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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Di 30.09.2008 | | Autor: | raida |
Hallo,
komme nicht weiter, ich muss 5 Punkte der Ebene angeben:
E: [mm] \pmat{ -2 \\ 0 \\ 1 }*\vec{x}=10
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 30.09.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo raida,
> Hallo,
> komme nicht weiter, ich muss 5 Punkte der Ebene angeben:
> E: [mm]\pmat{ -2 \\ 0 \\ 1 }*\vec{x}=10[/mm]
Ein einfacher Weg, Punkte zu finden, ist: Du legst 2 Koordinaten fest, und berechnest die dritte.
Beispiel: Setze: [mm] x_1=1, x_2=1
[/mm]
Daraus ergibt sich:
$ [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ x_3} [/mm] = 10 $
$ [mm] \gdw [/mm] -2 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] 1 + [mm] x_3 [/mm] = 10 $
$ [mm] \gdw x_3 [/mm] = 12 $
Also hast Du schon mal den ersten Punkt A(1;1;12)
Entsprechend kannst Du weitere Punkte finden.
Gruß
Sigrid
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 03.10.2008 | | Autor: | raida |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort, ich hätte allerdings noch eine Frage:
Wie kann das funktionieren, dass ich zwei festlege, dann ist der Vektor doch eigentlich gar nicht mehr auf der Ebene positioniert, wenn ich da einfach irgendwelche Zahlen einsetze?
Vielen Dank!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Fr 03.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wenn die Ebene zu keiner der Koordinatenachsen parallel ist, dann kannst du zu 2 beliebig vorgegebenen Koordinaten immer eine dritte bestimmen, so daß der Punkt dann auf der Ebene liegt.
Stell dir eine solche Ebene einmal anschaulich vor und gehe in der x-y Ebene zu irgendeinem Punkt, dann liegt immer ein Punkt der Ebene genau "darüber".
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 03.10.2008 | | Autor: | raida |
Ok, vielen Dank!
Hätte noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe:
E: [mm] \pmat{ 4 \\ -3 \\ 1 } [/mm] + [mm] r\pmat{ 1 \\ 3 \\ 1 } [/mm] + [mm] s\pmat{ 2 \\ 1 \\ -3 }
[/mm]
Man soll den Normalenvektor bestimmen. In den Lösungen wurde es so gelöst:
1 2
3 1 3x-3 - 1x1
1 -3 = 1x2 - 1x-3
1 2 1x1 - 3x2
3 1
1 -3
= [mm] \pmat{ -10 \\ 5 \\ -5 }
[/mm]
Ich verstehe nicht, wieso sie die beiden Richtungsvektoren multipliziert haben und nicht:
[mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{a}
[/mm]
bzw.
[mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{b}
[/mm]
Da ja der Normalenvektor multipliziert mit einem Richtungsvektor 0 ergeben müssen. Müssen die beiden Richtungsvektoren denn auch orthogonal sein oder wie ist die obere Lösung zu verstehen?
Btw.: Wie heißt eigentlich diese Überkreuzmultipliziermethode, die in den Lösungen angewendet wurde?
Vielen Dank!
Gruß
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Hallo raida,
> Ok, vielen Dank!
> Hätte noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe:
>
> E: [mm]\pmat{ 4 \\ -3 \\ 1 }[/mm] + [mm]r\pmat{ 1 \\ 3 \\ 1 }[/mm] + [mm]s\pmat{ 2 \\ 1 \\ -3 }[/mm]
>
> Man soll den Normalenvektor bestimmen. In den Lösungen
> wurde es so gelöst:
>
> 1 2
>
> 3 1 3x-3 - 1x1
> 1 -3 = 1x2 - 1x-3
> 1 2 1x1 - 3x2
> 3 1
>
> 1 -3
>
> = [mm]\pmat{ -10 \\ 5 \\ -5 }[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wieso sie die beiden Richtungsvektoren
> multipliziert haben und nicht:
> [mm]\vec{n}[/mm] * [mm]\vec{a}[/mm]
> bzw.
> [mm]\vec{n}[/mm] * [mm]\vec{b}[/mm]
Natürlich kannst Du auch diese Gleichunssystem lösen:
[mm]\vec{n} * \vec{a}=0[/mm]
[mm]\vec{n} * \vec{b}=0[/mm]
Die beiden Richtungsvektoren wurden über Kreuz multipliziert, daher auch der Name "Überkreuzmethode".
>
> Da ja der Normalenvektor multipliziert mit einem
> Richtungsvektor 0 ergeben müssen. Müssen die beiden
> Richtungsvektoren denn auch orthogonal sein oder wie ist
> die obere Lösung zu verstehen?
Die Richtungsvektoren der Ebene selbst, müssen nicht orthogonal sein.
> Btw.: Wie heißt eigentlich diese
> Überkreuzmultipliziermethode, die in den Lösungen
> angewendet wurde?
Mit dieser Überkreuzmethode kannst Du einen orthogonalen Vektor zu zwei gegebenen Vektoren bilden (siehe auch: Vektorprodukt).
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Fr 03.10.2008 | | Autor: | raida |
Vielen Dank!
Aber wenn die Richtungsvektoren nicht orthogonal sein müssen, verstehe ich nicht wieso man die Richtungsvektoren anstatt des Normalenvektors mit einem Richtungsvektor multiplizieren darf. Man hat ja dafür eigentlich kein Gleichungssystem. Bei der Multiplikation von Normalenvektor mit einem Richtungsvektor weiß man, dass diese orthogonal sein müssen, also 0 das Ergebnis sein muss. Bei der Multiplikation der beiden Richtungsvektoren kann man aber nicht davon ausgehen.
Danke!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Kreuzprodukt ist eine Verkürzung des Verfahrens
[mm] \vec{n}*\vec{a}=0
[/mm]
[mm] \vec{n}*\vec{b}=0.
[/mm]
Du kannst das Gleichungssystem lösen und [mm] \vec{n} [/mm] erhalten, aber du kannst auch [mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] rechnen und erhälst damit auch ein [mm] \vec{n}.
[/mm]
Zu dieser Formel für das Vektorprodukt kommst du, wenn du das Gleichungssystem
[mm] \vec{n}*\vec{a}=0
[/mm]
[mm] \vec{n}*\vec{b}=0
[/mm]
Für 2 beliebige Vektoren lösen würdest, also [mm] \vec{a}=\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{b_1 \\ b_2 \\ b_3}.
[/mm]
Rauskommen tut dann (nach etwas Umstellarbeit) [mm] \vec{n}=\vektor{a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}.
[/mm]
Wie du siehst, basiert das Vektorprodukt ja eigentlich auf dem Gleichungssystem. Aber so kannst du eben Normalenvektoren zu 2 gegebenen Vektoren leichter berechnen :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 04.10.2008 | | Autor: | raida |
Vielen Dank, ihr habt mir sehr weitergeholfen!
Nun hat sich während des Lernens noch eine Frage eingschlichen:)
Ich habe folgende Ebene:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] r\vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] s\vektor{2 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Als Normalenvektor ergibt sich: [mm] \vektor{-9 \\ 5 \\ 3}
[/mm]
In den Lösungen wird nun als Koordinatenform angegeben:
[mm] -9x_{1} [/mm] + [mm] 5x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] +6 =0
n1, n2, n3 kann ich aus dem Normalenvektor ablesen, aber woher nimmt man c = 6 ?
Bisher hätte ich die Parameterform oben genommen und drei Gleichungen daraus gemacht und so aufgelöst, dann käme ich auch auf die Koordinatenform, jedoch gibt es ein einfacheres Verfahren, durch die Normalenform, wie hier in den Lösungen, allerdings weiß ich nicht wie es funktioniert und konnte es in keinem Buch finden.
Vielen Dank!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn du den Normalenvektor kennst, dann kannst du die Ebene erstmal so schreiben: -9x+5y+3z=d.
Dann kannst du einen einen Punkt einsetzen, der auf der Ebene liegt! Im einfachsten Fall also den Aufpunkt, den du ja auch kennst. So kriegst du einfach dein d raus.
Aber wenn du das mal machst, dann merkst du, dass die +6 da irgendwie falsch ist :) Die vorgegebene Lösung scheint also nicht zu stimmen.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 04.10.2008 | | Autor: | raida |
Ja stimmt, bei mir kommt da folgendes heraus:
-18+5+6=-7 also: 9x1 + 5x2 + 3x3 +7 =0
Danke an alle freundlichen Helfer:)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :)
Aber statt -18 müsste 18 da stehen ((-2)*(-9)). Dadurch verändert sich natürlich noch ein bisschen was, aber Hauptsache das Prinzip ist klar ;)
Teufel
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