Punkte im Raum verschieben < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Di 13.07.2010 | | Autor: | orgen |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Mittelpunkt im Raum(0,0,0,).
Um diesen Mittelpunkt liegt ein Kreis oder ein Rechteck mit 5 oder
mehr Punkten P1,P2,P3,P4,P5.
Dann habe ich einen Richtungsvektor als Einheitsvektor (0.3,0.75,1).
Jetzt möchte ich die Punkte mit dem Einheitsrichtungsvektor verarbeiten, dass sie
in der Ebene des Vektors liegen.
Danach möchte ich den Mittelpunkt mit den 5 Punkten um
einen Verschiebungsvektor (12,4,5) verschieben.
Ich habe Schwierigkeiten mit der Erklärung der richtigen Verarbeitung.
Vor allem mit der Reihenfolge.
Laut bisherigen Nachforschungen muss ich die Punkte zunächst irgendwie
mit dem Einheitsvektor drehen und danach verschieben??
Kurz ich möchte das Objekt, z.B. Kreis definiert durch Punkte an
einen anderen Ort verschieben in eine Ebene, die durch den Einheitsvektor
bestimmt ist.
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Welche Matrizenrechnung muss ich verwenden um die Verschiebung mit einem Einheitsvektor mit anschliessender einfacher Verschiebung verwenden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Es wird leider überhaupt nicht klar, was du nun überhaupt willst.
> Gegeben ist ein Mittelpunkt im Raum(0,0,0,).
> Um diesen Mittelpunkt liegt ein Kreis oder ein Rechteck
> mit 5 oder
> mehr Punkten P1,P2,P3,P4,P5.
Haben dir Punkte was mit dem Kreis oder Rechteck zu tun? Liegen die drauf oder drin?
> Dann habe ich einen Richtungsvektor als Einheitsvektor
> (0.3,0.75,1).
> Jetzt möchte ich die Punkte mit dem
> Einheitsrichtungsvektor verarbeiten, dass sie
> in der Ebene des Vektors liegen.
Ein Vektor alleine definiert keine Ebene. So, wie du es formulierst, könnte ich mir denken, daß du eine Ebene durch den Ursprung meinst, welche senkrecht zu dem Einheitsvektor steht, ebenso könnte der Vektor eine Ursprungsgrade bezeichnen.
> Danach möchte ich den Mittelpunkt mit den 5 Punkten um
> einen Verschiebungsvektor (12,4,5) verschieben.
> Ich habe Schwierigkeiten mit der Erklärung der richtigen
> Verarbeitung.
> Vor allem mit der Reihenfolge.
> Laut bisherigen Nachforschungen muss ich die Punkte
> zunächst irgendwie
> mit dem Einheitsvektor drehen und danach verschieben??
> Kurz ich möchte das Objekt, z.B. Kreis definiert durch
> Punkte an
> einen anderen Ort verschieben in eine Ebene, die durch den
> Einheitsvektor
> bestimmt ist.
>
>
> Welche Matrizenrechnung muss ich verwenden um die
> Verschiebung mit einem Einheitsvektor mit anschliessender
> einfacher Verschiebung verwenden?
Generell kannst du mit linearen Abbildungen, und dazu gehören die Matrizen, keine Verschiebungen ausführen. Denn linear heißt ja
[mm] $f(\alpha*x)=\alpha*f(x)\quad\alpha\in\IR$
[/mm]
und ne Verschiebung wäre sowas wie f(x)=x+3, und das ist nicht linear: [mm] \alpha*x+3\neq\alpha*(x+3)
[/mm]
Zu den lin. Abbildungen gehören aber Dinge wie Spiegelungen, Drehungen und Stauchungen. Und damit bekommt man unter gewissen Umständen schon etwas hin, was wie eine Verschiebung aussieht. Aber wie gesagt, da gibt es nun keine feste Matrix, die das erledigt.
Vielleicht wirst du erstmal etwas konkreter, was du da genau machen willst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Di 13.07.2010 | | Autor: | orgen |
Hallo,
erstmal vielen Dank für Deine Mühe.
Gegeben sind 5 Punkte(liegen in einer Ebene, also z.B. auf einem Kreis oder einem Rechteck) , die um M(0,0,0) (Ebene XY) angeordnet sind.
Jetzt möchte ich die Punkte versetzen.
Ich habe einen Normalenvektor zur Verfügung (0.3,0.75,1) für die Einschwenkung und einen Punkt im Raum S'.
Jetzt möchten ich diesen Kreis mit den Punkten nach S' verschieben, also von M nach S' und dann so einschwenken, dass die Ebene des Kreises zum Normalenvektor im Punkt S' passt.
Das ist sehr schwierig zu erklären.
Vielleicht ist es jetzt verständlicher.
Grüße von Jürgen
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Hallo!
nun ist es viel klarer.
Du meintest, der Mittelpunkt des Kreises / Rechtecks liege im Ursprung, daher kannst du direkt eine Rotationsmatrix auf deine Punkte los lassen, und anschließend die Verschiebung um S' durchführen.
Bei der Rotationsmatrix gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder nimmst du dieses Ungetüm:
[mm] $\pmat{ \cos \alpha +v_1^2 \left(1-\cos \alpha\right) & v_1 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) - v_3 \sin \alpha & v_1 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) + v_2 \sin \alpha \\ v_2 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) + v_3 \sin \alpha & \cos \alpha + v_2^2\left(1-\cos \alpha\right) & v_2 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) - v_1 \sin \alpha \\ v_3 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) - v_2 \sin \alpha & v_3 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) + v_1 \sin \alpha & \cos \alpha + v_3^2\left(1-\cos \alpha\right) } [/mm] $
(Wikipedia)
wobei [mm] \vec{v} [/mm] ein Einheitsvektor ist, der die Drehachse beschreibt. Den bekommst du zum Beispiel über das Kreuzprodukt vom Normalenvektor deiner Ausgangsfigur (0;0;1) und dem neuen Normalenvektor.
Die andere Möglichkeit ist, die Punkte zuerst um die x-Achse zu rotieren mit [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha }$ [/mm] und anschließend um die y-Achse mit der entsprechenden Matrix.
Um an die WInkel zu kommen, mußt du den neuen Normalenvektor auf die xz-Ebene bzw yz-Ebene projizieren, dann findest du die Winkel zwischen den Projektionen und der z-Achse, und kannst sie über das Skalarprodukt berechnen. Da das Projizieren einfach ist (einfach die entsprechende Komponente =0 setzen), und die Matrizen übersichtlicher sind, würde ich das hier bevorzugen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:37 Do 15.07.2010 | | Autor: | orgen |
Hallo Sebastian,
vielen vielen Dank, das bringt die Gedanken in die richtige Richtung.
Viele Grüsse Jürgen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 18.08.2010 | | Autor: | orgen |
| Aufgabe | | Mittelpunkt nicht im Ursprung |
Hallo,
nachdem ich etliche Berechnungen durchgeführt habe, und der Kreis, den ich verschieben wollte zunächst eine Ellipse wurde und vor allem der Winkel der Schwenkung nicht stimmt, möchte ich noch folgende Fragen stellen:
1. Wenn der Kreismittelpunkt auf der Z Achse verschoben ist(also z.B. tiefer liegt), muss ich dann auch die 3 Rotationsmatrix für z anwenden, damit ich auf brauchbare Ergebnisse komme?
2.Zur Winkelberechnung: Der Winkel zwischen der xz Ebene ergäbe sich dann aus den Werten x,0,z mit denen ich dann das Skalarprodukt bilde, also muss ich y auf 0 setzen? Entsprechend bei yz wäre x = 0?
3.Nachdem meine Vektorenwerte zwischen 0 und 1 liegen, muss ich das Ergebnis dann mit 180/pi multiplizieren, damit ich weiterrechnen (die nächste Matrixrechnung) kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Sa 21.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schib zuerst in den Ursprung, drehe, schiebe zurück.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:06 Mo 23.08.2010 | | Autor: | orgen |
| Aufgabe | | Schieb zuerst in den Ursprung, drehe, schiebe zurück. |
Hallo leduart,
vielen Dank für Deine Meldung.
Da ich ja um die XZ Achse zunächst drehe, meinst Du bestimmt, dass ich den Punkt erst in die XZ Achse schieben soll, dann drehen und dann wieder zurück?
Ist das richtig?
Grüsse von Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Mo 23.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab keine Ahnung was die XZ Achse ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 23.08.2010 | | Autor: | orgen |
Ich auch nicht, leduart, 
ich meinte die XZ Ebene, auf die ich projezieren soll, damit ich den Drehwinkel rauskriegen kann.
viele Grüsse Jürgen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 23.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
vorher lag dein M bei (0,0,0) jetzt bei (0,0,a)?
du verschiebst deine punkte alle um (0,0,-a) dann liegen sie wieder in der xy ebene, du kannst wie vorher drehen, auch den Punkt (0,0,a) ergeht nach M' dajetzt verschiebst du alle deine punkte noch um OM' zumindest hab ich dein Ziel so verstanden.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Di 24.08.2010 | | Autor: | orgen |
Aha, danke leduart.
Jetzt werde ich zunächst nochmal rechnen.
Viele Grüße Jürgen
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:51 Di 24.08.2010 | | Autor: | orgen |
Gut, die Rechnungen ergeben nichts brauchbares.
Jetzt mal vereinfachen und Schritt für Schritt fragen, damit ich es richtig kapieren kann:
Kreis K0 um das Zentrum, liegt in XY Ebene (Normalenvektor des Kreiszentrums nko = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
So, jetzt möchte ich den Kreis schwenken, so dass der Normalenvektor des geschwenkten Kreises
nko' = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] im Kreiszentrum ist.
Wenn ich aus der X Achse auf K0' schaue, so würde ich einen Kreis sehen.
(zur Winkelbestimmung habe ich später auch noch ne Frage)
OK, jetzt muss ich zunächst den Punkt P(liegt auf dem Kreis, Beispiel für einen Punkt) [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] um die X-Achse drehen mit:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha&-sin\alpha\\0 & sin\alpha &cos\alpha }\*\vektor{x \\ y\\0} [/mm] z ist 0, da ja in der XY Ebene.
Das ergäbe einen P' = [mm] \vektor{x \\ ycos\alpha \\ysin\alpha}
[/mm]
Wäre das soweit richtig?
Danach müsste ich um die Y-Achse drehen mit der entsprechenden Matrize für y Schwenken.
Muss ich da jetzt den Punkt P' bei Z auch auf 0 setzen, also [mm] \vektor{x \\ ycos\alpha \\0} [/mm] und damit dann auf die Y Matrize anwenden?
Hoffentlich strapaziere ich Deine Geduld nicht zu sehr.
Viele Grüße von Jürgen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 02.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Sa 21.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schieb zuerst in den Ursprung, drehe, schiebe zurück.
Gruss leduart
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