Prüfung Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Beinling |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{fuer } x \le\mbox{ 0} \\ cos(x)+x, & \mbox{fuer } x > \mbox{ o} \end{cases}
[/mm]
auf Differenzierbarkeit. Bestimmen Sie dazu zunächst f' für x<0 und x>0 und untersuchen Sie die Existenz von f'(0). |
Hallo,
also bisher bin ich wie folgt vorgegangen:
f'(x) für x < 0: [mm] e^x
[/mm]
f'(x) für x > 0: -sin(x)+1
Also: f'(0) [mm] \to [/mm] (x [mm] \le [/mm] 0) = [mm] e^x
[/mm]
So, nun habe ich doch alle Ableitungen durchgeführt und somit bewiesen, dass die gegebene Funktion diffbar ist. Oder?
Ich könnte noch schreiben:
[mm] f'(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{fuer } x\in \mbox{ ]-unendl., 0]} \\ -sin(x)+1, & \mbox{für } x\in \mbox{ ]0, +unendl.[} \end{cases}
[/mm]
Es gibt doch nun keine Lücke mehr...
Mir kommt nur diese Aufgabe zu einfach vor (?)
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Beinling,
> Überprüfen Sie die Funktion
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> [mm]f(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{fuer } x \le\mbox{ 0} \\ cos(x)+x, & \mbox{fuer } x > \mbox{ o} \end{cases}[/mm]
>
> auf Differenzierbarkeit. Bestimmen Sie dazu zunächst f'
> für x<0 und x>0 und untersuchen Sie die Existenz von
> f'(0).
> Hallo,
>
> also bisher bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> f'(x) für x < 0: [mm]e^x[/mm]
> f'(x) für x > 0: -sin(x)+1
>
> Also: f'(0) [mm]\to[/mm] (x [mm]\le[/mm] 0) = [mm]e^x[/mm]
>
> So, nun habe ich doch alle Ableitungen durchgeführt und
> somit bewiesen, dass die gegebene Funktion diffbar ist.
> Oder?
Gezeigt hast Du zunächst, daß [mm]e^{x}[/mm] für [mm] x \le 0[/mm] differenzierbar ist.
Ebenso hast Du gezeigt, daß [mm]\cos\left(x\right)+x[/mm] für x > 0 differenzierbar ist.
>
> Ich könnte noch schreiben:
> [mm]f'(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{fuer } x\in \mbox{ ]-unendl., 0]} \\ -sin(x)+1, & \mbox{für } x\in \mbox{ ]0, +unendl.[} \end{cases}[/mm]
>
> Es gibt doch nun keine Lücke mehr...
> Mir kommt nur diese Aufgabe zu einfach vor (?)
Zu untersuchen ist jetzt, ob
[mm]\limes_{x \to 0, \ x \le 0}e^{x}=\limes_{x \to 0, \ x > 0}{-\sin\left(x\right)+1}[/mm]
gilt.
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Beinling |
Hallo MathePower,
> Zu untersuchen ist jetzt, ob
>
> [mm]\limes_{x \to 0, \ x \le 0}e^{x}=\limes_{x \to 0, \ x > 0}{-\sin\left(x\right)+1}[/mm]
>
> gilt.
Ok, ich vergleiche also die beiden Grenzwerte aus
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-}e^x [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}-sin(x)+1.
[/mm]
Hierbei komme ich (Differenzenquotient) zu folgendem Ergebnis:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-}e^x [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0^-}\bruch{e^x-1}{x} [/mm] = 1 und
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+}-sin(x)+1 [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}\bruch{-sin(x)}{x} [/mm] = 1
Ergebnis: Die beiden GW stimmen überein! Stetigkeit gegeben! Differenzierbarkeit gegeben!
Richtig so?
Danke!
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Hallo Beinling,
> Hallo MathePower,
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> > Zu untersuchen ist jetzt, ob
> >
> > [mm]\limes_{x \to 0, \ x \le 0}e^{x}=\limes_{x \to 0, \ x > 0}{-\sin\left(x\right)+1}[/mm]
>
> >
> > gilt.
>
> Ok, ich vergleiche also die beiden Grenzwerte aus
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-}e^x[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}-sin(x)+1.[/mm]
>
> Hierbei komme ich (Differenzenquotient) zu folgendem
> Ergebnis:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-}e^x[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-}\bruch{e^x-1}{x}[/mm] = 1 und
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}-sin(x)+1[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}\bruch{-sin(x)}{x}[/mm] = 1
>
> Ergebnis: Die beiden GW stimmen überein! Stetigkeit
> gegeben! Differenzierbarkeit gegeben!
>
> Richtig so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Beinling |
Vielen Dank MathePower!
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