Punkt auf einer geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Do 03.03.2005 | | Autor: | Olli2005 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöle,
ich steh gerade mächtig auf dem Schlauch und finde keine Lösung zu folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie den Punkt Q [mm] \varepsilon [/mm] g so, daß die Gerade PQ senkrecht auf g steht.
Gegeben ist folgendes:
g={ [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] | [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{3 \\ 5 \\ 0}+ \lambda \*\vektor{-2 \\ -4 \\ 1}, \lambda\varepsilong \IR [/mm] }
g´={ [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] | x-2y-6z=-7 [mm] \wedge [/mm] 2x-3y-8z=-9 }
sowie Punkt P= [mm] \vektor{5 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
P liegt in der Ebene von g
Mein Ansatz lautet wie folgt:
Zuerst hab ich geprüft ob g=g´ ist. Ist der Fall, dort habe ich den Ortsvektor von g in beide Gleichungen von g´eingesetzt. Meine Ergebnisse waren hierzu -7=-7 und -9=-9
Danach habe ich die Koodinatengleichung der Ebene e bestimmt:
e=2x+4y+207=26
weitere Vorleistungen sind jetzt:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -4 \\ 1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \vec{p} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -6 \\ 1}
[/mm]
Jetzt kommt der eigentliche Knackpunkt wo ich nicht weiterkomme.
Ich habe versucht es folgendermaßen an Punkt Q zu gelangen.
[mm] \overrightarrow{AQ} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AP} [/mm] - [mm] \overrightarrow{AQ} [/mm] = [mm] \vektor{2 + 2* \lambda\\ 4* \lambda -6 \\ 1- \lambda}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{PQ}
[/mm]
[mm] \gdw \overrightarrow{AB} [/mm] * [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm]
nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst hab ich ein Ergbenis von:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{41}{21}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overrightarrow{AQ} [/mm] = [mm] \vektor{- \bruch{82}{21} \\ - \bruch{164}{21} \\ \bruch{41}{21}}
[/mm]
Für den Punkt Q ergibt sich dann:
Q= [mm] \vektor{- \bruch{19}{21} \\ - \bruch{23}{21} \\ \bruch{41}{21}}
[/mm]
Wenn ich diesen allerdings wieder in g´einsetzen will, kommt ein völlig falsches Ergebnis dabei raus. Ich habe keine Ahnung was ich falsch gemacht habe, der Ansatz, die Rechnung oder sonst was ?!?! Wahrscheinlich liegt ein Denkfehler vor oder eine falsche Anwendung?!?!
Ich wäre dankbar für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Olli
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallöle,
>
> ich steh gerade mächtig auf dem Schlauch und finde keine
> Lösung zu folgender Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie den Punkt Q [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g so, daß die Gerade
> PQ senkrecht auf g steht.
>
> Gegeben ist folgendes:
> g={ [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] | [mm]\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{3 \\ 5 \\ 0}+ \lambda \*\vektor{-2 \\ -4 \\ 1}, \lambda\varepsilong \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> g´={ [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] | x-2y-6z=-7 [mm]\wedge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2x-3y-8z=-9
> }
> sowie Punkt P= [mm]\vektor{5 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
> P liegt in der
> Ebene von g
>
> Mein Ansatz lautet wie folgt:
> Zuerst hab ich geprüft ob g=g´ ist. Ist der Fall, dort
> habe ich den Ortsvektor von g in beide Gleichungen von
> g´eingesetzt. Meine Ergebnisse waren hierzu -7=-7 und
> -9=-9
> Danach habe ich die Koodinatengleichung der Ebene e
> bestimmt:
> e=2x+4y+207=26
Wozu du die brauchst, ist mir schleierhaft.
Jedenfalls hast du dich wohl vertippt: es sollte heissen:
$2x+4y+20z=26$
Oder durch 2 dividiert:
$x+2y+10z=13$
> weitere Vorleistungen sind jetzt:
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ -4 \\ 1}
[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AP}[/mm] = [mm]\vec{p}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -6 \\ 1}
[/mm]
>
>
> Jetzt kommt der eigentliche Knackpunkt wo ich nicht
> weiterkomme.
> Ich habe versucht es folgendermaßen an Punkt Q zu gelangen.
>
> [mm]\overrightarrow{AQ}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vec{a}
[/mm]
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AP}[/mm] -
> [mm]\overrightarrow{AQ}[/mm] = [mm]\vektor{2 + 2* \lambda\\ 4* \lambda -6 \\ 1- \lambda}
[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{PQ}
[/mm]
> [mm]\gdw \overrightarrow{AB}[/mm]
> * [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm]
Ich konnte nicht so genau folgen, aber es scheint zu stimmen!
> nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst hab ich ein Ergbenis von:
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{41}{21}
[/mm]
Aber hier nicht mehr!
Ich erhalte: [mm] $-4-4\lambda+24-16\lambda+1-\lambda=0$
[/mm]
Das gibt für [mm] $\lambda$ [/mm] einfach den exakten Wert $1_$, wodurch sich für Q die Koordinaten (1,1,1) ergeben.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Olli2005 |
Danke für deine Antwort.
Die Koordinatengleichung brauchen ich nicht, da hast du recht. War unnötig diese hinzuschreiben.
ich weiß nicht so recht wie du auf diese Gleichung hier kommst:
$ [mm] -4-4\lambda+24-16\lambda+1-\lambda=0 [/mm] $
ich habe folgende:
$ [mm] 4+4\lambda+36-24\lambda+1-\lambda=0 [/mm] $
Eine allgemeine Frage hätte ich noch. War meine Strategie richtig um zum Ziel zu gelangen? Oder gibt es noch eine andere kürzere bzw. bessere Möglichkeit?
Gruß Olli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Olli2005 |
Hallo,
ich bin gerade selbst auf die Lösung gekommen. Ich hatte die ganze Zeit die falschen Vektoren miteinander multipliziert um das [mm] \lambda [/mm] zu erhalten. Ich hatte wohl gestern Abend vollkommen den Überblick verloren und Danke für Deine kleine Hilfe Paulus!
Gruß Olli
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