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| Aufgabe | Aufgabe 1: Wohnzimmerlampe
Über dem Mittelpunkt der Grundfläche eines Wohnzimmers soll eine Lampe aufgehängt werden, welche an einem Drahtseil g befestigt wird. Die Grundfläche wird begrenzt durch die Eckpunkte A (4/0/0), B (4/4/0), C (0/4/0) und D (0/0/0). Die Lage des Drahtseils kann im Koordinatensystem durch die Geradengleichung g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 3} [/mm] + t * [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0} [/mm] , t [mm] \in \IR [/mm] beschrieben werden.
Berechne mit den Hilfsmitteln der analytischen Geometrie den Aufhängepunkt L. |
Am Freitag schreibe ich eine Mathe-Klausur und eben habe ich mit einer Probeklausur angefangen und ich komme schon bei der ersten Aufgabe nicht auf ein Ergebnis. Kann mir irgendwer netterweise Tipps geben, damit ich es schaffe, auf einen richtigen Lösungsweg zu gelangen?
Meine Ansätze:
Zuerst habe ich den Mittelpunkt M berechnet, da die Lampe ja darüber hängen soll:
Gerade zwischen D und B: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Gerade zwischen A und C: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + u * [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 0} [/mm]
Damit ich den Schnittpunkt, also M rausbekomme, habe ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt:
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] = s * [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm] - u * [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 0} [/mm]
0,5 = s und 0,5 = u
Dann habe ich s in die erste Geradengleichung eingesetzt und heraus kam:
[mm] \vec{OM} [/mm] = 0,5 * [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm]
= [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
M (2/2/0)
Danach habe ich die Ebene der Grundfläche des Raumes berechnet:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + v * [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 0} [/mm] + w * [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Damit habe ich dann den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] gebildet:
[mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 16}
[/mm]
Und jetzt kommt schon mein Problem: Ich weiß einfach nicht mehr was ich jetzt machen soll, um an den Punkt L zu kommen!
Hatte schon die Idee, aus dem Normalenvektor und dem Mittelpunkt eine Gerade zu bilden, da diese ja durch den Punkt L gehen müsste. Aber wie soll ich dann den Punkt direkt rausbekommen?
Ansatz Geradengleichung: g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + k * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 16}
[/mm]
Und jetzt??
Danke für die Mühe und ein paar Antworten!
Liebe Grüße, Eva!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Eva,
Du hast doch bis jetzt, so weit ich das erkenne alles richtig gemacht.
Aber wieso willst du noch eine 2. Geradengleichung aufstellen, wenn in der Aufgabenstellung schon eine gegeben ist.
Ich habe es nicht überprüft, aber rein theoretisch müsste diese orthogonal zur Ebene stehen.
Ich frage mich nur, wie du die Höhe des Raumes bestimmen willst, ohne jegliche Angaben.
Sonst müsstest du ja einfach den Schnittpunkt von Gerade und Wohnzimmerdeck e berechnen.
Falls mir die Lösung einfällt, schreibe ich dir. Ich bin nämlich auch gerade am lernen für eine Matheklausur :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mi 05.12.2012 | | Autor: | msmellark |
Hallo!
Erstmal danke für deine Antwort!
Das was du am Ende beschreibst, ist genau mein Problem! Ich weiß einfach nicht wie ich die Deckenhöhe bestimmen soll! Mehr als die Punkte A,B,C und D und die Geradengleichung des Drahtseiles, an dem die Lampe hängen soll, habe ich nicht :(
Irgendwie muss ich doch den Abstand zwischen dem Boden und der Decke hinkriegen! Könnte ich aus der Gerade an der Decke eine Ebene machen? Dann müsste ich es nur irgendwie schaffen den Abstand zwischen den beiden Ebenen, Decke und Boden, zu berechnen. Nur wie?
Aus der Orthogonalen, die ich zuletzt berechnet habe, kann ich doch keine Länge rausbekommen, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mi 05.12.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
lies die Aufgabe besser mal gründlich durch.
Die Deckenhöhe ist überhaupt nicht gefragt!
Sie kann aus den vorliegenden Angaben auch nicht ermittelt werden.
Grüße
reverend
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Wenn ich also die Gerade [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + k * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 16} [/mm] mit [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 3} [/mm] + t * [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0} [/mm] gleichsetze,
erhalte ich im LGS:
1 = -t
-2 = 2t
-3 = -16k
Wenn ich dann t = -1 in die Geradengleichung einsetze, komme ich auf [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
L ist dann also (2/2/3), sehe ich das richtig? :)
Wenn ja, dann habe ich es verstanden und bin dir sehr dankbar für den Denkanstoß!
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Hallo nochmal,
es ist besser, Du markierst Fragen auch als Fragen, dann werden sie nicht so schnell überlesen. 
> Wenn ich also die Gerade [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
2 \\
0}[/mm] + k * [mm]\vektor{0 \\
0 \\
16}[/mm]
> mit [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
4 \\
3}[/mm] + t * [mm]\vektor{-1 \\
2 \\
0}[/mm] gleichsetze,
> erhalte ich im LGS:
> 1 = -t
> -2 = 2t
> -3 = -16k
Nach ein bisschen Umformen, ja.
> Wenn ich dann t = -1 in die Geradengleichung einsetze,
> komme ich auf [mm]\vektor{2 \\
2 \\
3}[/mm]
> L ist dann also
> (2/2/3), sehe ich das richtig? :)
So ist es.
Die Aufgabe verspricht geradezu, dass es eine Lösung gibt. Das hätte aber nicht so sein müssen. Die senkrechte Gerade auf der Fußbodenmitte und die schräge Gerade im Raum hätten ja auch windschief sein können, dann hätte es keine Lösung gegeben. Wenn man eine Wohnung einrichtet, ist das eher der Normalfall...
> Wenn ja, dann habe ich es verstanden und bin dir sehr
> dankbar für den Denkanstoß!
Gern geschehen, aber Du kannst es gut alleine. Mach so weiter!
Grüße
reverend
PS: Und viel Erfolg bei der Klausur, natürlich.
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Hallo Eva,
Du scheinst nur den Überblick zu verlieren. Bisher ist alles gut, und Du bist fast fertig.
> Aufgabe 1: Wohnzimmerlampe
> Über dem Mittelpunkt der Grundfläche eines Wohnzimmers
> soll eine Lampe aufgehängt werden, welche an einem
> Drahtseil g befestigt wird. Die Grundfläche wird begrenzt
> durch die Eckpunkte A (4/0/0), B (4/4/0), C (0/4/0) und D
> (0/0/0). Die Lage des Drahtseils kann im Koordinatensystem
> durch die Geradengleichung g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
4 \\
3}[/mm]
> + t * [mm]\vektor{-1 \\
2 \\
0}[/mm] , t [mm]\in \IR[/mm] beschrieben werden.
>
> Berechne mit den Hilfsmitteln der analytischen Geometrie
> den Aufhängepunkt L.
> Am Freitag schreibe ich eine Mathe-Klausur und eben habe
> ich mit einer Probeklausur angefangen und ich komme schon
> bei der ersten Aufgabe nicht auf ein Ergebnis. Kann mir
> irgendwer netterweise Tipps geben, damit ich es schaffe,
> auf einen richtigen Lösungsweg zu gelangen?
>
> Meine Ansätze:
> Zuerst habe ich den Mittelpunkt M berechnet, da die Lampe
> ja darüber hängen soll:
> Gerade zwischen D und B: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm] + s
> * [mm]\vektor{4 \\
4 \\
0}[/mm]
> Gerade zwischen A und C: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{4 \\
0 \\
0}[/mm] + u * [mm]\vektor{-4 \\
4 \\
0}[/mm]
> Damit ich den Schnittpunkt, also M rausbekomme, habe ich
> die beiden Gleichungen gleichgesetzt:
> [mm]\vektor{4 \\
0 \\
0}[/mm] = s * [mm]\vektor{4 \\
4 \\
0}[/mm] - u *
> [mm]\vektor{-4 \\
4 \\
0}[/mm]
>
> 0,5 = s und 0,5 = u
> Dann habe ich s in die erste Geradengleichung eingesetzt
> und heraus kam:
> [mm]\vec{OM}[/mm] = 0,5 * [mm]\vektor{4 \\
4 \\
0}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\
2 \\
0}[/mm]
> M (2/2/0)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Völlig korrekt, aber das hättest Du viel schneller finden können. Die Ecken des Fußbodens bilden doch ein Quadrat, dessen Seiten parallel zu den Achsen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] verlaufen.
> Danach habe ich die Ebene der Grundfläche des Raumes
> berechnet:
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\
0 \\
0}[/mm] + v * [mm]\vektor{0 \\
4 \\
0}[/mm]
> + w * [mm]\vektor{-4 \\
4 \\
0}[/mm]
> Damit habe ich dann den
> Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] gebildet:
> [mm]\vektor{0 \\
4 \\
0}[/mm] x [mm]\vektor{-4 \\
4 \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
16}[/mm]
Uff. Das ist aber auch wieder mühsam. Das gegebene Quadrat liegt doch komplett in der [mm] $x_1-x_2-$Ebene. [/mm] Der Normalenvektor muss also in [mm] $x_3-$Richtung [/mm] verlaufen.
> Und jetzt kommt schon mein Problem: Ich weiß einfach nicht
> mehr was ich jetzt machen soll, um an den Punkt L zu
> kommen!
> Hatte schon die Idee, aus dem Normalenvektor und dem
> Mittelpunkt eine Gerade zu bilden, da diese ja durch den
> Punkt L gehen müsste. Aber wie soll ich dann den Punkt
> direkt rausbekommen?
> Ansatz Geradengleichung: g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
2 \\
0}[/mm] + k * [mm]\vektor{0 \\
0 \\
16}[/mm]
Ja, genau.
> Und jetzt??
Jetzt ermittelst Du noch den Schnittpunkt Deiner Hilfsgeraden g (das ist die Lotgerade über dem Zimmermittelpunkt) mit der gegebenen "schrägen" Geraden. Der Schnittpunkt ist dann der Aufhängepunkt.
Wie gesagt: alles richtig, fast fertig - nur viel zu aufwändig für eine so "gerade" Aufgabe.
Aber wenn Du das insgesamt so kannst, dann kannst Du es auch mit "krummen" Werten und verdrehten Grundflächen etc.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mi 05.12.2012 | | Autor: | msmellark |
Alles Klar!!!
Danke fürs Drüberschauen!
Ich merke schon, ich habs sehr umständlich gemacht, habe nicht mehr dran gedacht, dass die Punkte ein Quadrat bilden und D sogar der Ursprung ist! Das hätte echt schneller gehen können!
Ich werde deinem Tipp folgen und die beiden Geradengleichungen gleichsetzen! Dankeschön dafür!
Ich melde mich wieder, wenn ich eine Lösung raushabe, vielleicht kannst du diese dann ja noch korrigieren! :)
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