, wenn mir jemand weiter helfen könnte.

Viele Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Prüfen auf Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Mi 30.08.2017
Autor: leduart

Hallo
wieso gehört  [mm] \alpha*dem [/mm] Ding dazu? wie hast du das gezeigt?
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Prüfen auf Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:59 Mi 30.08.2017
Autor: fred97


> Bestimmen Sie für alle Funktionen der Form
> [mm]ae^{-x}cos(x)+e^{-x}sin(x), a\in\IR[/mm] ob mit der üblichen
> Addition und Multiplikation mit Skalaren ein Vektorraum
> vorliegt. Falls ja, bestimmen Sie die Dimension.
>  Guten Abend alle zusammen,
>  
> ich prüfe die Vektorraumaxiome und kriege raus, dass es
> sich dabei um einen Vektorraum handelt,

ich habs auch mal probiert,  aber ein Kandidat für den Nullvektor hat sich bei mir nicht vorgestellt..............

aber morgen ist auch noch ein tag.



> aber laut den
> Lösungen ist es keiner. Welches Axiom ist nicht erfüllt?
> Ich sehe es nicht. Wäre super, wenn mir jemand weiter
> helfen könnte.
>  
> Viele Grüße
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Prüfen auf Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 Mi 30.08.2017
Autor: fred97

Ergänzend zu meiner ersten Antwort: für $a [mm] \in \IR$ [/mm] setzen wir

[mm] f_a(x)= ae^{-x}cos(x)+e^{-x}sin(x)$ [/mm] und betrachten die Funktionenmenge

[mm] $V=\{f_a: a \in \IR\}$ [/mm]

und statten diese aus mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation.

Wie Du nun die Vektorraumaxiome nachgeprüft hast, ist mir ein Rätsel.

Wäre $V$ ein Vektorraum, so wäre mit [mm] f_1 [/mm] auch [mm] $2f_1$ [/mm] ein Element in $V$.


Es ist

[mm] $2f_1(x)= 2e^{-x}cos(x)+2e^{-x}sin(x).$ [/mm]

Wäre [mm] $2f_1 \in [/mm] V$, so gäbe es ein $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit

[mm] 2f_1=f_a. [/mm]

Rechne nach, dass dann folgen würde:

[mm] $f_{2-a}(x)=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Das hätte zum Beispiel zur Konsequenz:

     die Funktion [mm] $\tan$ [/mm] ist konstant !



Bezug
                
Bezug
Prüfen auf Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 Mi 30.08.2017
Autor: nisar001

Super, vielen lieben Dank. Habe es jetzt verstanden. Super erklärt :)

LG

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