Punktbestimmung durch Abstand < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 11.12.2007 | | Autor: | DanielH |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Ebene E. Bestimmen Sie alle Punkte, die von der Ebene den Abstand 3 haben.
[mm] E:\overline{OX}=\vektor{2 \\ -1 \\ 4}+\lambda\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
Mein Ansatz ist, dies mit der Hesse-Formel zu lösen. Ich habe als Ebenengleichung 2x-5y+z=13 herausbekommen.
[mm] \bruch{2x-5y+z-13}{\wurzel{2^2+(-5^2)+1^2}}=3
[/mm]
[mm] \bruch{2x-5y+z-13}{\wurzel{30}}=3
[/mm]
[mm] 2x-5y+z-13=3\wurzel{30}
[/mm]
Hier komme ich jetzt nicht weiter. Wäre super, wenn mir jmd helfen könnte
LG
Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 11.12.2007 | | Autor: | weduwe |
> Gegeben ist eine Ebene E. Bestimmen Sie alle Punkte, die
> von der Ebene den Abstand 3 haben.
>
> [mm]E:\overline{OX}=\vektor{2 \\ -1 \\ 4}+\lambda\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Mein Ansatz ist, dies mit der Hesse-Formel zu lösen. Ich
> habe als Ebenengleichung 2x-5y+z=13 herausbekommen.
>
> [mm]\bruch{2x-5y+z-13}{\wurzel{2^2+(-5^2)+1^2}}=3[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{2x-5y+z-13}{\wurzel{30}}=3[/mm]
>
> [mm]2x-5y+z-13=3\wurzel{30}[/mm]
>
> Hier komme ich jetzt nicht weiter. Wäre super, wenn mir jmd
> helfen könnte
>
> LG
> Daniel
das ist ein sehr guter ansatz
die parallele(n) ebenen haben die gleichung 2x-5y+z +d=0
die bringst du jetzt in die HNF und du weißt,
dass der aufpunkt von E P(2/-1/4) den abstand d = [mm] \pm [/mm] 3 hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 11.12.2007 | | Autor: | DanielH |
Vielen Dank für Deine Antwort. Könntest du vielleicht das etwas genauer erklären, wie genau ich auf den Punkt komme? Ich kann das leider nicht ganz genau nachvollziehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 11.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Am einfachsten geht das, wenn man den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der gegebenen Ebene auf die Länge 3 "skaliert", und dann diesen zum Stützpunkt addiert. Dann hat mal die beiden neuen Stützpunkte.
Also hier:
[mm] \vec{n}=\vektor{2\\-5\\1}
[/mm]
Und jetzt verlängere mal diesen um einen Faktor s, so dass [mm] |s\vec{n}|=3
[/mm]
Also:
[mm] \left|s*\vektor{2\\-5\\1}\right|=3
[/mm]
[mm] \gdw\left|\vektor{2s\\-5s\\s}\right|=3
[/mm]
[mm] \gdw|4s²+25s²+s²|=3
[/mm]
[mm] \gdw30s²=3
[/mm]
[mm] \gdw s=\pm\wurzel{\bruch{1}{10}}
[/mm]
Das ist der Faktor mit den du den Normalenvektor, den du zum Stüztzpunkt addieren musst, skalieren musst.
Somit [mm] \vec{s_{1}}=\vektor{2\\-1\\4}+\bruch{1}{\wurzel{10}}*\vektor{2\\-5\\1}
[/mm]
[mm] \vec{s_{2}}=\vektor{2\\-1\\4}-\bruch{1}{\wurzel{10}}*\vektor{2\\-5\\1}
[/mm]
Das sind dann die neuen Stützpunkte.
Und die Richtungsvektoren kannst du jetzt übernehmen, um die Ebenen zu bestimmen:
Also:
[mm] E_{1;2}=\underbrace{\left[\vektor{2\\-1\\4}\pm\bruch{1}{\wurzel{10}}*\vektor{2\\-5\\1}\right]}_{\text{Stützvektor}}+\lambda\vektor{1\\0\\-2}+\mu\vektor{2\\1\\1}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Ich kann deinen Rechenweg soweit nachvollziehen, aber die Rechnung mit dem Betrag der Strecke und das Gleichsetzen mit 3 hinkt etwas.
|
|
|
| |
|
Ich kann deinen Rechenweg soweit nachvollziehen, aber die Rechnung mit dem Betrag der Strecke und das Gleichsetzen mit 3 hinkt etwas.
Nach meiner Auffassung wurde hier nicht die Wurzel vom Betrag gezogen (oder wo liegt mein Fehler?)
|
|
|
| |
|
Hallo mein_nachbar  , ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich kann deinen Rechenweg soweit nachvollziehen, aber die
> Rechnung mit dem Betrag der Strecke und das Gleichsetzen
> mit 3 hinkt etwas.
...aber auf beiden Beinen.
> Nach meiner Auffassung wurde hier nicht die Wurzel vom
> Betrag gezogen (oder wo liegt mein Fehler?)
Du hast Recht.
Richtig wäre also [mm] s=\pm\wurzel{\bruch{3}{10}}
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Diesen Faktor * den Nomalenvektor addiert bzw. subtrahiert vom stützvektor ergibt dann die beiden Lösungen (also E1 und E2) ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Diesen Faktor * den Nomalenvektor addiert bzw. subtrahiert
> vom stützvektor ergibt dann die beiden Lösungen (also E1
> und E2) ?
Das ist nicht genau genug formuliert. Die beiden Ergebnisse sind Stützvektoren der beiden gesuchten Ebenen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Di 11.12.2007 | | Autor: | weduwe |
> Vielen Dank für Deine Antwort. Könntest du vielleicht das
> etwas genauer erklären, wie genau ich auf den Punkt komme?
> Ich kann das leider nicht ganz genau nachvollziehen
HNF der gesuchten ebene(n)
[mm] \frac{2x-5y+z+d}{\sqrt{30}}=0
[/mm]
den aufpunkt P(2/-1/4) von E einsetzen:
[mm]4+5+4+d=\pm3\sqrt{30}[/mm]
[mm] E_{1,2}: 2x-5y+z\mp 3\sqrt{30}+13=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:04 Mi 28.10.2009 | | Autor: | virFortis |
| Aufgabe | Aufgabe
Gegeben ist eine Ebene E. Bestimmen Sie alle Punkte, die von der Ebene den Abstand 3 haben.
$ [mm] E:\overline{OX}=\vektor{2 \\ -1 \\ 4}+\lambda\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ |
Ich habe nun dieselbe Aufgabe aufbekommen und mir wurde folgender "Roterfaden" vermittelt.
Zuerst den Vektor AP bestimmen wobei A(2/-1/4) ist und P (x1/x2/x3) so nun lautet der Vektor [mm] {AP}=\vektor{x1-2 \\ x2+1 \\ x3-4}.
[/mm]
Als nächstes soll ich Vektor {AP} mit den Richtungsvektoren multiplizieren, also
Vektor{AP}*Richtungsvektor=0
So dann kommt ein GLS mit 3 unbekannten raus und mein Lehrer hat gesagt ich soll eine Varibale = t nehmen und das selbe mit der zweiten Variable, daraus kommt dann der Ausdruck für Vektor {AP} * t raus...und da die länge des Vektors = 3 ist setzte ich denn erhalteten Wurzeltherm = 3, anschließen quadrieren und Punkte berechnen... könnte mir einer hierbei helfen?
|
|
|
| |
|
Hallo virFortis und ,
> Aufgabe
> Gegeben ist eine Ebene E. Bestimmen Sie alle Punkte, die
> von der Ebene den Abstand 3 haben.
>
> [mm]E:\overline{OX}=\vektor{2 \\ -1 \\ 4}+\lambda\vektor{1 \\ 0 \\ -2}+\mu\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Ich habe nun dieselbe Aufgabe aufbekommen und mir wurde
> folgender "Roterfaden" vermittelt.
> Zuerst den Vektor AP bestimmen wobei A(2/-1/4) ist und P
> (x1/x2/x3) so nun lautet der Vektor [mm]{AP}=\vektor{x1-2 \\ x2+1 \\ x3-4}.[/mm]
>
> Als nächstes soll ich Vektor {AP} mit den
> Richtungsvektoren multiplizieren, also
> Vektor{AP}*Richtungsvektor=0
> So dann kommt ein GLS mit 3 unbekannten raus und mein
> Lehrer hat gesagt ich soll eine Varibale = t nehmen und das
> selbe mit der zweiten Variable, daraus kommt dann der
> Ausdruck für Vektor {AP} * t raus...und da die länge des
> Vektors = 3 ist setzte ich denn erhalteten Wurzeltherm = 3,
> anschließen quadrieren und Punkte berechnen... könnte mir
> einer hierbei helfen?
nein, nicht wirklich!
Denn rechnen musst du schon selbst!
Aber du hast ja schon die Lösung dieser Aufgabe und die Diskussion dazu gefunden.
Nutze deinen "roten Faden" und zeige uns, was du rechnest, falls du noch Fragen dazu haben solltest.
Danach helfen wir dir gerne...
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mi 28.10.2009 | | Autor: | virFortis |
Achso hehe ... [mm] \vektor{x1-2 \\ x2+1 \\ x3-4} [/mm] * t{1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] -2}=tx1-2tx3+6t
[mm] {AP}=\vektor{x1-2 \\ x2+1 \\ x3-4}. [/mm] *t{2 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 1}= 2tx1+tx2+tx3-7t
Ist es so weit richtig? Nun habe ich gedacht, dass ich es mit dem Gauss-verfahren löse bekomme für x3=3 raus, muss ich das machen oder ist das ein falscher weg um zu der Lösung zu gelangen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mi 28.10.2009 | | Autor: | weduwe |
ich hätte das pferdchen ander herum aufgezäumt:
aus [mm] \vektor{x-2\\y+1\\z-4}\cdot\vektor{1\\0\\-3} [/mm] und dem 2. vektor bekommst du 2 gleichungen
-x +3z = 10
2x + y + z = 8
und daraus (z.b) y + 7z = 28
nun setzt du y = 7t und bekommst einen (allgemeinen normalen)vektor [mm] \vec{n}_t [/mm] und einen speziellen für t = 0, mit dem du die gesuchten punkte der parallelen ebenen OHNE quadrieren finden kannst
wie ich sehe, habe ich mich verlesen, die z-komponente muß lauten z = -2 statt z = -3
damit erhält man [mm] \vec{n}_t=\vektor{-8+2t\\20+5t\\-4+t}\to\vec{n}=\vektor{2\\-5\\1}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mi 28.10.2009 | | Autor: | virFortis |
Hmm... aber ich habe zu der Aufgabe Lösungen vom Lehrer erhalten und diese bekomme ich damit nicht raus?
Die Lösungen lauten:
[mm] P1(2+1/5\wurzel{30} [/mm] / [mm] -1-1/2\wurzel{30} [/mm] / [mm] 4+1/10\wurzel{30})
[/mm]
[mm] P2(2-1/5\wurzel{30} [/mm] / [mm] -1+1/2\wurzel{30} [/mm] / [mm] 4-1/10\wurzel{30})
[/mm]
da es ja jeweils eine Ebene mit dem Abstand 3 im positiven als auch im negativen bereich vorliegt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 28.10.2009 | | Autor: | weduwe |
> Hmm... aber ich habe zu der Aufgabe Lösungen vom Lehrer
> erhalten und diese bekomme ich damit nicht raus?
>
> Die Lösungen lauten:
> [mm]P1(2+1/5\wurzel{30}[/mm] / [mm]-1-1/2\wurzel{30}[/mm] /
> [mm]4+1/10\wurzel{30})[/mm]
> [mm]P2(2-1/5\wurzel{30}[/mm] / [mm]-1+1/2\wurzel{30}[/mm] /
> [mm]4-1/10\wurzel{30})[/mm]
>
> da es ja jeweils eine Ebene mit dem Abstand 3 im positiven
> als auch im negativen bereich vorliegt
>
ich hatte mich oben vertippt.
mit dem nunmehr korrigierten normalenvektor hat man
[mm] \overrightarrow{OP}_{1,2}=\overrightarrow{OA}\pm\frac{3}{\sqrt{30}}\vektor{2\\-5\\1} [/mm] was auf
[mm] P_{1,2}(2\pm \frac{6}{\sqrt{30}}/-1\mp \frac{15}{\sqrt{30}}/4\pm \frac{3}{\sqrt{30}}) [/mm] führt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 28.10.2009 | | Autor: | virFortis |
Ehm wie ich sehe sind das die selben werte 
Deine passen zu 100% zu dennen von meinem Lehrer...ist ja aber eine andere weiße als die er uns gesagt hat :-( ...
|
|
|
|
