Punkt im gleichs. Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mi 12.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
In einem gleichseitigen Dreieck ist ein punkt von den drei Ecken 3cm, 5cm und 7cm entfernt. berechne die seitenlänge.
Guten abend allerseits!
ich habe versucht, die aufgabe mithilfe der eingez. hilfddreiecke zu lösen, aber ich komme mit sinussatz oÄ zu keinem ergebnis :S
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
hilft es dir zu wissen, dass alle Winkel im Dreieck 60° sind 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 12.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo,
>
> hilft es dir zu wissen, dass alle Winkel im Dreieck 60°
> sind
>
>
> Liebe Grüße
> Herby
nein ;)
was kann ich mit dem ganzen winkel anfangen? ich brauch doch die teile des winkels
ich bräuchte irgendeinen ansatz oder eine idee...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ok - dann machen wir das anders:
leg' mal ein Koordinatensystem in das Dreieck; die x-Achse ist wie üblich die waagerechte Seite und die y-Achse geht durch die Spitze.
dann hat die untere linke Ecke die Koordinate (-s|0); die rechte Ecke die Koordinate (s|0) und die Spitze die Koordinate [mm] (0|s*\wurzel{3})
[/mm]
Da du den Phythagoras kennst und alle Hypothenusen, kannst du drei Gleichungen aufstellen, den Krempel ineinander einsetzen und dann auflösen.
Du solltest nachher eine biquadratische Gleichung erhalten mit [mm] \text{\green{einer}} [/mm] der Lösungen [mm] s_1=\wurzel{16}
[/mm]
Versuche es mal ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 12.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> leg' mal ein Koordinatensystem in das Dreieck; die x-Achse
> ist wie üblich die waagerechte Seite und die y-Achse geht
> durch die Spitze.
>
> dann hat die untere linke Ecke die Koordinate (-s|0); die
> rechte Ecke die Koordinate (s|0) und die Spitze die
> Koordinate [mm](0|s*\wurzel{3})[/mm]
>
> Da du den Phythagoras kennst und alle Hypothenusen, kannst
> du drei Gleichungen aufstellen, den Krempel ineinander
> einsetzen und dann auflösen.
>
> Du solltest nachher eine biquadratische Gleichung erhalten
> mit [mm]\text{\green{einer}}[/mm] der Lösungen [mm]s_1=\wurzel{16}[/mm]
wie meinst du das mit der lösung?
ich versuchs mal, ich meld mich dann nochmal ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 12.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
in welchem dreieck muzss ich den phytagoras anwenden?
ich brauch doch den winkel den die 3 bzw. 5cm lange seite einschließen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo (wie darf ich dich eigentlich ansprechen )
du hast doch da so schöne rechte Winkel eingetragen, nenn' diesen Punkt einfach x und die Höhe bis zum Schnittpunkt y, dann gilt doch als erste Gleichung:
1. [mm] (x-s)^2+y^2=9
[/mm]
mach das mal für die anderen Punkte
2. ...
3. ...
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 12.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
>nenn'
> diesen Punkt einfach x und die Höhe bis zum Schnittpunkt y,
> dann gilt doch als erste Gleichung:
>
> 1. [mm](x-s)^2+y^2=9[/mm]
warum (x-s) ?
die kathete auf der x-achse besteht aus s (auf negativem x) und einem teil im positiven x - ist der pos. teil x?
dann wäre es doch (x+s)
du meinst =7 , oder ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo ???,
ich meinte schon [mm] x\red{-}s [/mm] - da wir uns, wie du es richtig gesagt hast, auf der positiven Seite befinden. Die 9 kommt von der Hypothenuse mit der Länge 3, denn [mm] 3^2=9 [/mm] (Stichwort Phythagoras).
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 12.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
ich hab ein anderes dreieck gemeint xD
in diesem hast du natürlich recht^^
1: [mm](x-s)²-y²=3³[/mm]
2: [mm](x+s)²+y²=7²[/mm]
3: [mm](s\wurzel{3}-y)²+x²=5²[/mm]
stimmts so?
in 1. würd ich jetzt y durch s ausdrücken...
[mm]y=\bruch{-s²-9}{2s}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mi 12.03.2008 | | Autor: | abakus |
> ich hab ein anderes dreieck gemeint xD
>
> in diesem hast du natürlich recht^^
>
> 1: [mm](x-s)²-y²=3³[/mm]
> 2: [mm](x+s)²+y²=7²[/mm]
> 3: [mm](s\wurzel{3}-y)²+x²=5²[/mm]
>
> stimmts so?
>
> in 1. würd ich jetzt y durch s ausdrücken...
>
> [mm]y=\bruch{-s²-9}{2s}[/mm]
Hallo,
ich sehe zwei Wege:
1) ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (dreimal Kosinussatz für die drei Teildreiecke).
Unbekannt sind:
- die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks
- die drei Winkel in dem Punkt, wo die Längen 3, 5 und 7 zusammenstoßen.
Das klingt im ersten Moment nach 4 Unbekannten, aber einer der drei Winkel lässt sich als Differenz aus 360° und den anderen beiden ausdrücken.
2) Den Satz des Apollonius. Man konstruiert über zwei Seiten die Apolloniuskreise für das Verhältnis 3:5 bzw. 5:7. Der Schnittpunkt ist der bewusste Punkt im Inneren.
Rechnerisch legt man das Dreieck mit einer Seitenlänge a in ein Koordinatensystem, bestimmt für das jeweilige Verhältnis den inneren und äußeren Teilpunkt und findet den Mittelpunkt des jeweiligen Kreises genau dazwischen. Damit hat man zwei Kreisgleichungen und kann deren Schnittpunkt in Abhängigkeit von a berechnen. Dann wird a so gewählt, dass die Längen 3, 5 und 7 entstehen.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ich möchte dazusagen, dass ich das für die 8-10 Klasse schon ganz schön fordernd finde ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 13.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
die seitenlänge kann nicht länger als 8cm sein, da sonst keine möglichkeit besteht, dass der punkt 3 und 5 cm weit entfernt ist...
die seitebnlänge kann aber auch nicht kleiner als 7cm sein, sonst würde kein punkt im dreieck die entfernung 7 cm haben
kann man in dieser art auch einen beweis machen und die seitenlänge iwie einschränken?
ihc komm mit den gleichungen nicht weiter :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 13.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig beobachtet. Dazu noch sie muss echt größer 7 sein, darf aber auch noch genau 8 sein.
Also warum nicht mit 8 loslegen. dann liegt der Punkt auf einer Seite, 3 von einer Ecke entfernt, also 1 von der Mitte und Höhe [mm] =4*\wurzel{3} [/mm] mit Pythagoras die letzte Seite berechnet und ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 13.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo
> Richtig beobachtet. Dazu noch sie muss echt größer 7 sein,
> darf aber auch noch genau 8 sein.
> Also warum nicht mit 8 loslegen. dann liegt der Punkt auf
> einer Seite, 3 von einer Ecke entfernt, also 1 von der
> Mitte und Höhe [mm]=4*\wurzel{3}[/mm] mit Pythagoras die letzte
> Seite berechnet und
>
> Gruss leduart
wie meinst du das?
was heißt 1 von der mitte entfernt?
sry ich verstehs grade nich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Do 13.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Seitenlänge ist 8. dann kannst du 3 und 5 nur unterbringen auf einer Seite. dann ist der Punkt 3 von einer Ecke entfernt, also 4 von der Mitte. und 5 von der anderen Ecke. von der letzten Ecke ist er d entfernt. Wenn du die Höhe einträgst, kannst du erstens [mm] h=\wurzel{8^2-4^2} [/mm] ausrechnen und dann [mm] d^2=1^2+h^2
[/mm]
und: mach ne zeichnung, wenn du was nicht verstehst!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 13.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo
> Die Seitenlänge ist 8. dann kannst du 3 und 5 nur
> unterbringen auf einer Seite. dann ist der Punkt 3 von
> einer Ecke entfernt, also 4 von der Mitte. und 5 von der
> anderen Ecke. von der letzten Ecke ist er d entfernt. Wenn
> du die Höhe einträgst, kannst du erstens [mm]h=\wurzel{8^2-4^2}[/mm]
also willst du seitenlänge=8 annehmen und dann zeigen, dass die entfernung zur dritten seite 7cm ist
> ausrechnen und dann [mm]d^2=1^2+h^2[/mm]
achso, deswegen die 4cm, die höhe auf der anderen seite übertragen also:
[mm]h^2+1²=d²
(\wurzel{8²-4²})²+1²=d²[/mm]
[mm]64-16+1=d²
d=7[/mm]
> und: mach ne zeichnung, wenn du was nicht verstehst!
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 13.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
"also willst du seitenlänge=8 annehmen und dann zeigen, dass die entfernung zur dritten seite 7cm ist "
eigentlich dachte ich Du wolltest das ganze. Aber ja, gemeint hab ichs so.
Ist vielleicht nach vieler Rechnerei ein bissel enttäuschend, wie einfach das ist.
Aber so ists halt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Do 13.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo
> "also willst du seitenlänge=8 annehmen und dann zeigen,
> dass die entfernung zur dritten seite 7cm ist "
> eigentlich dachte ich Du wolltest das ganze. Aber ja,
> gemeint hab ichs so.
die aufgabe war eig andersrum "3,5,7cm gegeben, seitenlänge ist auszurechen"
gilt das so trotzdem?
danek für deine hilfe =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Do 13.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
steht da wirklich "ausrechnen"? Oder bestimmen, Welche Länge hat...?
Ne matheaufgabe ,die man mit kurzer überlegung lösen kann ist einer langen Rechnung immer überlegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Sa 15.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> steht da wirklich "ausrechnen"? Oder bestimmen, Welche
> Länge hat...?
"Berechne die Seitenlänge" ;)
also hab ich mich nochmal dem gleichungssystem gewidmet, aber iwo hab ich einen fehler...
vielleicht macht sich ja noch jemand die mühe :)
[Dateianhang nicht öffentlich]
dir rechten winkel hab ich nicht eingezeichnet
(a=halbe seitenlänge)
[mm] (a\wurzel{3}= [/mm] Höhe)
3x phytagoras:
[mm](a+x)²+y²=7²$
$(a\wurzel{3}-y)²+x²=5²$
$(a-x)²+y²=3²$
weiter:
$a²-2ax+x²+y²=9[/mm]
[mm] $3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25$
[/mm]
$a²+2ax+x²+y²=49$
nun habe ich alle drei gleichungen gegeneinader subtrahiert ->
$a²+2ax+x²+y²=49$
- $(a²-2ax+x²+y²=9)$
$4ax=40$
$ax=10$
$a²+2ax+x²+y²=49$
- [mm] $(3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25)$
[/mm]
[mm] $-2a²+2\wurzel{3}ay+2ax=24$
[/mm]
[mm] $a(x+\wurzel{3}y-a)=12$ [/mm] oder
[mm] $-2a²+2\wurzel{3}ay=4$
[/mm]
[mm] $(3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25)$
[/mm]
- $(a²-2ax+x²+y²=9)$
[mm] $2a²-2\wurzel{3}ay+2ax=16$
[/mm]
[mm] $a(x-\wurzel{3}y+a=16$
[/mm]
hier muss aber ein fehler sein, weil wenn man
[mm] $a(x+\wurzel{3}y-a)=12$
[/mm]
+ [mm] $a(x-\wurzel{3}y+a)=16$
[/mm]
$2ax=28$ bzw. $2*10=28$
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Sa 15.03.2008 | | Autor: | chrisno |
> 3x phytagoras:
>
> [mm](a+x)²+y²=7²$
$(a\wurzel{3}-y)²+x²=5²$
$(a-x)²+y²=3²$
weiter:
$a²-2ax+x²+y²=9[/mm]
>
> [mm]3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25[/mm]
>
> [mm]a²+2ax+x²+y²=49[/mm]
>
> nun habe ich alle drei gleichungen gegeneinader subtrahiert
> ->
>
> [mm]a²+2ax+x²+y²=49[/mm]
> - [mm](a²-2ax+x²+y²=9)[/mm]
>
> [mm]4ax=40[/mm]
> [mm]ax=10[/mm]
>
soweit ok
>
> [mm]a²+2ax+x²+y²=49[/mm]
> - [mm](3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25)[/mm]
>
> [mm]-2a²+2\wurzel{3}ay+2ax=24[/mm]
> [mm]a(x+\wurzel{3}y-a)=12[/mm] oder
> [mm]-2a²+2\wurzel{3}ay=4[/mm]
>
auch ok
>
> [mm](3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25)[/mm]
> - [mm](a²-2ax+x²+y²=9)[/mm]
>
> [mm]2a²-2\wurzel{3}ay+2ax=16[/mm]
> [mm]a(x-\wurzel{3}y+a=16[/mm]
Da muss stehen: [mm]a(x-\wurzel{3}y+a)=8[/mm]
>
> hier muss aber ein fehler sein, weil wenn man
der ist dann weg...:
> [mm]a(x+\wurzel{3}y-a)=12[/mm]
> + [mm]a(x-\wurzel{3}y+a)=8[/mm]
>
> [mm]2ax=20[/mm] bzw. [mm]2*10=20[/mm]
bloß scheint mir das Ziel a=... noch nicht in Sicht zu sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Sa 15.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
danke für dei hilfe!
> bloß scheint mir das Ziel a=... noch nicht in Sicht zu
> sein.
tja
wenn man aus $ax=10$ -> [mm] $x=\bruch{10}{a}$ [/mm] und einsetzt hat man 2 gleichungen und 2 variablen, aber ich komm zu keinem ergebnis...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Sa 15.03.2008 | | Autor: | abakus |
> > 3x phytagoras:
> >
> > [mm](a+x)²+y²=7²$
$(a\wurzel{3}-y)²+x²=5²$
$(a-x)²+y²=3²$
weiter:
$a²-2ax+x²+y²=9[/mm]
>
> >
> > [mm]3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25[/mm]
> >
> > [mm]a²+2ax+x²+y²=49[/mm]
> >
> > nun habe ich alle drei gleichungen gegeneinader subtrahiert
> > ->
> >
> > [mm]a²+2ax+x²+y²=49[/mm]
> > - [mm](a²-2ax+x²+y²=9)[/mm]
> >
> > [mm]4ax=40[/mm]
> > [mm]ax=10[/mm]
> >
>
> soweit ok
>
> >
> > [mm]a²+2ax+x²+y²=49[/mm]
> > - [mm](3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25)[/mm]
> >
> > [mm]-2a²+2\wurzel{3}ay+2ax=24[/mm]
> > [mm]a(x+\wurzel{3}y-a)=12[/mm] oder
> > [mm]-2a²+2\wurzel{3}ay=4[/mm]
> >
>
> auch ok
>
> >
> > [mm](3a²-2\wurzel{3}ay+x²+y²=25)[/mm]
> > - [mm](a²-2ax+x²+y²=9)[/mm]
> >
> > [mm]2a²-2\wurzel{3}ay+2ax=16[/mm]
> > [mm]a(x-\wurzel{3}y+a=16[/mm]
>
> Da muss stehen: [mm]a(x-\wurzel{3}y+a)=8[/mm]
>
> >
> > hier muss aber ein fehler sein, weil wenn man
> der ist dann weg...:
> > [mm]a(x+\wurzel{3}y-a)=12[/mm]
> > + [mm]a(x-\wurzel{3}y+a)=8[/mm]
> >
> > [mm]2ax=20[/mm] bzw. [mm]2*10=20[/mm]
>
> bloß scheint mir das Ziel a=... noch nicht in Sicht zu
> sein.
Hallo, jetzt kann man x mit 10/a ersetzen.
[mm] $(a+\bruch{10}{a})²+y²=7²$
[/mm]
und
[mm] $(a\wurzel{3}-y)²+(\bruch{10}{a})²=5²$
[/mm]
Das sind "nur noch" zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Durchaus ein hässliches Gleichungssystem, aber lösbar.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 16.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo, jetzt kann man x mit 10/a ersetzen.
> [mm](a+\bruch{10}{a})²+y²=7²[/mm]
> und
> [mm](a\wurzel{3}-y)²+(\bruch{10}{a})²=5²[/mm]
> Das sind "nur noch" zwei Gleichungen mit zwei
> Unbekannten.
> Durchaus ein hässliches Gleichungssystem, aber lösbar.
> Viele Grüße
> Abakus
bei mir kommt dann
[mm] $-16a^4+328a²=1225$
[/mm]
raus...
biquadratische gleichungen haben wir zwar schon gelöst, aber dazu müsste die lösung ganzzahlig sein
iwas muss aber wieder falsch sein, da bei keiner zahl zwischen 7 un 8 [mm] $16a^4$ [/mm] und $328a²$ so nah beieinander liegen :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 16.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommst du auf die Gleichung? und du suchst ja die halbe Seitenlänge a, also zwischen 3,5 und 4 für a. nicht zw. 7 und 8!
Du weisst ja eigentlich schon a=4. Drum muss deine Gleichung falsch sein.
1152 statt 1225 wär richtig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 16.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
> Hallo
> Wie kommst du auf die Gleichung? und du suchst ja die
> halbe Seitenlänge a, also zwischen 3,5 und 4 für a. nicht
> zw. 7 und 8!
mist, hab ich übersehen^^
> Du weisst ja eigentlich schon a=4.
> Drum muss deine
> Gleichung falsch sein.
> 1152 statt 1225 wär richtig.
hast du das ausgerechnet oder a=4 in meine gleichung eingesetzt?
es muss schon eine biquadratische gleichung herauskommen, oder?
wenn ja, wie kann ich daraus a errechnen?
oder kann man der biq. gleichung aus dem weg gehen?^^
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 16.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus deinen letzten 2 Gl. kommt wohl ne biquadratische raus. die ist aber genauso einfach zu lösen wie ne Quadratische.
Ich find den ganzen langen Weg zu umständlich!
Anderer Weg mit nur einer Unbekannten.
Du weisst, die Sete muss zwischen 7 und 8 liegen. nenne s=7+y mit [mm] y\le1
[/mm]
du schlägst um eine Ecke nen Kreis mit 7, darauf muss der Punkt liegen.
Er schneidet die gegenüberliegende Seite x von der Mitte entfernt.
von der einen Ecke bis zu x muss die Entfernung [mm] \ge3 [/mm] sein, damit der Punkt vom Kreis den Abstand 3 haben darf. d.h. [mm] x\le1
[/mm]
dann kriegst du die Gleichung [mm] x^2+3/4(7+y)^2=7^2
[/mm]
[mm] x^2=49/4-42/4*y-y^2 [/mm] kleinster Wert von x für y=1 dann ist x=1, für alle anderen Werte von y (natürlich kleiner 1) ist [mm] x^2>1 [/mm] geht nicht.
also y=1,x=1 s=8
jetzt hat man s ausgerechnet! in 3 Zeilen!
Mach ne Zeichnung dazu, sonst verstehst du die Rechnung nicht!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Mo 17.03.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
Die 2. Seitenlänge ist übrigens [mm] \wurzel{19}.
[/mm]
Aber es gibt auch eine geometrische Lösung:
M sei der in Rede stehende 'Mittelpunkt'. Wir schlagen um M die Kreise mit den Radien 3, 5 und 7. Auf dem Kreis mit r = 3 wählen wir den festen Punkt B. C bewege sich auf dem Kreis mit r = 5. Zu jedem C sei A der Punkt, für den das Dreieck ABC gleichseitig ist.
Jetzt gilt: Die Ortslinie für A ist der Kreis mit dem Durchmesser [mm] \overline{AA'} [/mm] = 10 (s. Zeichnung). Das folgt direkt aus dem ![[]](/images/popup.gif) Sekantensatz. Dieser Kreis hat 2 Schnittpunkte mit dem Kreis um M für r = 7, was die beiden Lösungen ergibt.
Da quadratische Gln. und ebene Geometrie zum Mittelstufenstoff gehören, sind beide Lösungswege im Prinzip einem ambitionierten MS-Schüler zugänglich.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Wenn jemand meine Handzeichnung mit einem geeigneten Programm erstellt und hier einbaut, wäre das natürlich eine Super-Sache.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Sa 22.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
für mich ist diese aufgabe noch nicht zufriedenstellend gelöst,
weder der kosinusstaz noch das gleichungssystem bringen mich zu einer lösung...
beim kosinusatz habe ich 3 variablen bei 3 gleichungen aber mit [mm] $cos(360-\alpha-\beta)$ [/mm] kann ich nix anfangen
[mm] $a²=9+49-42cos(\alpha)
[/mm]
[mm] a²=25+49-70cos(\beta)
[/mm]
[mm] $a²=9+25-30cos(360-\alpha-\beta)$
[/mm]
wie kann man diese drei gleichungen (möglichst strukturiert) auflösen?
I: $ (x-s)²-y²=3³ $
II: $ (x+s)²+y²=7² $
III:$ [mm] (s\wurzel{3}-y)²+x²=5² [/mm] $
liebe grüße und frohe ostern!
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Hallo, ich verfolge schon seit Tagen diese Aufgabe, ich denke 3 mal Kosinussatz führt zum Erfolg:
[mm] a^{2}=58-42*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] a^{2}=74-70*cos(\beta)
[/mm]
[mm] a^{2}=34-30*cos(360^{0}-\alpha-\beta)
[/mm]
der Term [mm] cos(360^{0}-\alpha-\beta) [/mm] ist zu knacken
[mm] =cos(360^{0}+(-\alpha-\beta))
[/mm]
[mm] =cos(360^{0})*cos(-\alpha-\beta)-sin(360^{0})*sin(-\alpha-\beta))
[/mm]
[mm] =cos(-\alpha-\beta)
[/mm]
auf diesen Term jetzt erneut das Additionstheorem anwenden
[mm] =cos(-\alpha)*cos(-\beta)-sin(-\alpha)*sin(-\beta)
[/mm]
jetzt ist der Term [mm] cos(360^{0}-\alpha-\beta) [/mm] geknackt
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 22.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
danke, soweit sogut
aber wie werden die drei gleichungen mit ganz vielen alphas und betas aufgelöst/vereinfacht?
ich steh irgendwie auf der leitung
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Hallo, ich habe den Vorschlag von Herby aufgegriffen, das Dreieck in ein Koordinatensystem zu legen
(1) [mm] 3^{2}=y^{2}+(s-x)^{2}
[/mm]
(2) [mm] 7^{2}=y^{2}+(s+x)^{2}
[/mm]
(3) [mm] 5^{2}=x^{2}+(s\wurzel{3}-y)^{2}
[/mm]
aus (1) folgt
[mm] y^{2}=9-(s-x)^{2} [/mm] und [mm] y=\wurzel{9-(s-x)^{2}}
[/mm]
in (2) einsetzen
[mm] 49=9-(s-x)^{2}+(s+x)^{2}
[/mm]
40=4sx
[mm] x=\bruch{10}{s}
[/mm]
Gleichung (3)
[mm] 25=\bruch{100}{s^{2}}+(s\wurzel{3}-\wurzel{9-(s-x)^{2}})^{2}
[/mm]
[mm] 25=\bruch{100}{s^{2}}+(s\wurzel{3}-\wurzel{9-(s-\bruch{10}{s})^{2}})^{2}
[/mm]
[mm] 25=\bruch{100}{s^{2}}+3s^{2}-2*s\wurzel{3}*\wurzel{9-(s-\bruch{10}{s})^{2}}+9-(s-\bruch{10}{s})^{2}
[/mm]
[mm] 25=\bruch{100}{s^{2}}+3s^{2}-2*s\wurzel{3}*\wurzel{9-(s-\bruch{10}{s})^{2}}+9-s^{2}+20-\bruch{100}{s^{2}}
[/mm]
[mm] -4=2s^{2}-2*s\wurzel{3}*\wurzel{9-(s-\bruch{10}{s})^{2}}
[/mm]
[mm] -4-2s^{2}=-2*s\wurzel{3}*\wurzel{9-(s-\bruch{10}{s})^{2}}
[/mm]
[mm] 16+16s^{2}+4s^{4}=4*3*s^{2}*(9-s^{2}+20-\bruch{100}{s^{2}})
[/mm]
[mm] 16+16s^{2}+4s^{4}=4*3*s^{2}*(-s^{2}+29-\bruch{100}{s^{2}})
[/mm]
[mm] 16+16s^{2}+4s^{4}=-12s^{4}+348s^{2}-1200
[/mm]
[mm] 0=-16s^{4}+332s^{2}-1216 [/mm] (1216 habe ich verbessert, war ein Schreibfehler)
jetzt Substitution [mm] s^{2}=z
[/mm]
[mm] z_1=4,75 [/mm] und [mm] z_2=16 [/mm]
[mm] s_1=2,18 [/mm]
[mm] s_2=-2,18
[/mm]
[mm] s_3=4
[/mm]
[mm] s_4=-4
[/mm]
[mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] sind betragsmäßig zu klein also
s=4
a=8
x=2,5
y=2,598
habe das Dreieck auch konstruiert, sieht gut aus, besagter Punkt liegt somit auf einer Dreieckseite, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 So 23.03.2008 | | Autor: | TNA-619 |
Danke für die Hilfe =)
> [mm]16+16s^{2}+4s^{4}=-12s^{4}+348s^{2}-1200[/mm]
>
> [mm]0=-16s^{4}+332s^{2}-1200[/mm]
zwischen diesen schritten zieht man alles was rechts steht [mm] $(16+16s^{2}+4s^{4})$ [/mm] von der linken seite ab, aber dann müsste es doch [mm] $0=-16s^{4}+332s²-1184$ [/mm] sein
beim oberen schritt könnte man, ums einfacher zu machen, noch durch 4 dividieren ;)
also komme ich auf
[mm] $4s^{4}-83s²+304=0$
[/mm]
...und damit komme ich auf s=4 (du hast dich wahrscheinich verschrieben^^)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 So 23.03.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ja klar ein Schreibfehler
[mm] 0=-16s^{4}+332s^{2}-1216
[/mm]
deine -1184 ist aber nicht korrekt: -1200-16=-1216
die Gleichung [mm] 0=4s^{4}-83s^{2}+304 [/mm] ist dann korrekt
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Sa 22.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo an beide
nur ne kurze Vereinfachung: cos ist periodisch mit 360° also cos(360-x)=cos-x=cosx.
Gruss leduart
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