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Hallo liebe Leute vom Matheraum!
Ich möchte euch schon einmal Vorwarnen, ich habe hier nicht richtig alles mathematisch formuliert und glaube viele werden nur den Kopf schütteln wenn sie das lesen.
Ich würde mich wirklich sehr freuen wenn sich jemand trotzdem die Mühe macht und mir das alles erklären will!
Gibt es ein mathematisches Teilgebiet das Sachen misst? zB. die länge eines Intervalls, falls ja sagt mir bitte bescheid.
Was sind Punkte im Mathematischen Sinne? Unendlich kleine stellen bzw. Angaben wo etwas sich befindet?
Mich beschäftigt die frage wie die Distanz zwischen zwei punkten exakt berechnet wird. Auf einer Zahlengerade rechnet man dann ja die Distanz zwischen zwei Punkten A,B folgendermasen
[mm] \overline{AB} [/mm] = |A-B| Sind das alle Punkte der kürzesten Strecke von a nach b und die Punkte a,b mit eingeschlossen? Spielt das überhaupt eine Rolle?
Weiterhin dachte ich mir wenn man die Länge eines Intervalls "messen" möchte z.B. [a,b] dann rechnet man auch |b-a|. Ist die Länge des abgeschlossen Intervall [a,b] a,b Reele Zahlen gleich dem offenen Intervall (a,b) Obwohl [a,b] zwei Punkte enthält die (a,b) nicht enthält? Ist das so weil |R ein metrischer Raum ist und d(x,x) = 0 ist also Punkte gar keine Länge haben. Ich habe mir bisher immer vorgestellt dass ein Intervall aus unendlich vielen Punkten besteht wenn jetzt jeder Punkt aber die länge 0 hat macht das keinen Sinn. dann wär der ganze Intervall 0 lang. Ich glaube ich kann das gar nicht richtig miteinander vergleichen.
Ist es ist egal wenn ich die Länge eines intervalls
[a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob ich ihn unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in [a,b)+[b,c)+[c,d] .. Kann man überhaupt Intervalle addieren oder mach ich hier einfach nur Quatsch?
Kann ich mir z.B. die Zahl 5 auf dem Zahlenstrahl vorstellen als alle Punkte bis zur 5, die 5 mit eingeschlossen. dann würde Man 5-3 irgendwie so darstellen können:alle elemente aus [0,5] \ alle elemente aus [0,3]
=(3,5] und das ist gleich lang wie [3,4]? also 2 dann müsste aber auch 1,99 periode = 2 sein..
Man kann also einen Intervall in endlich viele kleinere Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein müssen, dann bestimmt man die länge der Teilintervalle addiert sie und erhält die Länge des gesamt Intervalls? Also unterteile ich z.B. das Intervall
[a,b] : a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] < [mm] x_3 [/mm] < [mm] x_4 [/mm] = b
Dann ist die Länge von [a,b]:
[mm] x_1 [/mm] - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_1 [/mm] + ... + [mm] x_4-x_3
[/mm]
Also gleich der Lnge der Intervalle [mm] [x_1,x_2] [/mm] , [mm] [x_2,x_3]...usw [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ist ja jetzt in beiden Intervallen enthalten? Irgendwie komisch. Kann ich endlich viele Punkte in einem Intervall hinzufügen ohne Probleme? Im unendlichen will ich mir das gar nicht erst vorstellen.
Das heißt doch auch wenn ich eine offene kugel habe ohne Rand mit radius r, hat diese die gleiche Fläche wie die abgeschlossene Kugel mit radius r, obwohl sie unendlich viele Randpunkte weniger hat?
Habt ihr eine Idee wie man sich das alles überhaupt vorstellen kann?
Danke fürs lesen meiner Anfängerfrage,
gruß Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo michi5656
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
(ich hoffe jetzt mal, dass ich mich wirklich unter
die "lieben" Leute im MR rechnen darf, denn so hie
und da trifft dies wohl auch in etwa zu ...  )
> Hallo liebe Leute vom Matheraum!
> Ich möchte euch schon einmal vorwarnen, ich habe hier
> nicht richtig alles mathematisch formuliert und glaube
> viele werden nur den Kopf schütteln wenn sie das lesen.
> Ich würde mich wirklich sehr freuen wenn sich jemand
> trotzdem die Mühe macht und mir das alles erklären will!
> Gibt es ein mathematisches Teilgebiet das Sachen misst?
> zB. die Länge eines Intervalls, falls ja sagt mir bitte
> Bescheid.
Das "Messen" gewisser Größen (Längen, Flächeninhalte,
Volumina) spielt natürlich in manchen Bereichen der
Geometrie nicht nur eine Neben- sondern eine recht
wichtige Rolle. Aber auch etwa im Bereich der Statistik
und Wahrscheinlichkeit werden Messgrößen untersucht
und z.B. Erwartungswerte dafür berechnet oder theoretisch
untersucht.
Insofern man unter "Messen" praktische Messvorgänge
meint, ist man dann schon eher im Bereich der Natur-
wissenschaften. Auch z.B. ein medizinisches Labor hat
haufenweise mit Messungen zu tun. Der theoretische
Hintergrund dazu liegt natürlich wieder in der Mathematik.
> Was sind Punkte im mathematischen Sinne? Unendlich
> kleine Stellen bzw. Angaben wo etwas sich befindet?
In einem strikt mathematischen Sinn ist ein Punkt ein
abstraktes Objekt und dabei ein Element in einer
Menge von (meistens) unendlich vielen Punkten.
Dabei bestehen zwischen den Punkten gewisse
Beziehungen, welche auch auf recht abstrakte Weise
beschrieben werden. Wenn in der Menge aller Punkte
etwa eine Abstandsfunktion vorliegt, so haben je 2
Punkte A und B einen bestimmten Abstand, den man
mit d(A,B) bezeichnet und der einen reellen, nicht
negativen Zahlenwert hat. Man verlangt dann z.B.
Symmetrie, also d(A,B)=d(B,A) , ferner d(A,A)=0
und $\ [mm] d(A,B)=0\Rightarrow [/mm] A=B$ sowie eine "Dreiecks-
Ungleichung" $\ [mm] d(A,C)\le [/mm] d(A,B)+d(B,C)$ .
Durch die Einführung solcher Konzepte wie "Abstand
von Punkten", "Geraden" etc. wird aus der vorherigen
"wilden" Menge von Punkten eine geometrisch geordnete
Struktur, ein sogenannter "Raum".
Je nach den gewählten Regeln kann man sich dann
für derartige "Räume" auch anschauliche Bilder machen.
Ein solcher "Raum" wäre zum Beispiel der eindimensionale
euklidische Raum, den man sich als eine einzige Gerade
vorstellen kann. Jeder Punkt der Geraden stellt ein
Element dieses Raumes dar. Man kann dann in diesem
"Raum" ein Koordinatensystem einführen, durch das
jedem "Punkt" eine Zahl zugeordnet wird und umge-
kehrt. Man hat dabei noch die Freiheit, die zugrunde
zu legende Zahlenmenge zu wählen. Zur Auswahl
stünden z.B. die Mengen [mm] \IZ [/mm] (ganze Zahlen) ,
[mm] \IQ [/mm] (rationale Zahlen) oder [mm] \IR [/mm] (reelle Zahlen).
> Mich beschäftigt die Frage wie die Distanz zwischen zwei
> Punkten exakt berechnet wird. Auf einer Zahlengerade
> rechnet man dann ja die Distanz zwischen zwei Punkten A,B
> folgendermasen
> [mm]\overline{AB}[/mm] = |A-B| Sind das alle Punkte der kürzesten
> Strecke von A nach B und die Punkte A,B mit eingeschlossen?
> Spielt das überhaupt eine Rolle?
Die "Distanz" zwischen zwei Punkten ist nur eine Zahl
und keine Punktmenge. Man sollte also unbedingt
unterscheiden zwischen der Verbindungsstrecke [mm] \overline{AB}
[/mm]
von zwei Punkten A,B (welche aus allen Punkten auf der
Verbindungsstrecke der beiden Punkte besteht) und deren
Länge [mm] d(A,B)=|\overline{AB}|, [/mm] welche die Distanz angibt. Diese
ist keine Punktmenge, sondern bloß eine nicht-negative
Zahl.
> Weiterhin dachte ich mir wenn man die Länge eines
> Intervalls "messen" möchte z.B. [a,b] dann rechnet man
> auch |b-a|. Ist die Länge des abgeschlossen Intervall
> [a,b] a,b Reelle Zahlen gleich dem offenen Intervall (a,b)
Wenn man dem offenen Intervall (a,b) eine (reelle) Länge
zuordnen will, so bleibt einem eigentlich nichts besseres
übrig, als diese auch gleich |b-a| zu setzen. Dazu könnte
man noch Grenzwertüberlegungen, Stichwort "Supremum",
anstellen ...
> Obwohl [a,b] zwei Punkte enthält die (a,b) nicht enthält?
> Ist das so weil |R ein metrischer Raum ist und d(x,x) = 0
> ist also Punkte gar keine Länge haben. Ich habe mir bisher
> immer vorgestellt dass ein Intervall aus unendlich vielen
> Punkten besteht wenn jetzt jeder Punkt aber die Länge 0
> hat macht das keinen Sinn. dann wär das ganze Intervall 0
> lang. Ich glaube ich kann das gar nicht richtig miteinander
> vergleichen.
Da hast du Recht. Es ist allerwenigstens schwierig, da
Vergleiche anzustellen. Allein aus "Punkten", von denen
jeder die Ausdehnung 0 hat, eine Strecke positiver Länge
zusammenzusetzen, oder umgekehrt eine solche Strecke
von beispielsweise 1 Meter Länge total in einzelne Punkte zu
zerlegen, ohne welche auszulassen, scheint ein unmögliches
Unterfangen zu sein. Auf solche Probleme wies schon
![[]](/images/popup.gif) Zenon von Elea im fünften vorchristlichen Jahrhundert hin.
Wenn wir also versuchen, es trotzdem zu tun, so bleibt
uns nur die Möglichkeit, durch Wahl geeigneter Axiome
logisch festzulegen, was wir unter einer "vollkommen
durch Punkte besetzten Strecke" verstehen wollen.
Ob diese Wahl von Axiomen dann in irgendeinem
weiter greifenden Sinn "richtig" ist, sagt uns niemand.
Auch der Vatikan als repräsentierende Organisation
der allerhöchsten Macht hat sich inzwischen (und mit
Mühe) damit abgefunden, in solchen Themen nicht mehr
mitbestimmen zu wollen ...
> Ist es ist egal wenn ich die Länge eines Intervalls
> [a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob ich
> ihn unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in
> [a,b)+[b,c)+[c,d] ..
Ja. Weil es eben in dieser Betrachtung auf (endlich
viele) einzelne Punkte nicht ankommt.
Wenn einige disjunkte (sich gegenseitig nicht über-
schneidende) Teilintervalle [mm] T_i [/mm] zusammen ein Gesamt-
intervall T ausfüllen, so ist die Länge von T gleich der
Summe der Längen der einzelnen Teilintervalle [mm] T_i [/mm] .
> Kann ich mir z.B. die Zahl 5 auf dem Zahlenstrahl
> vorstellen als alle Punkte bis zur 5, die 5 mit
> eingeschlossen.
Ich würde dir eher vorschlagen, dir die Zahl 5 nur
als den (einzigen) Punkt bei der entsprechenden
Skalenmarke vorzustellen.
Für gewisse andere Zwecke ist es aber z.B. sinnvoll,
anstelle einzelner Punkte auch "Vektoren" zu betrachten.
Dem Vektor [mm] \overrightarrow{5} [/mm] entspräche dann ein
"Pfeil" (gerichtete Strecke), der vom Punkt 0 zum
Punkt 5 zeigt (aber z.B. dann auch als Pfeil vom
Punkt 7 zum Punkt 12 betrachtet werden könnte).
> dann würde man 5-3 irgendwie so darstellen
> können:alle elemente aus [0,5] \ alle elemente aus [0,3]
> =(3,5] und das ist gleich lang wie [3,4]?
Mittels der Pfeil- bzw. Vektordarstellung geht dies
noch etwas besser (insbesondere auch für negative
Zahlenwerte, deren Pfeile nach links statt nach rechts
zeigen).
> dann müsste aber auch 1,99 periode = 2 sein ...
Das ist (in [mm] \IR) [/mm] auch absolut richtig !
> Man kann also ein Intervall in endlich viele kleinere
> Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> müssen, dann bestimmt man die länge der Teilintervalle
> addiert sie und erhält die Länge des gesamt Intervalls?
Moment mal ! Disjunkt müssen sie im Wesentlichen
schon sein - sie dürfen sich gegenseitig nur jeweils in
(insgesamt endlich vielen oder allenfalls noch abzählbar
unendlich vielen) einzelnen Randpunkten überlappen !
> Also unterteile ich z.B. das Intervall
> [a,b] : a = [mm]x_0[/mm] < [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2[/mm] < [mm]x_3[/mm] < [mm]x_4[/mm] = b
> Dann ist die Länge von [a,b]:
> [mm]x_1[/mm] - [mm]x_0[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]x_1[/mm] + ... + [mm]x_4-x_3[/mm]
> Also gleich der Lnge der Intervalle [mm][x_1,x_2][/mm] ,
> [mm][x_2,x_3]...usw[/mm] und [mm]x_2[/mm] ist ja jetzt in beiden Intervallen
> enthalten? Irgendwie komisch. Kann ich endlich viele Punkte
> in einem Intervall hinzufügen ohne Probleme?
Ja. Eine Summe aus endlich vielen Nullen ergibt
jedenfalls die Summe 0 .
> Im Unendlichen will ich mir das gar nicht erst vorstellen.
> Das heißt doch auch wenn ich eine offene Kugel habe ohne
> Rand mit Radius r, hat diese die gleiche Fläche wie die
> abgeschlossene Kugel mit Radius r, obwohl sie unendlich
> viele Randpunkte weniger hat ?
Bei dieser Idee fragt sich aber, was genau du dir unter
der "Oberfläche" einer offenen Kugel (die ja eben gar
keine Oberfläche hat), vorstellen willst.
Ich schäle von einer Pflaume die gesamte Schale ab.
Welchen gesamten Flächeninhalt haben die dann noch
an der Frucht verbliebenen Schalenteile ?
LG , Al-Chwarizmi
> Danke fürs Lesen meiner Anfängerfrage
(war eigentlich noch recht spannend und anregend ...) 
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Hallo Al-Chwarizmi,
vielen vielen dank für deine ausführliche Antwort! Du glaubst gar nicht wie dankbar ich dir bin, jetzt kann ich wohl in Ruhe schlafen heute!
Kann ich dich oder deine Antwort positiv bewerten oder gibt die Sternenanzahl nur an wie viele Postings du in dem Forum gemacht hast?
> Das "Messen" gewisser Größen (Längen, Flächeninhalte,
> Volumina) spielt natürlich in manchen Bereichen der
> Geometrie nicht nur eine Neben- sondern eine recht
> wichtige Rolle. Aber auch etwa im Bereich der Statistik
> und Wahrscheinlichkeit werden Messgrößen untersucht
> und z.B. Erwartungswerte dafür berechnet oder
> theoretisch
> untersucht.
>
> Insofern man unter "Messen" praktische Messvorgänge
> meint, ist man dann schon eher im Bereich der Natur-
> wissenschaften. Auch z.B. ein medizinisches Labor hat
> haufenweise mit Messungen zu tun. Der theoretische
> Hintergrund dazu liegt natürlich wieder in der Mathematik.
>
Schön wo man die Mathematik überall findet.
> In einem strikt mathematischen Sinn ist ein Punkt ein
> abstraktes Objekt und dabei ein Element in einer
> Menge von (meistens) unendlich vielen Punkten.
> Dabei bestehen zwischen den Punkten gewisse
> Beziehungen, welche auch auf recht abstrakte Weise
> beschrieben werden. Wenn in der Menge aller Punkte
> etwa eine Abstandsfunktion vorliegt, so haben je 2
> Punkte A und B einen bestimmten Abstand, den man
> mit d(A,B) bezeichnet und der einen reellen, nicht
> negativen Zahlenwert hat. Man verlangt dann z.B.
> Symmetrie, also d(A,B)=d(B,A) , ferner d(A,A)=0
> und [mm]\ d(A,B)=0\Rightarrow A=B[/mm] sowie eine "Dreiecks-
> Ungleichung" [mm]\ d(A,C)\le d(A,B)+d(B,C)[/mm] .
> Durch die Einführung solcher Konzepte wie "Abstand
> von Punkten", "Geraden" etc. wird aus der vorherigen
> "wilden" Menge von Punkten eine geometrisch geordnete
> Struktur, ein sogenannter "Raum".
> Je nach den gewählten Regeln kann man sich dann
> für derartige "Räume" auch anschauliche Bilder machen.
> Ein solcher "Raum" wäre zum Beispiel der eindimensionale
> euklidische Raum, den man sich als eine einzige Gerade
> vorstellen kann. Jeder Punkt der Geraden stellt ein
> Element dieses Raumes dar.
Okay. Wenn ich jetzt den Vektor von 0 bis 3 betrachte ist dann 0 und 3 element dieses Raumes?
> Man kann dann in diesem
> "Raum" ein Koordinatensystem einführen, durch das
> jedem "Punkt" eine Zahl zugeordnet wird und umge-
> kehrt. Man hat dabei noch die Freiheit, die zugrunde
> zu legende Zahlenmenge zu wählen. Zur Auswahl
> stünden z.B. die Mengen [mm]\IZ[/mm] (ganze Zahlen) ,
> [mm]\IQ[/mm] (rationale Zahlen) oder [mm]\IR[/mm] (reelle Zahlen).
> Die "Distanz" zwischen zwei Punkten ist nur eine Zahl
> und keine Punktmenge. Man sollte also unbedingt
> unterscheiden zwischen der Verbindungsstrecke
> [mm]\overline{AB}[/mm]
> von zwei Punkten A,B (welche aus allen Punkten auf der
> Verbindungsstrecke der beiden Punkte besteht) und deren
> Länge [mm]d(A,B)=|\overline{AB}|,[/mm] welche die Distanz angibt.
> Diese
> ist keine Punktmenge, sondern bloß eine nicht-negative
> Zahl.
Achso, dann hab ich mir das also ganz anders vorgestellt.
Ich dachte immer man kann zB einen Vektor auf der Zahlengerade betrachen der 5 einheiten lang ist, dann habe ich mich gefragt ob jetzt die 0 und die 5 in dem "pfeil" "enthalten" ist. Ich dachte schon weil es ja eine Punktverschiebung ist?
Allerdings wenn man dann von dem Vektor der 5 einheiten "lang" ist
ich einen Vektor abziehe der 3 Vektoren lang ist in dem der Punkt 0 und drei enthalten ist dann müsste der neue vektor nicht genau 2 sondern 1,999periode lang sein weil der punkt 2 nicht enthalten ist, aber punkte haben ja eh keine länge.
Ich sollte mir diese Vorstellung abgewöhnen.
>
> Da hast du Recht. Es ist allerwenigstens schwierig, da
> Vergleiche anzustellen. Allein aus "Punkten", von denen
> jeder die Ausdehnung 0 hat, eine Strecke positiver Länge
> zusammenzusetzen, oder umgekehrt eine solche Strecke
> von beispielsweise 1 Meter Länge total in einzelne Punkte
> zu
> zerlegen, ohne welche auszulassen, scheint ein
> unmögliches
> Unterfangen zu sein. Auf solche Probleme wies schon
> Zenon von Elea
> im fünften vorchristlichen Jahrhundert hin.
> Wenn wir also versuchen, es trotzdem zu tun, so bleibt
> uns nur die Möglichkeit, durch Wahl geeigneter Axiome
> logisch festzulegen, was wir unter einer "vollkommen
> durch Punkte besetzten Strecke" verstehen wollen.
> Ob diese Wahl von Axiomen dann in irgendeinem
> weiter greifenden Sinn "richtig" ist, sagt uns niemand.
> Auch der Vatikan als repräsentierende Organisation
> der allerhöchsten Macht hat sich inzwischen (und mit
> Mühe) damit abgefunden, in solchen Themen nicht mehr
> mitbestimmen zu wollen ...
Interessant. Werde ich mir mal durchlesen diese Probleme die er formuliert hat
> > Ist es ist egal wenn ich die Länge eines Intervalls
> > [a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob ich
> > ihn unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in
> > [a,b)+[b,c)+[c,d] ..
>
>
> Ja. Weil es eben in dieser Betrachtung auf (endlich
> viele) einzelne Punkte nicht ankommt.
> Wenn einige disjunkte (sich gegenseitig nicht über-
> schneidende) Teilintervalle [mm]T_i[/mm] zusammen ein Gesamt-
> intervall T ausfüllen, so ist die Länge von T gleich
> der
> Summe der Längen der einzelnen Teilintervalle [mm]T_i[/mm] .
Heißt das es ist doch ein Unterschied ob ich länge [a,b]+länge [b,c] betrachte oder [a,b) + [b,c], aber wenn es sich um endlich viele punkte handelt es gleich ist? Es ist "genauer" wenn man die Menge disjunkt zerlegt, aber auf endlichen Intervallen ist es egal?
wenn ich [a,b] berechnen will, dann rechne ich |b-a| und der Punkt a ist nicht in der Länge enthalten?
Versuche irgendwie immer noch ein wenig Punkte und Länge in Zusammenhang zu bringen...
>
> > Man kann also ein Intervall in endlich viele kleinere
> > Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein
> > müssen, dann bestimmt man die länge der Teilintervalle
> > addiert sie und erhält die Länge des gesamt Intervalls?
>
> Moment mal ! Disjunkt müssen sie im Wesentlichen
> schon sein - sie dürfen sich gegenseitig nur jeweils in
> (insgesamt endlich vielen oder allenfalls noch abzählbar
> unendlich vielen) einzelnen Randpunkten überlappen !
Sind den Mengen disjunkt wenn sie einen Randpunkt gemeinsam haben? Ich dachte nicht einmal das darf erfüllt sein und es muss für zwei Mengen A,B gelten A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
Danke, gruß Michael
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> Hallo Al-Chwarizmi,
> vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Du
> glaubst gar nicht wie dankbar ich dir bin, jetzt kann ich
> wohl in Ruhe schlafen heute!
Ich hoffe, dass du inzwischen (jetzt um 00:41 Uhr) schon
schläfst wie das zufriedenste Murmeltier !
> Kann ich dich oder deine Antwort positiv bewerten oder
> gibt die Sternenanzahl nur an wie viele Postings du in dem
> Forum gemacht hast?
Danke für dein Lob. Das genügt mir schon - und die Anzahl
der Sternchen kümmert mich nicht so sehr - aber jedes
neue Sternchen bedeutet 3 mal so viel erteilte Antworten
als vorher schon ...
> > Das "Messen" gewisser Größen (Längen, Flächeninhalte,
> > Volumina) spielt natürlich in manchen Bereichen der
> > Geometrie nicht nur eine Neben- sondern eine recht
> > wichtige Rolle. Aber auch etwa im Bereich der Statistik
> > und Wahrscheinlichkeit werden Messgrößen untersucht
> > und z.B. Erwartungswerte dafür berechnet oder
> > theoretisch untersucht.
> > Insofern man unter "Messen" praktische Messvorgänge
> > meint, ist man dann schon eher im Bereich der Natur-
> > wissenschaften. Auch z.B. ein medizinisches Labor hat
> > haufenweise mit Messungen zu tun. Der theoretische
> > Hintergrund dazu liegt natürlich wieder in der Mathematik.
> Schön wo man die Mathematik überall findet.
> > In einem strikt mathematischen Sinn ist ein Punkt ein
> > abstraktes Objekt und dabei ein Element in einer
> > Menge von (meistens) unendlich vielen Punkten.
> > Dabei bestehen zwischen den Punkten gewisse
> > Beziehungen, welche auch auf recht abstrakte Weise
> > beschrieben werden. Wenn in der Menge aller Punkte
> > etwa eine Abstandsfunktion vorliegt, so haben je 2
> > Punkte A und B einen bestimmten Abstand, den man
> > mit d(A,B) bezeichnet und der einen reellen, nicht
> > negativen Zahlenwert hat. Man verlangt dann z.B.
> > Symmetrie, also d(A,B)=d(B,A) , ferner d(A,A)=0
> > und [mm]\ d(A,B)=0\Rightarrow A=B[/mm] sowie eine "Dreiecks-
> > Ungleichung" [mm]\ d(A,C)\le d(A,B)+d(B,C)[/mm] .
> > Durch die Einführung solcher Konzepte wie "Abstand
> > von Punkten", "Geraden" etc. wird aus der vorherigen
> > "wilden" Menge von Punkten eine geometrisch geordnete
> > Struktur, ein sogenannter "Raum".
> > Je nach den gewählten Regeln kann man sich dann
> > für derartige "Räume" auch anschauliche Bilder machen.
> > Ein solcher "Raum" wäre zum Beispiel der eindimensionale
> > euklidische Raum, den man sich als eine einzige Gerade
> > vorstellen kann. Jeder Punkt der Geraden stellt ein
> > Element dieses Raumes dar.
> Okay. Wenn ich jetzt den Vektor von 0 bis 3 betrachte ist
> dann 0 und 3 Element dieses Raumes?
Ob du diesen Vektor betrachtest oder nicht, ist dem Raum
wohl piep - egal ...
> > Man kann dann in diesem
> > "Raum" ein Koordinatensystem einführen, durch das
> > jedem "Punkt" eine Zahl zugeordnet wird und umge-
> > kehrt. Man hat dabei noch die Freiheit, die zugrunde
> > zu legende Zahlenmenge zu wählen. Zur Auswahl
> > stünden z.B. die Mengen [mm]\IZ[/mm] (ganze Zahlen) ,
> > [mm]\IQ[/mm] (rationale Zahlen) oder [mm]\IR[/mm] (reelle Zahlen).
> > Die "Distanz" zwischen zwei Punkten ist nur eine Zahl
> > und keine Punktmenge. Man sollte also unbedingt
> > unterscheiden zwischen der Verbindungsstrecke
> > [mm]\overline{AB}[/mm]
> > von zwei Punkten A,B (welche aus allen Punkten auf der
> > Verbindungsstrecke der beiden Punkte besteht) und deren
> > Länge [mm]d(A,B)=|\overline{AB}|,[/mm] welche die Distanz angibt.
> > Diese ist keine Punktmenge, sondern bloß eine
> > nicht-negative Zahl.
> Achso, dann hab ich mir das also ganz anders vorgestellt.
> Ich dachte immer man kann zB einen Vektor auf der
> Zahlengerade betrachen der 5 einheiten lang ist, dann habe
> ich mich gefragt ob jetzt die 0 und die 5 in dem "pfeil"
> "enthalten" ist. Ich dachte schon weil es ja eine
> Punktverschiebung ist?
> Allerdings wenn man dann von dem Vektor der 5 einheiten
> "lang" ist
> ich einen Vektor abziehe der 3 Vektoren lang ist in dem
> der Punkt 0 und drei enthalten ist dann müsste der neue
> vektor nicht genau 2 sondern 1,999periode lang sein weil
> der punkt 2 nicht enthalten ist, aber punkte haben ja eh
> keine länge.
> Ich sollte mir diese Vorstellung abgewöhnen.
>
> > Da hast du Recht. Es ist allerwenigstens schwierig, da
> > Vergleiche anzustellen. Allein aus "Punkten", von denen
> > jeder die Ausdehnung 0 hat, eine Strecke positiver Länge
> > zusammenzusetzen, oder umgekehrt eine solche Strecke
> > von beispielsweise 1 Meter Länge total in einzelne
> > Punkte zu zerlegen, ohne welche auszulassen, scheint ein
> > unmögliches Unterfangen zu sein. Auf solche Probleme wies
> > schon Zenon von Elea
> > im fünften vorchristlichen Jahrhundert hin.
> > Wenn wir also versuchen, es trotzdem zu tun, so bleibt
> > uns nur die Möglichkeit, durch Wahl geeigneter Axiome
> > logisch festzulegen, was wir unter einer "vollkommen
> > durch Punkte besetzten Strecke" verstehen wollen.
> > Ob diese Wahl von Axiomen dann in irgendeinem
> > weiter greifenden Sinn "richtig" ist, sagt uns niemand.
> > Auch der Vatikan als repräsentierende Organisation
> > der allerhöchsten Macht hat sich inzwischen (und mit
> > Mühe) damit abgefunden, in solchen Themen nicht mehr
> > mitbestimmen zu wollen ...
> Interessant. Werde ich mir mal durchlesen diese Probleme
> die er formuliert hat
> > > Ist es ist egal wenn ich die Länge eines Intervalls
> > > [a,d](b,c seien in dem Intervall) berechnen will ob
> > > ich es unterteile in [a,b]+[b,c]+[c,d] oder in
> > > [a,b)+[b,c)+[c,d] ..
> >
> >
> > Ja. Weil es eben in dieser Betrachtung auf (endlich
> > viele) einzelne Punkte nicht ankommt.
> > Wenn einige disjunkte (sich gegenseitig nicht über-
> > schneidende) Teilintervalle [mm]T_i[/mm] zusammen ein Gesamt-
> > intervall T ausfüllen, so ist die Länge von T gleich der
> > Summe der Längen der einzelnen Teilintervalle [mm]T_i[/mm] .
> Heißt das es ist doch ein Unterschied ob ich länge
> [a,b]+länge [b,c] betrachte oder [a,b) + [b,c], aber wenn
> es sich um endlich viele punkte handelt es gleich ist? Es
> ist "genauer" wenn man die Menge disjunkt zerlegt, aber auf
> endlichen Intervallen ist es egal?
> wenn ich [a,b] berechnen will, dann rechne ich |b-a| und
> der Punkt a ist nicht in der Länge enthalten?
> Versuche irgendwie immer noch ein wenig Punkte und Länge
> in Zusammenhang zu bringen...
> >
> > > Man kann also ein Intervall in endlich viele kleinere
> > > Intervalle zerteilen die nicht unbedingt disjunkt sein
> > > müssen, dann bestimmt man die länge der Teilintervalle
> > > addiert sie und erhält die Länge des gesamt Intervalls?
> >
> > Moment mal ! Disjunkt müssen sie im Wesentlichen
> > schon sein - sie dürfen sich gegenseitig nur jeweils in
> > (insgesamt endlich vielen oder allenfalls noch abzählbar
> > unendlich vielen) einzelnen Randpunkten überlappen !
>
> Sind den Mengen disjunkt wenn sie einen Randpunkt gemeinsam
> haben?
Nein - ich sagte aber auch nur "im Wesentlichen disjunkt"
und habe auch erklärt, was ich damit meine (natürlich
nur in Bezug auf diese spezielle Frage).
Guten Morgen ! (gut geschlafen ? wie Murmeli ?)
LG , Al-Chw.
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