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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Ein Punkt (P1) bewegt sich auf einer Strecke, die die Form einer Parabel mit dem Scheitel in (0,0) hat. Der Punkt startet 100m westlich und 100m nördlich vom Ursprung und durchläuft die Parabel in östlicher Richtung. Ein weiterer Punkt (P2) befindet sich 100m östlich und 50m nördlich des Ursprungs. An welcher Stelle der Strecke befindet sich der Punkt (P1), wenn eine direkte Sichtverbindung zu Punkt (P2) besteht?
Hinweis: Im Scheitelpunkt x0,p(x0) einer Parabel p gilt insbesondere $p'(x0) = 0$. |
Hi Leute!
Ich hab mir mal eine Parabel aufgemalt und die Punkte durch ihre Angaben eingezeichnet. Weiter bin ich aber noch nicht gekommen. Wie gehe ich da jetzt weiter ran? Tangentenformel? Die Funktion der Parabel lautet [mm] $f(x)=x^2$; [/mm] aber das is ja klar 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Do 19.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo bandchef,
du musst den Punkt auf der Parabel finden, bei dem die Tangente durch den P2 geht.
Stelle also die Tangentengleichung für einen Punkt [mm](x_0,y_0)[/mm] auf und schau, für welches [mm]x_0[/mm] die Tangente durch P2 geht.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Do 19.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Nachtrag: es gibt übrigens zwei solche Punkte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Als Tangentengleichung gibts ja die Formel:
$y = [mm] f'(x_0) \cdot (x-x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$
[/mm]
Funktion eingesetzt:
$y = [mm] 2x(x-x_0)+x^2$
[/mm]
Aber wie sieht das jetzt mit den Punkten aus? Welche Punkte muss man da jetzt einsetzen? Irgendeinen? Oder soll man den Scheitelpunkt einsetzen? Also, das wäre ja dann (0,0). Was ich auch nicht verstehe, ist, warum es 2 Punkte geben soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 19.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Als Tangentengleichung gibts ja die Formel:
>
> [mm]y = f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)[/mm]
>
> Funktion eingesetzt:
>
> [mm]y = 2x\red{_0}(x-x_0)+x\red{_0}^2[/mm]
>
> Aber wie sieht das jetzt mit den Punkten aus? Welche Punkte
> muss man da jetzt einsetzen? Irgendeinen? Oder soll man den
> Scheitelpunkt einsetzen? Also, das wäre ja dann (0,0). Was
> ich auch nicht verstehe, ist, warum es 2 Punkte geben
> soll...
Jetzt setze für $(x,y)$ die Koordinaten von P2 ein und löse nach [mm] $x_0$ [/mm] auf.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich bekomm da jetzt:
[mm] $x_1 [/mm] = 199,75$ und [mm] $x_2 [/mm] = 0,25$
Stimmt das? Wenn ja, dann aber nu die Lösung [mm] $x_2$
[/mm]
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Hallo bandchef,
> Ich bekomm da jetzt:
>
> [mm]x_1 = 199,75[/mm] und [mm]x_2 = 0,25[/mm]
>
> Stimmt das? Wenn ja, dann aber nu die Lösung [mm]x_2[/mm]
Nein, das leider stimmt nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
$y = [mm] f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$
[/mm]
$y = [mm] 2x_0(x-x_0)+x^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 50 = [mm] 2x_0(100-x_0)+x_o^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 50 = [mm] 200x_0-2x_0^2+x_0^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 50 = [mm] 200x_0-x_0^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow x_0^2-200x_0+50 [/mm] = 0$
[mm] $x_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{200 \pm \sqrt{200^2-4\cdot 1 \cdot 50}}{2} [/mm] = ... = [mm] \begin{cases} 100+5\sqrt{398} \\ 100-5\sqrt{398} \end{cases}
[/mm]
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Hallo bandchef,
> [mm]y = f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)[/mm]
>
> [mm]y = 2x_0(x-x_0)+x^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 50 = 2x_0(100-x_0)+x_o^2[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 50 = 200x_0-2x_0^2+x_0^2[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 50 = 200x_0-x_0^2[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x_0^2-200x_0+50 = 0[/mm]
>
> [mm]$x_{1/2}[/mm] = [mm]\frac{200 \pm \sqrt{200^2-4\cdot 1 \cdot 50}}{2}[/mm]
> = ... = [mm]\begin{cases} 100+5\sqrt{398} \\ 100-5\sqrt{398} \end{cases}[/mm]
>
Bedenke, daß es sich hier um keine Normalparabel handelt.
Gruss
MatehPower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Wie ich gerade eben schon mal gepostet habe, handelt es sich wahrscheinlich um eine Parabel der Art: [mm] $f(x)=\frac{1}{100}x^2$
[/mm]
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Hallo bandchef,
> Wie ich gerade eben schon mal gepostet habe, handelt es
> sich wahrscheinlich um eine Parabel der Art:
> [mm]f(x)=\frac{1}{100}x^2[/mm]
So wie ich hier befunden habe,
ist diese Funktion richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Do 19.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Beachte, dass Deine Parabelfunktion nicht $f(x) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] lautet.
Du musst doch auch den Punkt [mm] $P_0 [/mm] \ [mm] \left( \ -100 \ | \ +100 \ \right)$ [/mm] treffen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, das überfordert mich gerade ein bisschen. Wie soll die Funktion dann lauten? Ich denk mal so: [mm] $f(x)=\frac{1}{100}x^2$
[/mm]
Richtig?
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Hallo bandchef,
> Hm, das überfordert mich gerade ein bisschen. Wie soll die
> Funktion dann lauten? Ich denk mal so:
> [mm]f(x)=\frac{1}{100}x^2[/mm]
>
> Richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 19.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich jetzt die quadratische Gleichung löse komm ich auf:
[mm] $x_{1/2} [/mm] = 100 [mm] \pm 50\sqrt{2}$
[/mm]
Richtig?
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Hallo bandchef,
> Wenn ich jetzt die quadratische Gleichung löse komm ich
> auf:
>
> [mm]x_{1/2} = 100 \pm 50\sqrt{2}[/mm]
>
> Richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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