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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Pseudoinverse von Vektoren
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Pseudoinverse von Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Di 21.01.2020
Autor: nekonomicon

Aufgabe
Seien [mm]v,w\in\mathbb{R}^n [/mm] mit [mm]v^tv = w^tw = 1 [/mm], und [mm]I[/mm] die Identitätsmatrix. Berechnen sie die Pseudoinverse [mm]A_k^+[/mm] für die folgenden Ausdrücke:

1) [mm] A_1 = v [/mm]
2) [mm] A_2 = v^t[/mm]
3) [mm] A_3 = v^tw[/mm]
4) [mm] A_4 = vw^t[/mm]
5) [mm] A_5 = I - 2vv^t[/mm]

Hallo,

die gestellte Aufgabe stammt aus einer LA2-Altklausur, und kommt so gut wie in jeder von dem Prof gestellten Klausur vor. Ich habe aber leider keinen Ansatz wie ich so eine abstrakte Aufgabe lösen soll.

Ich kann die Pseudoinverse einer gegebenen Matrix A mit der Singulärwertszerlegung bestimmen, was ich auch hier probiert habe, aber ohne Erfolg.

Mein Zweiter Ansatz war, die Pseudoinverse einfach zu "raten". Beispielsweise für [mm]A_1^+ = v[/mm] habe ich mir überlegt, dass der Vektor v ja Rang 1 haben muss, weswegen die Matrix [mm]\Sigma[/mm] der SVD [mm]A = U\Sigma V^t[/mm] eine [mm]1 \times 1[/mm]-Matrix sein muss. Also habe ich probiert:

[mm]A_1 = v \cdot 1 \cdot 1[/mm]

Das würde passen, da ja $U^tU = I$ gelten muss, was ja laut den Voraussetzungen passt.

Also würde ja [mm]A_1^+ = V\Sigma^{-1}U^t = v^t[/mm] gelten. Ob das stimmt, weiss ich nicht, und ich weiss nicht ob so ein "im Dunkeln tappen" in der Klausur wirklich zielführend wäre, und für die anderen [mm]A_k[/mm] habe ich mit dem Ansatz nichts erreichen können.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen,

Liebe Grüße


---------
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
  - https://math.stackexchange.com/questions/3517649/calculating-pseudo-inverse-for-specific-vector-products

        
Bezug
Pseudoinverse von Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:04 Mi 22.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Auf Stackexchange beantwortet und vom Fragesteller akzeptiert.

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