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Forum "Vektoren" - Punkt, Gerade und Ebenen
Punkt, Gerade und Ebenen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Punkt, Gerade und Ebenen: bitte Prüfen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:17 So 04.06.2006
Autor: BeniMuller

Aufgabe

Gegeben :

Punkt [mm]A = ( 1/ 2/ 2)[/mm]
Punkt [mm]P = ( 2/ -3/ 5)[/mm]
Gerade [mm]g : \ \vec{r} \ = \ \vektor{2 \\ 2\\2 } \ + \ t*\vektor{2\\1\\0} \ , \ t \in \ \IR [/mm]
Ebene [mm]F : \ 2x \ +\ 3y \ +\ 3z \ -\ 10 \ =\ 0[/mm]

Die Ebene [mm]E[/mm] geht durch die Gerade [mm]g[/mm] und den Punkt [mm]A[/mm].
Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von [mm]E[/mm].
Auf welcher der beiden Ebenen liegt der Punkt [mm]P[/mm] ?



Ansatz: Ebene [mm]E: ax \ + \ by \ + \ cz \ = \ d [/mm]
Normale zur Ebene [mm]E[/mm] ist der Vektor [mm]\vec{n}_{E} \ = \ \vektor{a\\b\\c}[/mm]

Zur Berechnung der Normalen wählen wir zwei beliebige, nicht zusammenfallende Punkte [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] auf der Geraden [mm]g[/mm] indem wir in der Parameterdarstellung der Geraden [mm][/mm] z.B. [mm]t_{1} =0[/mm] und [mm]t_{2} = 1[/mm] setzen:

[mm]\vec{b} \ = \ \vektor{2\\2\\2} \ + \ 0 \ * \ \vektor{2\\1\\0} \ = \ \vektor{2\\2\\2} [/mm]

[mm]\vec{c} \ = \ \vektor{2\\2\\2} \ + \ 1 \ * \ \vektor{2\\1\\0} \ = \ \vektor{4\\3\\2} [/mm]

Die Normale steht auf allen Geraden der Ebene senkrecht, also insbesondere auf

[mm](\vec{b} \ - \ \vec{a}) [/mm] und [mm](\vec{c} \ - \ \vec{a}) [/mm]

Wir bilden das Vektroprodukt, um zu zwei Vektoren einer Ebene die Senkrechte zu finden.

[mm] \vec{n}_{E} \ = \ (\vec{b} \ - \ \vec{a} ) \times (\vec{c} \ - \ \vec{a} ) \ = \ (\vektor{2\\2\\2}-\vektor{1\\2\\2}) \ \times \ (\vektor{4\\3\\2}-\vektor{1\\2\\2}) \ = \ \vektor{1\\0\\0} \times \ \vektor{3\\1\\0} \ = \ \vektor{0\\0\\1} [/mm]

Daraus ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene [mm]E[/mm]:

[mm]0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ d[/mm]

Um [mm]d[/mm] zu bestimmen, setzen wie den Punkt [mm]A \ = \ (1 / 2 / 2)[/mm] in die eben gewonnene Ebenengleichung ein:

[mm]0*1 \ + \ 0*2 \ + \ 1*2 \ = \ d[/mm]

daraus: [mm]d \ = \ 2[/mm] in die Ebenengleichung von [mm]E[/mm] eingesetzt:

[mm]E: \ 0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ 2[/mm]

In welcher Ebene liegt jetzt der Punkt [mm]P[/mm]  ?

Test von Punkt [mm]P = (2 / -3 / 5)[/mm] mit den beiden Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm] :

[mm]E: \ 0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ 2[/mm]
[mm] \ 0*2 \ + \ 0*(-3) \ + \ 1*5 \ = \ 5 \ \not= \ 2[/mm] falsch

[mm]F : 2x \ + \ 3y \ + \ 3z \ = \ 10 [/mm]
[mm]2*2 \ + \ 3*(-3) \ + \ 3*5 \ =4 \ - \ 9 \ + \ 15 \ = \ 10 \ = \ 10[/mm] richtig

Der Punkt [mm]P[/mm] liegt in der Ebene [mm]F[/mm]

******
Bitte um Kontrolle und Tipps für alternative Wege.

Herzliche Pfingstgrüsse aus Zürich
        
Bezug
Punkt, Gerade und Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:36 So 04.06.2006
Autor: rotespinne

Hallo!

Wenn wir etwas prüfen sollen wäre es auch gut wenn irgendwo eine Aufgabe samt Rechung wäre??

Grüße von der Spinne
Bezug
                
Bezug
Punkt, Gerade und Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:27 So 04.06.2006
Autor: BeniMuller

Hallo Rote Spinne, war nicht beabsichtigt, dass das schon unfertig abgeschickt wurde. Jetzt ist meine Frage abgeschlossen und Dein kritischer Blick erwünscht.

Gruss
Bezug
        
Bezug
Punkt, Gerade und Ebenen: alles richtig/Alternativ
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 So 04.06.2006
Autor: Disap

Hi.

> Gegeben :
>  
> Punkt [mm]A = ( 1/ 2/ 2)[/mm]
>  Punkt [mm]P = ( 2/ -3/ 5)[/mm]
>  Gerade [mm]g : \ \vec{r} \ = \ \vektor{2 \\ 2\\2 } \ + \ t*\vektor{2\\1\\0} \ , \ t \in \ \IR[/mm]
>  
> Ebene [mm]F : \ 2x \ +\ 3y \ +\ 3z \ -\ 10 \ =\ 0[/mm]
>  
> Die Ebene [mm]E[/mm] geht durch die Gerade [mm]g[/mm] und den Punkt [mm]A[/mm].
> Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von [mm]E[/mm].
>  Auf welcher der beiden Ebenen liegt der Punkt [mm]P[/mm] ?
>  
>
>
> Ansatz: Ebene [mm]E: ax \ + \ by \ + \ cz \ = \ d[/mm]
>  Normale
> zur Ebene [mm]E[/mm] ist der Vektor [mm]\vec{n}_{E} \ = \ \vektor{a\\b\\c}[/mm]
>  
> Zur Berechnung der Normalen wählen wir zwei beliebige,
> nicht zusammenfallende Punkte [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] auf der Geraden [mm]g[/mm]
> indem wir in der Parameterdarstellung der Geraden[mm][/mm] z.B.
> [mm]t_{1} =0[/mm] und [mm]t_{2} = 1[/mm] setzen:
>  
> [mm]\vec{b} \ = \ \vektor{2\\2\\2} \ + \ 0 \ * \ \vektor{2\\1\\0} \ = \ \vektor{2\\2\\2}[/mm]
>  
> [mm]\vec{c} \ = \ \vektor{2\\2\\2} \ + \ 1 \ * \ \vektor{2\\1\\0} \ = \ \vektor{4\\3\\2}[/mm]
>  
> Die Normale steht auf allen Geraden der Ebene senkrecht,
> also insbesondere auf
>  
> [mm](\vec{b} \ - \ \vec{a})[/mm] und [mm](\vec{c} \ - \ \vec{a})[/mm]
>  
> Wir bilden das Vektroprodukt, um zu zwei Vektoren einer
> Ebene die Senkrechte zu finden.
>  
> [mm]\vec{n}_{E} \ = \ (\vec{b} \ - \ \vec{a} ) \times (\vec{c} \ - \ \vec{a} ) \ = \ (\vektor{2\\2\\2}-\vektor{1\\2\\2}) \ \times \ (\vektor{4\\3\\2}-\vektor{1\\2\\2}) \ = \ \vektor{1\\0\\0} \times \ \vektor{3\\1\\0} \ = \ \vektor{0\\0\\1} [/mm]
>  
> Daraus ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene
> [mm]E[/mm]:
>  
> [mm]0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ d[/mm]

[ok]

> Um [mm]d[/mm] zu bestimmen, setzen wie den Punkt [mm]A \ = \ (1 / 2 / 2)[/mm]
> in die eben gewonnene Ebenengleichung ein:
>  
> [mm]0*1 \ + \ 0*2 \ + \ 1*2 \ = \ d[/mm]
>  
> daraus: [mm]d \ = \ 2[/mm] in die Ebenengleichung von [mm]E[/mm] eingesetzt:
>  
> [mm]E: \ 0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ 2[/mm]

[daumenhoch]

> In welcher Ebene liegt jetzt der Punkt [mm]P[/mm]  ?
>  
> Test von Punkt [mm]P = (2 / -3 / 5)[/mm] mit den beiden Ebenen [mm]E[/mm] und
> [mm]F[/mm] :
>  
> [mm]E: \ 0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ 2[/mm]
>  [mm]\ 0*2 \ + \ 0*(-3) \ + \ 1*5 \ = \ 5 \ \not= \ 2[/mm]
> falsch

[ok]

> [mm]F : 2x \ + \ 3y \ + \ 3z \ = \ 10[/mm]
>  [mm]2*2 \ + \ 3*(-3) \ + \ 3*5 \ =4 \ - \ 9 \ + \ 15 \ = \ 10 \ = \ 10[/mm]
> richtig
>  
> Der Punkt [mm]P[/mm] liegt in der Ebene [mm]F[/mm]

[applaus]

> ******
>  Bitte um Kontrolle und Tipps für alternative Wege.

Alternativ kannst du auch zunächst eine Parameterform aufstellen, und zwar weißt du, dass die Ebene die Gerade g enthalten soll. Du kannst den Ortsvektor der Geraden als Ortsvektor der Ebene benutzen und der Richtungsvektor der Geraden ist einer der beiden Richtungsvektoren der Ebene. Du hast nun

[mm] $E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 2\\2 } [/mm]  +  [mm] t*\vektor{2\\1\\0}+s \vec{u}$ [/mm]

Vektor u bildet sich nun aus dem Ortsvektor und Punkt A.

[mm] $E:\vec{x}=\vektor{2 \\ 2\\2 }\ [/mm] +  [mm] t*\vektor{2\\1\\0}+s \vektor{1\\0\\0}$ [/mm]

Nun kann man entweder auch (wieder) die Koordinatenform bilden oder die Punktprobe machen, indem du die Ebene in Parameterform mit dem Punkt P gleichsetzt.

Oder:
Du hast die Ebenengleichung und spielst das Spiel: Abstand Punkt - Ebene.

Ist der Abstand zur Ebene null, dann liegt der Punkt wohl auf/in der Ebene.

Alles klar soweit?

> Herzliche Pfingstgrüsse aus Zürich

Grüße zurück aus der Bundesrepublik.  


LG
Disap
Bezug
                
Bezug
Punkt, Gerade und Ebenen: Dank für 2. Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:22 So 04.06.2006
Autor: BeniMuller

Hallo Disap

Ganz herzlichen Dank für Deine Überlegungen zu alternativen Lösungswegen. Da ich diese Dinge vor 35 Jahren mal studiert habe, kommen sie mir nicht ganz unbekannt aber manchmal etwas suspekt vor.  Umso glücklicher bin ich über die schnelle und professionelle Hilfe, die von Dir und den anderen Mitgliedern des Forums hier geboten wird.

Grüsse auf dem Süden
Bezug
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