Prüfung auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Was denkst du denn?
Ist diese Reihe konvergent oder divergent?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> Was denkst du denn?
> Ist diese Reihe konvergent oder divergent?
Sie nähert sich dem Wert -0,22212 an (Laut Taschenrechner). Daher würde ich konvergent sagen
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Ja, die Reihe konvergiert.
Es bietet sich also das Majorantenkriterium an.
Wenn ich die Reihe nach oben durch eine konvergente Majorante abschätzen kann, dann konvergiert auch unsere Reihe.
Stelle dir mal vor du würdest nicht diese Folge potenzieren, sondern eine Konstante. Welcher bestimmten Reihe würde dies dann ähnlich sehen?
Das kannst du als Grundlage deiner Abschätzung benutzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> Ja, die Reihe konvergiert.
> Es bietet sich also das Majorantenkriterium an.
>
> Wenn ich die Reihe nach oben durch eine konvergente
> Majorante abschätzen kann, dann konvergiert auch unsere
> Reihe.
Was ist mit "abschätzen" gemeint? Ist damit gemeint eine Majorante zu "finden" ? (entschuldige meine nicht-mathematische Ausdrucksweise)
> Stelle dir mal vor du würdest nicht diese Folge
> potenzieren, sondern eine Konstante. Welcher bestimmten
> Reihe würde dies dann ähnlich sehen?
>
> Das kannst du als Grundlage deiner Abschätzung benutzen.
Da stehe ich auf dem Schlauch..
Wie genau finde ich denn eine passende Majorante? Oder ergibt sich das auch wieder nur durch Erfahrung und Übung :-( ?
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Naja, Erfahrung und Übung spielt sicherlich immer eine Rolle.
Aber deshalb löst du ja solche Aufgaben.
> Was ist mit "abschätzen" gemeint? Ist damit gemeint eine Majorante zu
> "finden" ?
Ja, eigentlich schon.
Man kann auf zwei Arten abschätzen.
Entweder nach oben, oder nach unten.
Wenn du eine Majorante finden möchtest, dann schätzt du nach oben ab.
Du möchtest also etwas finden, was auf jeden Fall größer ist, als das was du bisher hast.
Wenn du eine Minorante finden möchtest, dann schätzt du nach unten ab.
Wir wollen hier eine Majorante finden.
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n-3}{n+8}\right)^{n^2}\leq\dotso$
[/mm]
Nun hatte ich als ersten Tipp gegeben, dass du mal die Basis durch etwas konstantes abschätzen sollst.
Versuche mal eine geeignete Konstante zu finden.
Welcher bekannten Reihe ähnelt dies dann?
Wie können wir weiter abschätzen um auch wirklich etwas zu erhalten von dem wir wissen, dass es konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> Nun hatte ich als ersten Tipp gegeben, dass du mal die
> Basis durch etwas konstantes abschätzen sollst.
> Versuche mal eine geeignete Konstante zu finden.
Ich versuche eine Konstante für die Basis zu finden die größer ist als [mm] \bruch{n-3}{n+8}
[/mm]
Naja 1 ist doch größer oder nicht?
> Welcher bekannten Reihe ähnelt dies dann?
> Wie können wir weiter abschätzen um auch wirklich etwas
> zu erhalten von dem wir wissen, dass es konvergiert.
Wenn ich für das "n" der gegebenen Reihe eine Zahl einsetze und das Ergebnis mit dem Ergebnis der Reihe von [mm] 1/n^2 [/mm] vergleiche, sehe ich doch dass [mm] 1/n^2 [/mm] größer ist und somit eine gültige Majorante, und somit auch die gegebene Reihe konvergieren muss( falls das verständlich ist (?))
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Hallo jengo,
schau nochma in Deine Aufgabe.
> > Nun hatte ich als ersten Tipp gegeben, dass du mal die
> > Basis durch etwas konstantes abschätzen sollst.
> > Versuche mal eine geeignete Konstante zu finden.
> Ich versuche eine Konstante für die Basis zu finden die
> größer ist als [mm]\bruch{n-3}{n+8}[/mm]
>
> Naja 1 ist doch größer oder nicht?
Ja, sicher.
> > Welcher bekannten Reihe ähnelt dies dann?
>
> > Wie können wir weiter abschätzen um auch wirklich etwas
>
> > zu erhalten von dem wir wissen, dass es konvergiert.
>
> Wenn ich für das "n" der gegebenen Reihe eine Zahl
> einsetze und das Ergebnis mit dem Ergebnis der Reihe von
> [mm]1/n^2[/mm] vergleiche,
Nur steht das [mm] n^2 [/mm] in Deiner Reihe doch gar nicht im Nenner - da hilft Deine Abschätzung noch nicht weiter...
...obwohl sie stimmt. Nur musst Du dann ja zeigen, dass
[mm] \bruch{1}{n^2}\ge\left(\br{n-3}{n+8}\right)^{n^2}
[/mm]
ist. Das ist ungemütlich.
Hast Du noch eine andere Idee?
Ansonsten funktioniert es auch ganz gut mit einer nicht konstanten Abschätzung der Basis, aber das ist ein anderer Weg.
Grüße
reverend
> sehe ich doch dass [mm]1/n^2[/mm] größer ist und
> somit eine gültige Majorante, und somit auch die gegebene
> Reihe konvergieren muss( falls das verständlich ist (?))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 02.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
> Hallo jengo,
>
> schau nochma in Deine Aufgabe.
>
> > > Nun hatte ich als ersten Tipp gegeben, dass du mal die
> > > Basis durch etwas konstantes abschätzen sollst.
> > > Versuche mal eine geeignete Konstante zu finden.
> > Ich versuche eine Konstante für die Basis zu finden
> die
> > größer ist als [mm]\bruch{n-3}{n+8}[/mm]
> >
> > Naja 1 ist doch größer oder nicht?
>
> Ja, sicher.
>
> > > Welcher bekannten Reihe ähnelt dies dann?
> >
> > > Wie können wir weiter abschätzen um auch wirklich etwas
> >
> > > zu erhalten von dem wir wissen, dass es konvergiert.
> >
> > Wenn ich für das "n" der gegebenen Reihe eine Zahl
> > einsetze und das Ergebnis mit dem Ergebnis der Reihe von
> > [mm]1/n^2[/mm] vergleiche,
>
> Nur steht das [mm]n^2[/mm] in Deiner Reihe doch gar nicht im Nenner
> - da hilft Deine Abschätzung noch nicht weiter...
>
> ...obwohl sie stimmt. Nur musst Du dann ja zeigen, dass
>
> [mm]\bruch{1}{n^2}\ge\left(\br{n-3}{n+8}\right)^{n^2}[/mm]
>
> ist. Das ist ungemütlich.
>
> Hast Du noch eine andere Idee?
Ehrlich gesagt nicht. Ich verstehe das vorgehen scheinbar doch noch nicht. Was ich bis jetzt mitgenommen habe ist, dass ich bei dem Majorantenkriterium mir eine Reihe suche die größer ist als die gegebene und die bewiesenermaßen schon konvergent ist, somit auch meine ursprüngliche reihe konvergiert.
Wie ich jedoch auf diese zweite Reihe komme, also meine Majorante, und vorallem durch welche Schritte ich dahin gelange, das ist mir noch nicht klar...
> Ansonsten funktioniert es auch ganz gut mit einer nicht
> konstanten Abschätzung der Basis, aber das ist ein anderer
> Weg.
>
> Grüße
> reverend
Gruß zurück
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Fr 03.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo jengo,
> >
> > schau nochma in Deine Aufgabe.
> >
> > > > Nun hatte ich als ersten Tipp gegeben, dass du mal die
> > > > Basis durch etwas konstantes abschätzen sollst.
> > > > Versuche mal eine geeignete Konstante zu finden.
> > > Ich versuche eine Konstante für die Basis zu
> finden
> > die
> > > größer ist als [mm]\bruch{n-3}{n+8}[/mm]
> > >
> > > Naja 1 ist doch größer oder nicht?
> >
> > Ja, sicher.
> >
> > > > Welcher bekannten Reihe ähnelt dies dann?
> > >
> > > > Wie können wir weiter abschätzen um auch wirklich etwas
> > >
> > > > zu erhalten von dem wir wissen, dass es konvergiert.
> > >
> > > Wenn ich für das "n" der gegebenen Reihe eine Zahl
> > > einsetze und das Ergebnis mit dem Ergebnis der Reihe von
> > > [mm]1/n^2[/mm] vergleiche,
> >
> > Nur steht das [mm]n^2[/mm] in Deiner Reihe doch gar nicht im Nenner
> > - da hilft Deine Abschätzung noch nicht weiter...
> >
> > ...obwohl sie stimmt. Nur musst Du dann ja zeigen, dass
> >
> > [mm]\bruch{1}{n^2}\ge\left(\br{n-3}{n+8}\right)^{n^2}[/mm]
> >
> > ist. Das ist ungemütlich.
> >
> > Hast Du noch eine andere Idee?
>
> Ehrlich gesagt nicht. Ich verstehe das vorgehen scheinbar
> doch noch nicht. Was ich bis jetzt mitgenommen habe ist,
> dass ich bei dem Majorantenkriterium mir eine Reihe suche
> die größer ist als die gegebene und die bewiesenermaßen
> schon konvergent ist, somit auch meine ursprüngliche reihe
> konvergiert.
>
> Wie ich jedoch auf diese zweite Reihe komme, also meine
> Majorante, und vorallem durch welche Schritte ich dahin
> gelange, das ist mir noch nicht klar...
>
> > Ansonsten funktioniert es auch ganz gut mit einer nicht
> > konstanten Abschätzung der Basis, aber das ist ein anderer
> > Weg.
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Gruß zurück
>
>
>
Ich zitiere, was implizitefunktion schrieb:
"Nun hatte ich als ersten Tipp gegeben, dass du mal die Basis durch etwas konstantes abschätzen sollst.
Versuche mal eine geeignete Konstante zu finden."
Ich vermute er (sie) meint mit Basis das:
[mm] \br{n-3}{n+8}
[/mm]
Die beste Abschätzung durch eine Konstante ist
(*) [mm] \br{n-3}{n+8} \le [/mm] 1,
Besser gehts nicht, denn [mm] \br{n-3}{n+8} \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Und weiter:
"Welcher bekannten Reihe ähnelt dies dann?
Wie können wir weiter abschätzen um auch wirklich etwas zu erhalten von dem wir wissen, dass es konvergiert."
Die Abschätzung in (*) führt zu nichts, was brauchbar wäre !
Die reihe bekommt man in den Griff mit dem Wurzelkriterium. Siehe:
https://matheraum.de/read?i=1061428
FRED
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Eigentlich hatte ich so eine Abschätzung im Sinn:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty (\frac{n-3}{n+8})^{n^2}\leq\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{12})^{n^2}\leq\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{12})^n$
[/mm]
Das ist zwar richtig, liegt aber daran, weil der Reihenwert der Ausgangsreihe ohnehin negativ ist. Es ist also im Grunde egal gegen was ich abschätze solang es am Ende einen positiven Wert ergibt...
Das hatte ich nicht bedacht.
Leider ist das nicht Sinn der Sache und daher eher "zufällig" richtig.
Mein Denkfehler lag darin zu sagen, dass
[mm] $\frac{n-3}{n+8}=1-\frac{11}{n+8}<\frac{1}{12}$ [/mm] für $n=4$
Dies hilft aber nicht, weil die Folge ja gegen 1 konvergiert und ich daher dies nicht ohneweiteres einfach einsetzen darf...
Jaja... gestern war es ja doch ziemlich heiß... *herausred*
Nichtsdestotrotz ist die Abschätzung an sich ja nicht falsch. Nur die Begründung ist dämlich. Aber wie gesagt, da der Reihenwert nun mal negativ ist, hat letztendlich obige Abschätzung einen ziemlich zufällig anmutenden Charakter und hätte in jedem Fall besser begründet werden müssen (und ist alles andere als klar), was dann sehr wahrscheinlich bedeutend aufwendiger ist als das von Fred vorgeschlagene Wurzelkriterium zu benutzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Fr 03.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Eigentlich hatte ich so eine Abschätzung im Sinn:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty (\frac{n-3}{n+8})^{n^2}\leq\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{12})^{n^2}\leq\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{12})^n[/mm]
>
> Das ist zwar richtig, liegt aber daran, weil der Reihenwert
> der Ausgangsreihe ohnehin negativ ist. Es ist also im
> Grunde egal gegen was ich abschätze solang es am Ende
> einen positiven Wert ergibt...
> Das hatte ich nicht bedacht.
Vielleicht sollte ich daran erinnern, wie das Majorantenkriterium lautet:
Sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Folgen in [mm] \IR [/mm] , gilt
(+) [mm] $|a_n| \le b_n [/mm] für fast alle n
und ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] konvergent, so konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] absolut.
Beachte die Beträge in (*) !!
>
> Leider ist das nicht Sinn der Sache und daher eher
> "zufällig" richtig.
> Mein Denkfehler lag darin zu sagen, dass
>
> [mm]\frac{n-3}{n+8}=1-\frac{11}{n+8}<\frac{1}{12}[/mm] für [mm]n=4[/mm]
Das stimmt ja nun gar nicht !
Es ist
[mm] \frac{n-3}{n+8} \le [/mm] 0 < [mm] \frac{1}{12} [/mm] für n=1,2,3,
[mm] \frac{n-3}{n+8}=\frac{1}{12} [/mm] für n=4
und
[mm] \frac{n-3}{n+8}>\frac{1}{12} [/mm] für n>4.
>
> Dies hilft aber nicht, weil die Folge ja gegen 1
> konvergiert und ich daher dies nicht ohneweiteres einfach
> einsetzen darf...
>
> Jaja... gestern war es ja doch ziemlich heiß...
> *herausred*
>
> Nichtsdestotrotz ist die Abschätzung an sich ja nicht
> falsch. Nur die Begründung ist dämlich.
Welche Begründung ?
FRED
> Aber wie gesagt,
> da der Reihenwert nun mal negativ ist, hat letztendlich
> obige Abschätzung einen ziemlich zufällig anmutenden
> Charakter und hätte in jedem Fall besser begründet werden
> müssen (und ist alles andere als klar), was dann sehr
> wahrscheinlich bedeutend aufwendiger ist als das von Fred
> vorgeschlagene Wurzelkriterium zu benutzen.
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Fr 03.07.2015 | | Autor: | jengo32 |
>
> [mm](\bruch{n-3}{n+8})^{n^2}= (\bruch{n+8-11}{n+8})^{n^2}= (1-\bruch{11}{n+8})^{n^2}[/mm]
>
> Jetzt Wurzelkriterium
>
> FRED
> >
Wenn ich das Wurzelkriterium anwende ziehe ich ja die [mm] \wurzel[n]{n}.
[/mm]
Würde der Term hier dann nicht zu [mm] (1-\bruch{11}{n+8})^{n} [/mm] werden? Dann habe ich doch immer noch ein "n" im Exponenten... darf ich hier jetzt noch mal das Wurzelkriterium anwenden?!..
Was wäre denn der nächste Schritt? Müsste ich versuchen "n" auszuklammern und zu kürzen?
Danke für die Hilfe
LG Jengo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Sa 04.07.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
der Grenzwert von [mm] (1-\bruch{11}{n+8})^{ \bruch{n+8}{11}} [/mm] ist 1/e.
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