Punkte auf dem Kreis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Di 26.10.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Sei $P$ ein beliebiger, aber fester Punkt auf dem Einheitskreis $K := [mm] \{ (x, y) \in \IR^2 : x^2 + y^2 = 1 \}$. [/mm] Der Punkt $Q$ werde rein zufällig auf $K$ platziert, d.h. jeder Punkt auf $K$ ist gleichwahrscheinlich. Dabei bezeichne die Zufallsvariable $X$ den Abstand zwischen $P$ und $Q$.
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $X$.
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der besagte Abstand größer als 1?
Hinweis: Die Gleichverteilung auf $K$ kann in Polarkoordinaten mit zufälligem Winkel ausgedrückt werden. |
Hallo Mathebegeisterte,
Wollte fragen, ob jemand mir bitte helfen kann meinen Ansatz weiterzuentwickeln. Wieß nämlich nicht so ganz was ich hier machen soll.
Wenn Q, P [mm] \in [/mm] K dann gilt für den Abstand [mm] \parallelQ_K [/mm] - [mm] P_K \parallel [/mm] _2 [mm] \le [/mm] X
mit [mm] Q_K [/mm] sind die Koordinaten gemeint, sodass ich ein Vektor erhalte, auf den ich die euklidische Norm Anwenden kann.
Nun definiere ich die Verteilungfunktion:
F(X) = 0 für x [mm] \le [/mm] 0
und F(X) = 1 für x [mm] \ge [/mm] 0
und was mache ich bei x [mm] \in [/mm] ( 0 , 2 ) die je gleichwahrscheinlich sind?
und meine Idee zu b ist, dass ich P (X > 1) = P(X [mm] \ge [/mm] 1) - P (X = 1) = 0,5 - P (X = 1).
Hier muss ich natürlich auch ersteinmal abbrechen, wegen fehlender Vert.- Funktion.
Kann mir dabei jemand bitte helfen?
Dankeschön.
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:58 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Wähle doch P = (1|0) und Q = (cos [mm] \varphi [/mm] | sin [mm] \varphi).
[/mm]
Dann ist d = d(P,Q) = [mm] \wurzel{(cos \varphi -1)^2 + sin^2 \varphi } [/mm] = [mm] \wurzel{2 - 2*cos \varphi } [/mm] ,
daraus folgt [mm] \varphi(d) [/mm] = arccos (1 - [mm] \bruch{d^2}{2}) [/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand von Q und P höchstens d ist, ist wegen der angenommenen Gleichwahrscheinlichkeit aller Winkel gleich dem Verhältnis von [mm] \varphi(d) [/mm] zu [mm] \pi [/mm] : P(X [mm] \le [/mm] d) = [mm] \bruch{\varphi(d)}{\pi}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist durch [mm] \bruch{\varphi '(d)}{\pi} [/mm] gegeben.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo,
Danke dir für die schöne Antwort, ist echt nett.
Allerdings habe ich ein paar Verständnisprobleme.
oBdA P = (1,0) und Q = [mm] (cos(\phi), sin(\phi))
[/mm]
der Abstand ist also d(P,Q) = [mm] \sqrt{2-2cos(\phi)}
[/mm]
[mm] \phi [/mm] (d) = arccos (1- [mm] \bruch{d^2}{2})
[/mm]
[mm] \bruch{\phi ' (d)}{\pi} [/mm] = P (X [mm] \le [/mm] d)
ok.
aber ist das [mm] \bruch{\phi ' (d)}{\pi} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{\pi * (d^2 - \bruch{d^4}{4} ) } [/mm] meine Verteilungsfunktion für X [mm] \in [/mm] ( 0 , 2 )?
Ist a dann nicht schon beantwortet?
b wäre dann ja
P (X [mm] \ge [/mm] 1) - P (X=1) = P(X > 1) = 0,5 - P(X=1) = 0,5 - (- [mm] \bruch{1}{\pi * (1^2 - \bruch{1^4}{4} ) } [/mm] ) = 0,5 - [mm] (\bruch{4}{3}) [/mm] = [mm] \bruch{11}{6} [/mm] aber das ist keine wirklich wahrscheinlichkeit?
Vielen Dank.
Gruß
Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> aber ist das [mm]\bruch{\phi ' (d)}{\pi}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{\pi * (d^2 - \bruch{d^4}{4} ) }[/mm]
> meine Verteilungsfunktion für X [mm]\in[/mm] ( 0 , 2 )?
>
> Ist a dann nicht schon beantwortet?
>
Das sehe ich so.
> b wäre dann ja
> P (X [mm]\ge[/mm] 1) - P (X=1) = P(X > 1) = 0,5 - P(X=1)
Nein, und zwar aus folgendem Grund :
X=1 liegt zwar in der Mitte zwischen X=0 und X=2, aber weil X nicht gleichverteilt ist, kannst du nicht einfach annehmen, dass P(X<1) = P(X>1) = 0,5 ist.
Der Rest ist auch falsch.
P(X $ [mm] \le [/mm] $ d) = $ [mm] \bruch{\varphi(d)}{\pi} [/mm] $ (nicht [mm] \bruch{\varphi'(d)}{\pi}, [/mm] denn [mm] \bruch{\varphi'(d)}{\pi} [/mm] ist die Verteilungsfunktion, nennen wir sie f und P(X $ [mm] \le [/mm] $ d) wird durch ein Integral bestimmt : P(a [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] b) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}).
[/mm]
P(X=1) ist 0, weil [mm] \integral_{1}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0 ist.
P(X>1) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 1)
= 1 - [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\varphi'(x)}{\pi}dx}
[/mm]
= 1 - [mm] [\bruch{\varphi(x)}{\pi}]_{x=0}^{x=1}
[/mm]
= 1 - [mm] (\bruch{\varphi(1)}{\pi} [/mm] - [mm] \bruch{\varphi(0)}{\pi})
[/mm]
= 1 - [mm] (\bruch{arccos (1 - \bruch{1}{2})}{\pi} [/mm] - [mm] \bruch{arccos (1 - \bruch{0}{2})}{\pi})
[/mm]
= 1 - [mm] (\bruch{arccos (\bruch{1}{2})}{\pi} [/mm] - [mm] \bruch{arccos (1)}{\pi}) [/mm]
= 1 - [mm] (\bruch{\bruch{\pi}{3}}{\pi} [/mm] - 0) = 1 - 1/3 = 2/3.
Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem gleichseitigen Dreieck natürlich auch elementargeometrisch.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Vielen vielen Dank.
MfG
Felix
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